精品解析：山东省德州市宁津县2025-2026学年上学期九年级数学创新素养培育成果展示 试题

学生创新素养培育成果展示 数学 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题：（每小题4分，共40分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 3. 如图，将绕点顺时针旋转至，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得到旋转角为，从而确定度数，掌握旋转的性质是解题的关键， 【详解】解：∵绕点顺时针旋转至， ∴旋转角， 故选：． 4. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 5. 如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 6. 如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 8. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解．根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．，故不是“乾坤点”，故选项错误，不符合题意； B．函数的图象上存在“乾坤点”， ，解得， 函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项错误，不符合题意； C．若函数是“乾坤函数”， 则， ， 方程无解， 函数的图象上不存在“乾坤点”， 函数不是“乾坤函数”，故选项错误，不符合题意； D．是“乾坤函数”， ， 化简得， “乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”， 有两个相等的实数根， ， ， 方程为， 解得， ， “乾坤点”的坐标为，故选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，由一元二次方程的解求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用根与系数的关系求出两根之和，并将原表达式化简为含两根之和的形式． 【详解】解：因为m是方程的根， 所以， 即． 代入原式得：． 又，是方程的两个实数根， 所以， 所以原式． 故答案为：2026． 12. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质进行解答即可． 【详解】解：由可得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质：内项积等于外项积；合比性质；分比性质；等比性质． 13. 如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形中位线定理，解题的关键是由圆周角定理推出，由三角形中位线定理得到． 连接OA，OB，由圆周角定理得到，进而判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值． 【详解】解：连接OA，OB，如下图， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点M，N分别是的中点， 是的中位线， ， 最大时，取最大值，当是该圆的直径时，取最大值， 的最大值是， 长的最大值是． 故答案为：． 14. 若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及分式方程的解法，熟练掌握二次函数的图象与性质及分式方程的解法是解题的关键；由二次函数与x轴有两个不同交点可得判别式大于零，求出m的取值范围；解分式方程得到y的表达式，根据解为非负整数且分母不为零得到m的条件，综合可得符合条件的整数m值，最后求积即可． 【详解】解：二次函数与轴有两个不同交点，则判别式，解得，即（为整数）， 解分式方程，注意到，方程化为， 解得，且（即）， 由于分式方程的解为非负整数，故且为整数，得且为3的倍数， 结合且，满足条件的整数为， ∴所有满足条件的整数值之积为； 故答案为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 【答案】（6，）． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案. 【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M， ∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5， ∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5， ∴B（5，0），C（8，4）， ∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝， 设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣， ∴直线BC的关系式为y＝x﹣， 将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，）， 故答案为：（6，）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键. 三、解答题（本大题8个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程 （1）（利用配方法） （2）（利用公式法） （3）（利用因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据配方法、因式分解法、直接开平方法与公式法解一元二次方程． （1）先利用完全平方公式配方，再开平方求解即可； （2）写出a、b、c的值，然后利用求根公式法求解； （3）先移项再提取公因式因式分解，再求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解： 或 ． 17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上． （1）旋转中心是点______，旋转角是______和______； （2）若，，求的长； （3）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由） 【答案】（1），，； （2）； （3）添加或． 【解析】 【分析】本题考查了旋转定义与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转定义即可求解； （）通过勾股定理得，由旋转性质可得，然后由线段和差即可求解； （）根据“一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：根据旋转定义可得，旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由旋转性质可得， ∴； 【小问3详解】 解：添加， 由旋转性质可得， ∵， ∴是等边三角形； 添加， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 18. 综合与实践 项目主题 实验中学“少年农学院”生态农场田地设计 项目情境 “一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 活动任务一 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中． 驱动问题一 （1）①以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”） ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米、则每条小路的宽度是___________米； 活动任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场西北方向建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为178米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为方便出入，建造花圃时，在上留有宽为米的两扇小门． 驱动问题二 （2）若可利用的水池长50米，花圃的面积刚好为2025平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】（1）①相等；②2；（2）45米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形平移的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据图形平移的性质，即可得出答案； ②设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积约为9048平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为2025平方米列方程，解方程即得答案； 【详解】解：（1）①将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图： ∴四种方案小路面积相等； 故答案为：相等． ②设每条小路的宽度是米， 根据题意，得． 解得（舍去）， ∴每条小路的宽度是2米； 故答案为：2． （2）设矩形花圃的一边的长为米， 根据题意，得， 解得， 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 答：矩形花圃的一边的长为45米． 19. 如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：∵点D为中点，是半径， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的判定定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理． （1）根据垂径定理得到，根据得到，即可证明是的切线； （2）先证明四边形是平行四边形，得到，根据勾股定理得到，设的半径长为x，连接，根据勾股定理得到，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径长为x，则， ∴， 连接，在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 20. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． （1）求10分钟以后与的函数关系式； （2）如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键； （1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式； （2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：依题意，将代入，得， 设10分钟以后与的函数关系式为 将，代入，得， ∴反比例函数关系式为． 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数关系式为． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题． 21. 已知二次函数（a是常数且） （1）求二次函数的对称轴； （2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； （3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式求解即可； （2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式； （3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． 【小问3详解】 解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 22. 【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 （1）当时，函数有最_____值为_____，此时_____． （2）已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． （3）如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 【答案】（1）小；；； （2）周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； （3）①点；②的最大值是1． 【解析】 【分析】（1）根据题意把式子变成题目中举例的形式，运用整体思想，把两个变量进行整体变换，再根据题目中的例子得到答案即可； （2）先根据扇形的面积公式得到圆心角和半径的关系，再根据扇形周长公式列出等式，把上面的关系代入即可得到题目中举例的性质即可解决问题； （3）①先根据一次函数和反比例函数的交点问题得到交点坐标，再根据将军饮马模型得到点，根据一次函数待定系数法求出直线解析式即可得到点的坐标，即可解决问题； ②根据题意先设出点和点的坐标，用含的式子表示出的长度，把式子变成题目中举例的形式即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 令 ∴ 由题意可知：当，有最小值是 ∴ 故答案为：小，4，3； 【小问2详解】 解：设扇形的半径为，圆心角为，则 即， ∴扇形的周长， 由上可知：当即时，扇形的周长有最小值为． 故扇形周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； 【小问3详解】 ①解：由题意可得：， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴，， 如图，作点关于轴的对称点， ∴， 连接交轴于点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， 令时，， 解得：， ∴点； ②由题可设点，点， 由题可得：， 即， 则当时，则， ∴， 故的最大值是1． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数，将军饮马模型，不等式的计算等知识点，解决此题的关键是合理的利用题目中举例的性质． 23. 同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题． （1）数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为，那么（其中）． ①试求 ，连续三项、、的关系是 ； ②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）； （2）在矩形中，，点E、F在边和上，四边形是正方形，已知矩形与矩形相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）； （3）在等腰中，，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接） 【答案】（1）①55，；②，； （2）； （3）36，推算过程如下： 由，不妨设，， 又， 故， 以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接， 根据题意，， 又，且x与上面（2）中的一致， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得， 故答案为：36． 【解析】 【分析】本题考查了规律探索，完全平方公式，相似的判定和性质，一元二次方程的应用，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）①1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，即可确定；根据题目中给出的第n项为，计算解答即可； ②根据，等式的两边同时除以，得，继续变形得到如下等式：根据，变形解答即可． （2设，则，，根据矩形与矩形相似，得，整理得，整理成一元二次方程，求根公式法解方程即可． （3）由，不妨设，，根据题意，，以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接，根据题意，，又，且x与上面（2）中的一致，得到，结合三角形内角和定理，等腰三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：①1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 故； 故答案为：55； 根据题意，得第n项为， ，， 故 ， 故答案为：． ②解：根据前面的解答，得知， 等式的两边同时除以，得， 继续变形得：， 又， 故， 整理，得． 【小问2详解】 解：设， 则， 在矩形中， 得， 又四边形是正方形， 故， 故， 故， 又矩形与矩形相似， 故， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， ∴，（舍去）， 经检验，是分式方程的根， 故的值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学生创新素养培育成果展示 数学 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题：（每小题4分，共40分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 3. 如图，将绕点顺时针旋转至，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 5. 如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 9. 在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值是______． 12. 若，且，则______． 13. 如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且．若点M，N分别是的中点，则长的最大值是______． 14. 若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之积是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 三、解答题（本大题8个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程 （1）（利用配方法） （2）（利用公式法） （3）（利用因式分解法） 17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上． （1）旋转中心是点______，旋转角是______和______； （2）若，，求的长； （3）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由） 18. 综合与实践 项目主题 实验中学“少年农学院”生态农场田地设计 项目情境 “一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 活动任务一 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中． 驱动问题一 （1）①以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”） ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米、则每条小路的宽度是___________米； 活动任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场西北方向建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为178米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为方便出入，建造花圃时，在上留有宽为米的两扇小门． 驱动问题二 （2）若可利用的水池长50米，花圃的面积刚好为2025平方米，求矩形花圃的一边的长． 19. 如图，的弦，点D为中点，连接，过点D作交的延长线于点E，连接并延长，分别交、于点G、F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 20. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． （1）求10分钟以后与的函数关系式； （2）如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 21. 已知二次函数（a是常数且） （1）求二次函数的对称轴； （2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； （3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 22. 【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 （1）当时，函数有最_____值为_____，此时_____． （2）已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． （3）如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 23. 同学们可能听说过斐波那契数列和黄金分割，现在我们就用所学的二次根式、二次方程和相似形等知识探究以下问题． （1）数列：1，1，2，3，5，8，13，…，记第n项为，那么（其中）． ①试求 ，连续三项、、的关系是 ； ②当n非常大时，前一项与后一项的比值变化非常小，，几乎相等．设这个比值为x，请列出方程，并化成一元二次方程（不必解方程）； （2）在矩形中，，点E、F在边和上，四边形是正方形，已知矩形与矩形相似，设比值为x，求x的值（结果保留根号）； （3）在等腰中，，如果，（x与上面（2）中的一致），那么猜一猜 度，然后完成推算过程．（提示：可以以点C为圆心，长为半径画弧交于点D，连接） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $