专题08勾股定理及逆定理期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题08勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.掌握勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；能分清直角边、斜边，熟练进行边长计算。 2.掌握勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，会用来判定直角三角形、判断三角形形状。 3.熟记常见勾股数，能够快速识别，提高解题速度；理解勾股定理与逆定理的区别：勾股定理由直角得边的数量关系，逆定理由边的数量关系证直角。 4.能在简单折叠、网格图形中运用勾股定理求线段长度，会构造直角三角形解决边长问题。 5.能够结合勾股定理逆定理，先判定直角，再进行后续角度、面积计算。 6.会用勾股定理求解直角三角形面积，理解等面积法，掌握直角三角形斜边上高的求法。 7.体会数形结合思想，能够把实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解。 8.易错辨析：勾股定理只适用于直角三角形；分清最长边才是逆定理里的斜边；没有指明直角时，不能直接套用勾股定理；部分题目需要分类讨论斜边情况，避免漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 勾股定理与网格问题 ★★ 题型四 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型七 勾股定理的证明方法 ★★ 题型八 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型九 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型十 勾股定理与无理数 ★★ 题型十一 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十二 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十三 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十四 勾股树（数）问题 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理定理与逆定理 互逆命题 & 互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形 ➬ 两直角边平方和 = 斜边平方（由角定边） 逆命题（勾股逆定理）：三边满足平方关系 ➫直角三角形（由边定角） 二者互为互逆定理，均为真命题。 知识点02:勾股数（逆定理配套知识点） 1.定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。 2.基本特征： 必须是正整数，小数、分数、无理数都不是勾股数； 若 (a,b,c 是勾股数，正整数倍 ka、kb、kc 也一定是勾股数。 3.常用基础勾股数（必背）： (3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 知识点03:纯几何题型：解题通用步骤（通用模板） 所有利用逆定理判定三角形形状、证明垂直的题目，严格遵循以下 4 步： 步骤 详细操作 关键要求 步骤 1 找出三角形三条边，确定最长边，记作 c 核心！必须以最长边作为公式中的 c 步骤 2 分别计算：两条短边的平方和 a2+b2、最长边的平方 c2 分开计算，不要合并出错 步骤 3 比较两个计算结果的大小 分三种情况判断三角形类型 步骤 4 下结论：判定形状 / 证明夹角为直角、两线垂直 书写规范，对应几何语言 知识点04:分题型精讲（理论 + 应用，附等量关系、例题思路） 题型 1：判定已知三边的三角形形状（选择、填空、基础解答） 解题核心 给定三边长，套用「最长边平方」和「两短边平方和」作比较。 示例 判断三边长为 6,8,10 的三角形形状 1.最长边：10 2.计算：62+82=100，102=100 3.关系：62+82=102 4.结论：该三角形是直角三角形。 题型 2：网格图形中判定直角三角形（高频考点） 解题思路 (1)利用勾股定理先求出网格中各线段长度的平方（无需开方，简化计算）； (2)找到三边中最长线段的平方； (3)用逆定理比较平方关系，判定是否为直角三角形。 技巧 网格题优先算边长的平方，避免无理数运算。 题型 3：几何证明题：证明两条线段互相垂直（重难点） 核心逻辑 要证 AB⊥ AC，即证∠BAC=90 1.构造 △ABC； 2.求出 △ ABC 三边长度（或边长平方）； 3.用逆定理证明三边满足 a2+b2=c2； 4.推出夹角为直角，即两线段垂直。 标准证明流程 ① 求三边 ② 算平方 ③ 比较关系 ④ 证直角 ⑤ 证垂直 题型 4：四边形综合题（分割图形，逆定理 + 勾股定理综合） 解题模型 不规则四边形，连接对角线，分割成两个三角形。 (1)对其中一个三角形，用逆定理判定为直角三角形； (2)得到直角条件后，再用勾股定理计算边长、面积。 核心流程：分割图形 ➩逆定理判直角 ➩勾股定理计算 题型一、用勾股定理解三角形 1．已知在中，，，则（     ） A．16 B．28 C．32 D．48 2．《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为五十步，问田积几何？”译文：有一块长方形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为50步．这块田地的面积为______平方步． 3．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作三个正方形，若其中两个正方形的面积为，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，利用正方形A，B，C围成一个直角三角形，且最大的正方形C的边长为17，则正方形A和正方形B的面积和为______． 6．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 题型三、勾股定理与网格问题 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 9．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 题型四、勾股定理与折叠问题 10．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 11．如图，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线对折，其中点的对应点为，连接，当为直角三角形时，线段的长为______． 12．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 题型五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 13．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 15．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 题型六、利用勾股定理证明线段平方关系 16．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    18．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 题型七、勾股定理的证明方法 19．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 20．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为______． 21．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 题型八、以弦图为背景的计算题 22．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 23．如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为_________． 24．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型九、用勾股定理构造图形解决问题 25．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为______．（结果保留根号） 27．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 题型十、勾股定理与无理数 28．如图，在数轴上点表示的实数是___________． 29．如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 30．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 题型十一、判断三边能否构成直角三角形 31．如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．5，11，12 32．已知的三边长分别为，，，则的面积为______． 33．已知、、是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 题型十二、在网格中判断直角三角形 34．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有__________个． 36．如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 题型十三、利用勾股定理的逆定理求解 37．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 38．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 39．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 题型十四、勾股树（数）问题 40．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 41．在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 当时，的值为______． 42．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ） A．90 B．108 C．99 D．117 题型十五、勾股定理逆定理的实际应用 43．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 44．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米． 45．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 解答题 46．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 47．定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； (2)如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； (3)如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 48．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 49．【课本再现】 (1)如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 (3)如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 50．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 51．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为、、，求的度数．思路：由于、、不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，易得________，线段的长度为________，是________三角形，从而可以求出________；（本题先把图补充完整，再填写结果） (2)请你利用第（1）题的方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，、为边上的点，且，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.掌握勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；能分清直角边、斜边，熟练进行边长计算。 2.掌握勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，会用来判定直角三角形、判断三角形形状。 3.熟记常见勾股数，能够快速识别，提高解题速度；理解勾股定理与逆定理的区别：勾股定理由直角得边的数量关系，逆定理由边的数量关系证直角。 4.能在简单折叠、网格图形中运用勾股定理求线段长度，会构造直角三角形解决边长问题。 5.能够结合勾股定理逆定理，先判定直角，再进行后续角度、面积计算。 6.会用勾股定理求解直角三角形面积，理解等面积法，掌握直角三角形斜边上高的求法。 7.体会数形结合思想，能够把实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解。 8.易错辨析：勾股定理只适用于直角三角形；分清最长边才是逆定理里的斜边；没有指明直角时，不能直接套用勾股定理；部分题目需要分类讨论斜边情况，避免漏解。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 勾股定理与网格问题 ★★ 题型四 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型七 勾股定理的证明方法 ★★ 题型八 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型九 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型十 勾股定理与无理数 ★★ 题型十一 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十二 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十三 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十四 勾股树（数）问题 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理定理与逆定理 互逆命题 & 互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形 ➬ 两直角边平方和 = 斜边平方（由角定边） 逆命题（勾股逆定理）：三边满足平方关系 ➫直角三角形（由边定角） 二者互为互逆定理，均为真命题。 知识点02:勾股数（逆定理配套知识点） 1.定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。 2.基本特征： 必须是正整数，小数、分数、无理数都不是勾股数； 若 (a,b,c 是勾股数，正整数倍 ka、kb、kc 也一定是勾股数。 3.常用基础勾股数（必背）： (3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 知识点03:纯几何题型：解题通用步骤（通用模板） 所有利用逆定理判定三角形形状、证明垂直的题目，严格遵循以下 4 步： 步骤 详细操作 关键要求 步骤 1 找出三角形三条边，确定最长边，记作 c 核心！必须以最长边作为公式中的 c 步骤 2 分别计算：两条短边的平方和 a2+b2、最长边的平方 c2 分开计算，不要合并出错 步骤 3 比较两个计算结果的大小 分三种情况判断三角形类型 步骤 4 下结论：判定形状 / 证明夹角为直角、两线垂直 书写规范，对应几何语言 知识点04:分题型精讲（理论 + 应用，附等量关系、例题思路） 题型 1：判定已知三边的三角形形状（选择、填空、基础解答） 解题核心 给定三边长，套用「最长边平方」和「两短边平方和」作比较。 示例 判断三边长为 6,8,10 的三角形形状 1.最长边：10 2.计算：62+82=100，102=100 3.关系：62+82=102 4.结论：该三角形是直角三角形。 题型 2：网格图形中判定直角三角形（高频考点） 解题思路 (1)利用勾股定理先求出网格中各线段长度的平方（无需开方，简化计算）； (2)找到三边中最长线段的平方； (3)用逆定理比较平方关系，判定是否为直角三角形。 技巧 网格题优先算边长的平方，避免无理数运算。 题型 3：几何证明题：证明两条线段互相垂直（重难点） 核心逻辑 要证 AB⊥ AC，即证∠BAC=90 1.构造 △ABC； 2.求出 △ ABC 三边长度（或边长平方）； 3.用逆定理证明三边满足 a2+b2=c2； 4.推出夹角为直角，即两线段垂直。 标准证明流程 ① 求三边 ② 算平方 ③ 比较关系 ④ 证直角 ⑤ 证垂直 题型 4：四边形综合题（分割图形，逆定理 + 勾股定理综合） 解题模型 不规则四边形，连接对角线，分割成两个三角形。 (1)对其中一个三角形，用逆定理判定为直角三角形； (2)得到直角条件后，再用勾股定理计算边长、面积。 核心流程 分割图形 ➩逆定理判直角 ➩勾股定理计算 题型一、用勾股定理解三角形 1．已知在中，，，则（     ） A．16 B．28 C．32 D．48 【答案】C 【分析】利用勾股定理，将两直角边的平方和转化为斜边的平方，整体代入计算． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 2．《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为五十步，问田积几何？”译文：有一块长方形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为50步．这块田地的面积为______平方步． 【答案】 【分析】设长方形田地的宽为步，可得对角线长为步，利用勾股定理列方程求解宽，再计算面积即可． 【详解】解：设这块长方形田地的宽为步，则对角线长为步， ∵矩形的内角为直角，长、宽、对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：， 解得， ∴这块田地的面积为平方步． 3．如图，中，，两直角边，在三角形内有一点到各边的距离相等，则这个距离是（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据点P到各边的距离相等，结合勾股定理，三角形的面积求解即可； 【详解】解：连接， 设， ， ． 再根据直角三角形的面积，， ， ， 解得． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作三个正方形，若其中两个正方形的面积为，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出，，再由正方形的面积等于边长的平方，得，，可求出，即为正方形的面积． 【详解】如图， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为． 5．如图，利用正方形A，B，C围成一个直角三角形，且最大的正方形C的边长为17，则正方形A和正方形B的面积和为______． 【答案】 【分析】设正方形，，的边长分别为，，，根据勾股定理得， 再根据正方形面积公式得， ， ，进而可求出，把代入计算即可得答案． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，，则：，， ， ， ， ∴正方形A和正方形B的面积和为：， ∵最大的正方形C的边长为17，即：， ∴， ∴正方形A和正方形B的面积和为． 6．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 题型三、勾股定理与网格问题 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ∴． 8．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，根据勾股定理可以得出是等腰直角三角形，利用平行线性质得到，从而可证，得到，利用求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 9．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各线段长度，通过全等判定验证A、C、D选项；对B选项使用反证法，构造截线三角形，依据三角形边长不相等推出内错角不相等，证明两直线不平行，找出错误选项． 【详解】解：设单个小正方形网格边长为 选项A，∵，，， ∵， ∴，故A项正确，不符合题意． 选项B，假设，则 ∵， ∴， ∴，这与矛盾， ∴与不平行．故B项错误，符合题意． 选项C，，故C项正确，不符合题意． 选项D，∵，，． ∴，故D项正确，不符合题意． 题型四、勾股定理与折叠问题 10．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 11．如图，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线对折，其中点的对应点为，连接，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【分析】由折叠性质可得，，；分、及三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形性质求解，即可得出答案． 【详解】解：如图，当时，为直角三角形， ∵，，， ∴， ∵沿直线对折，其中点的对应点为， ∴，，， ∴， ∴、、三点在同一条直线上，即点在上， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，即； 如图，当时，为直角三角形， ∵， ∴， ∵沿直线对折，其中点的对应点为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当时，不符合题意； 综上所述：的长为或． 12．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 题型五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 13．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 15．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型六、利用勾股定理证明线段平方关系 16．在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断． 【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，， ∴ 斜边为的对边，，为两条直角边， 根据勾股定理得 ． 17．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 18．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 题型七、勾股定理的证明方法 19．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 20．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 21．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【详解】解：图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意． 题型八、以弦图为背景的计算题 22．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，推出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵小正方形的边长为17， ∴， ∴，即， ∵大正方形的边长为25，， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 23．如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为_________． 【答案】 【分析】本题考查赵爽弦图的性质，勾股定理，结合弦图结构推导边长是解题关键． 设，利用是中点的条件求出和，再根据勾股定理求出，进而求出大正方形面积和小正方形面积，最终算出面积比． 【详解】解：设， ∵点为的中点， ∴， 是直角三角形， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积与正方形的面积之比为． 故答案为：． 24．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，中间小正方形的边长为，再根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵图中是四个全等的直角三角形， ∴， 故小正方形的边长为， 由勾股定理，得. 题型九、用勾股定理构造图形解决问题 25．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键． 设门的高为尺，则宽为尺，对角线长为尺，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 26．如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图：   （米）， （米）， （米， 故选：C． 题型十、勾股定理与无理数 28．如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为． 29．如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据，求出即可解答． 【详解】解： 根据题意可知，， ， 在直角三角形中，， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点在数轴负半轴， 点表示的数是， 即． 30．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 【答案】B 【分析】先求出，再由勾股定理可求得，再由，即可得点D表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是． 题型十一、判断三边能否构成直角三角形 31．如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．5，11，12 【答案】A 【分析】先确定每组数中的最长边，验证两较短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可判断能否组成直角三角形. 【详解】解：A选项：∵最长边为，，∴能组成直角三角形； B选项：∵最长边为，，∴不能组成直角三角形； C选项：∵最长边为25，，∴不能组成直角三角形； D选项：∵最长边为12，，∴不能组成直角三角形. 32．已知的三边长分别为，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】验证三边长的平方关系，利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴ 的面积为． 33．已知、、是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∵、、是三角形的三边长，，即， ∴此三角形是直角三角形． 题型十二、在网格中判断直角三角形 34．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，，， A．∵，，， ∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； B．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 35．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有__________个． 【答案】3 【分析】利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个． 36．如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理得到，，，证明出为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线为斜边一半解答即可． 【详解】解：，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵为的高， ∴是斜边上的中线， ∴． 题型十三、利用勾股定理的逆定理求解 37．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最长边所对的为直角，即． 38．高师傅有5根长度（单位：dm）分别为的钢条，准备选三根焊接一个直角三角形钢架，请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合________． 【答案】5，12，13和9，12，15 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是利用基础勾股数及其倍数规律快速筛选，再通过“最长边优先”原则验证，减少无效计算． 先列出常见基础勾股数及其倍数，与题目中的钢条长度比对，直接锁定符合条件的组合；再按最长边优先原则验证，排除其余组合． 【详解】解：常见基础勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25等，其正整数倍仍为勾股数． 5，12，13为基础勾股数，故组合5，12，13满足条件． 9，12，15是3，4，5的3倍，故组合9，12，15满足条件． 其余组合均不满足勾股定理的逆定理． 故答案为：5，12，13 和 9，12，15． 39．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 题型十四、勾股树（数）问题 40．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数； B、，不是勾股数； C、，且均为正整数，是勾股数； D、，不是勾股数． 41．在学习勾股数的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 当时，的值为______． 【答案】162 【分析】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系． 根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得， 则， 则． 故答案为：162． 42．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ） A．90 B．108 C．99 D．117 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理得，得到正方形的面积正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加，进行求解即可． 【详解】解：如图②，设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的边长为，并且是直角三角形的斜边， 正方形的面积为． 由勾股定理得：， 正方形的面积正方形的面积， 图①中所有正方形的面积和， 同理：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 同理可得次操作后增加的个小正方形的面积和也是， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和， 故选：B． 题型十五、勾股定理逆定理的实际应用 43．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（    ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积． 先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里． ， ． 这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边． 沙田的面积为（平方里）． 故选：A． 44．笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线______千米． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形且； 设千米，则千米， 在中，由已知得， 由勾股定理得：， ∴，解得x=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键． 45．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 解答题 46．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【答案】（1）是勾股数，理由： ，，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）是勾股数，理由： a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）是勾股数，理由： 表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 47．定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； (2)如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； (3)如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 【答案】(1)是． (2)． (3)证明：以 为边作等边三角形 ，使射线 在 的内部，连接 ． ∵ 是等边三角形， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．① ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点． 【分析】（1）由方格纸用勾股定理分别算出 、、，按定义检验 与 是否相等； （2）由定义得 ，由 得 ，结合 求出 ，再由等腰三角形三线合一得 ，在 中用勾股定理求 ； （3）以 为边构造等边三角形 ，把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”证 ，把 转化为该直角三角形的斜边 ，从而 ． 【详解】（1）解：由方格纸可知， 是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边，、 都是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点， 故填：是． （2）解：∵ 点 是 关于点 的勾股点， ∴ ． ∵ ， 是 边上的中线， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ 的长为 ． （3）略． 【点睛】本题考查新定义的理解、勾股定理、等腰三角形三线合一、等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质；解题关键是紧扣定义“到某顶点的距离的平方等于到另两个顶点的距离的平方和”进行转化；第三问通过构造等边三角形把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”全等把 转化为该直角三角形的斜边，勾股定理得以直接应用． 48．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 49．【课本再现】 (1)如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 (3)如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 【答案】(1)解：∵直角三角形两直角边长分别为， ∴中间小正方形的面积为， ∵由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，斜边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∴，即． (2) (3) 【分析】（1）利用两种方法表示中间小正方形的面积，得出等式，即可验证勾股定理； （2）根据外围轮廓线的周长为得出，设，则，，利用勾股定理，列出方程，求出，进而求出，根据三角形面积公式即可得出答案； （3）设每个直角三角形的面积为，则，，根据可得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵外围轮廓线的周长为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴该飞镖状图案的面积为． （3）解：设每个直角三角形的面积为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 50．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【答案】绳索的长为 【详解】解：由题意知：四边形是长方形，是直角三角形， ， 又， ， 设绳索的长为， 则，， 在中，， ， 解得：， 答：绳索的长为． 51．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为、、，求的度数．思路：由于、、不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，易得________，线段的长度为________，是________三角形，从而可以求出________；（本题先把图补充完整，再填写结果） (2)请你利用第（1）题的方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，、为边上的点，且，求证：． 【答案】(1)150，3，直角，150 (2) 证明：将绕A旋转到 旋转 ， ， ， 又 即 在和中 又 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答． （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， 解：， 、、， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ． 故答案为：150，3，直角，150； （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $