精品解析：四川成都市成华区成都七中英才学校2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试题

初2025级数学月练习 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填涂在答题卡上．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加个）.根据无理数的特征逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分数，是有理数，不是无理数，故A选项不符合题意； B选项：是开不尽方的数，是无理数，故B选项符合题意； C选项：是有限小数，是有理数，不是无理数，故C选项不符合题意； D选项：是整数，是有理数，不是无理数，故D选项不符合题意． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C正确． ，D错误． 3. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 13，14，15 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 4. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义的条件，根据分母不为零且被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故选B． 5. 若，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】先根据算术平方根以及平方的非负性得出a、b的值，再代入式子进行乘方运算，即可作答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 6. 如图，明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用表示，乐乐将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则乐乐放方形棋子的位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答． 【详解】解：如图：符合题意的点为(-1，2)， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键． 7. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， 设折断处离地面的高度是尺， 由勾股定理得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 8. 在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填写在答题卡上．） 9. 16的算术平方根是_____；﹣27的立方根是_____． 【答案】 ①. 4， ②. -3 【解析】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义列出式子，求出即可. 【详解】=16,-4<0,4>0,所以16的算术平方根为4；=-27，所以﹣27的立方根是-3. 【点睛】题主要考查对平方根、立方根、算术平方根的理解和掌握，能理解平方根、立方根、算术平方根得含义是解此题的关键. 10. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 11. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 12. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为3，，分别是两底面圆的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱沿母线展开，则C点落在点的位置（如图），则小虫爬行的最短距离为的长， 在中，，， ， 所以小虫爬行的最短路线的长度是． 13. 如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则__________厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，求出，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，从而得出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵中，，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上．） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， 即； 【小问4详解】 解： ． 15. 已知，． （1）求的值； （2）已知为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把，代入中计算求值即可； （2）根据二次根式的性质分别求出、的值，再代入中求值． 【小问1详解】 解：当，时， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 的整数部分是， ， ， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为， ． 16. 如图在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）． （1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并标出点A1，B1，C1． （2）写出下列点坐标：A1（　 　），B1（　 　），C1（　 　）． （3）填空：△ABC的面积为：　 　． 【答案】 （1）如图，△A1B1C1为所作； （2）﹣3，4；﹣1，2；﹣5，1；（3）5． 【解析】 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1和点B1、点C1的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到点A1、B1、C1的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积． 【详解】（1）略 （2）由图可知：A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）； 故答案为：﹣3，4；﹣1，2；﹣5，1； （3）△ABC的面积＝4×3﹣×1×4﹣×2×3﹣×2×2＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）； （2）这块空地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 18. 如图，在中，，． （1）如图，点D是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； （2）如图3，O是内部一点，，连接，若，，求点O到的距离． 【答案】（1）①证明：， ， 又，， ， ； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，得出； ②由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可得出答案； （2）过点C作，交的延长线于点E，求出，由勾股定理得出，，由面积法可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 ①略 ②解：， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点C作，交的延长线于点E， 由（1）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 设点O到的距离为h， ， ， ， 即点O到的距离为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，那么的值约为______． 【答案】 13.12 【解析】 【分析】利用被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍的规律，结合已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 20. 若，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过对已知条件变形，平方后整理出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得， 两边平方得， 展开得， 整理得， 代入所求代数式得． 21. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 22. 如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，当点与点重合时，的长为______，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由角平分线的定义及平行四边形的性质可知，当和重合时，过作，交延长线于点，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可；连接，为直角三角形，可得，据此求出，易证是等腰直角三角形，解直角三角形即可得到结果． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∵以为对称轴折叠得到， ∴，， ∵平行四边形中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴长为； 如图所示，连接， 同上可得， ∴，又为直角三角形， 为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 23. 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【答案】 ①. 1001 ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简二次根式，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新定义，结合，得到，根据最小的“蛟龙数”得到，得到，进而得到时，最小，求出最小的“蛟龙数”，求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，得到蛟龙数最大时，，此时只能为0，得到的最大值为9，进而求出此时的值，即可得出结果． 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 【阅读材料】化简：． 解：隐含条件，解得， ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，化简：（结果保留）； 【类比迁移】 （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，再结合算术平方根及根式的运算化简求值； （2）先根据根式有意义可得，再代入计算即可； （3）根据题意可知，再化简并解方程可得，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：，解得， ， ； 【小问2详解】 解：，解得， 又，解得， 所以，， ， 解得， 则； 【小问3详解】 解：，解得， ， 解得， ． 25. 对于任意正实数、，由于，所以，于是，只有当时，才成立．也就是说，若为定值，则当时，有最小值． （1）若，则有最小值为______；若，则______时，的最小值为______． （2）求代数式的最小值． （3）如图，已知，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于两点，长方形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标． 【答案】（1）；； （2）代数式的最小值为 （3）四边形面积的最小值为96，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（1）模仿例题解决问题即可； （2）转化为例题的模型解决问题即可； （3）设，由矩形的面积为48，可得，推出，由题意，再模仿例题解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，有最小值为； ∵， ∴ ∴， 即， ∴当时，有最小值为，此时，或， ∵，， ∴当时，的最小值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解：设， ∵矩形的面积为48， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴当时，即时，四边形的面积最小，最小值为96， ∴． 26. 在中，，点是边上的一点． （1）如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．若，求的值； （2）如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，求的长度； （3）如图3，以为边在的右侧作一个等边，连接，取线段的中点，连接．在射线上另有一动点，且，连接，当的值最小时，求的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转证明，得到，，即可得到，则，得到； （2）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，过点作于点，连接，则，证明，得到，由（1）可知，得到，则，，结合和列方程求解即可； （3）在右边作，在射线上取点，使，连接，，证明，得到，则，当点在上时，的值最小，此时延长至，过作于，延长至，使，连接，则，根据倍长中线模型证明，得到，，再根据和勾股定理求出，最后证明，得到，最后代入即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，过点作于点，连接，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：在右边作，在射线上取点，使，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 此时延长至，过作于，延长至，使，连接，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵等边， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025级数学月练习 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填涂在答题卡上．） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 13，14，15 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，17 4. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2026 6. 如图，明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用表示，乐乐将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则乐乐放方形棋子的位置可能是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填写在答题卡上．） 9. 16的算术平方根是_____；﹣27的立方根是_____． 10. 比较大小： ______ （填 、或） 11. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为______． 12. 如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为3，，分别是两底面圆的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是______． 13. 如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则__________厘米． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上．） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 已知，． （1）求的值； （2）已知为的整数部分，为的小数部分，求的值． 16. 如图在平面直角坐标系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）． （1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并标出点A1，B1，C1． （2）写出下列点坐标：A1（　 　），B1（　 　），C1（　 　）． （3）填空：△ABC的面积为：　 　． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 18. 如图，在中，，． （1）如图，点D是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； （2）如图3，O是内部一点，，连接，若，，求点O到的距离． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，那么的值约为______． 20. 若，则代数式的值为______． 21. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 22. 如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，当点与点重合时，的长为______，当为直角三角形时，的长为______． 23. 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 【阅读材料】化简：． 解：隐含条件，解得， ， 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，化简：（结果保留）； 【类比迁移】 （2）若，求的值； （3）若，求的值． 25. 对于任意正实数、，由于，所以，于是，只有当时，才成立．也就是说，若为定值，则当时，有最小值． （1）若，则有最小值为______；若，则______时，的最小值为______． （2）求代数式的最小值． （3）如图，已知，点是第一象限内的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于两点，长方形的面积始终为48，求四边形面积的最小值以及此时点的坐标． 26. 在中，，点是边上的一点． （1）如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．若，求的值； （2）如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，求的长度； （3）如图3，以为边在的右侧作一个等边，连接，取线段的中点，连接．在射线上另有一动点，且，连接，当的值最小时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $