专题02实数期中复习讲(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题02实数期中复习讲义 1.理解无理数、实数的概念，能正确区分有理数和无理数；知道实数的分类，识别常见无理数类型（无限不循环小数、含 π 的数、开方开不尽的数等）。 2.掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，会在数轴上表示简单无理数，能根据数轴上点的位置判断实数大小、化简式子。 3.理解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，和有理数范围内定义保持一致，会求任意实数的相反数、绝对值、倒数。 4.掌握实数大小比较的常用方法：估算法、平方比较法、作差法、数轴比较法，能比较两个无理数、有理数与无理数的大小。 5知道有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立，能进行简单的实数加减运算、实数的化简计算。 6.会对含根号的实数进行估算，确定无理数在哪两个相邻整数之间，会求无理数的整数部分、小数部分。 7.能结合算术平方根、立方根，进行实数的简单综合计算，解决非负数求和等于 0 类问题。 8.辨析易错点：带根号的数不一定是无理数；无限小数不一定是无理数；区分 “是有理数” 这类易错题；绝对值化简时注意根号式子的正负判断。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★ 题型二 无理数的大小估算 ★★ 题型三 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型四 求一个数的近似数 ★ 题型五 求近似数的精确度 ★★ 题型六 近似数推断取值范围 ★★★ 题型七 实数的分类与性质 ★ 题型八 实数与数轴 ★★★ 题型九 实数的大小比较 ★★ 题型十 程序设计与实数运算 ★★★★ 题型十一 实数运算的实际应用 ★★★ 题型十二 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型十三 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型十四 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型十五 还原用科学记数法表示的小数 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：有理数与无理数 1. 有理数 能够写成(p.q)为整数，(q≠0）形式的数；包含整数、有限小数、无限循环小数。 2. 无理数（定义重点） 无限不循环小数叫做无理数， 四类常见形式： （1）开方开不尽的数：、； （2）含常数的数：3、-1； （3）构造型无限不循环小数：0.2020020002....（每两个 2 之间多一个 0）； （4）无理数与有理数加减组合：+3。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点03:实数的相关概念 知识点04：实数与数轴（数形结合核心） 一一对应：任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 大小规律：数轴右侧的实数＞左侧实数。 作图应用：利用勾股定理，以直角三角形斜边在数轴截取、等无理数。 知识点05:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06：实数大小比较常用方法 1.数轴法：右大左小； 2.正负判定：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的数值更小； 3.平方比较法（仅正数）：a>0,b>0，若a2>b2，则a>b； 4.估算夹逼法：估算无理数整数范围后比较； 5.作差法：a-b>0 a>b。 题型07.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 知识点08：高频易错点 1.误将无限循环小数判定为无理数； 2.认为带根号的数都是无理数（如=2是有理数）； 3.化简含负数的绝对值、根式时符号出错； 4.比较两个负无理数大小时，忽略 “绝对值大，数更小”； 5.忽略算术平方根被开方数a的限制条件。 题型一、无理数 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项是整数； C选项是有限小数，D选项是分数，均为有理数； B选项是无理数． 2．在3.14，，3.14114111411114…（每两个4之间的1依次增加1个）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每两个之间的依次增加个）是无限不循环小数，属于无理数， 故无理数共有个. 3．在，0，，，，，，0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次加1个）中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断给出的数即可得到答案. 【详解】解：是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；是循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数；是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数； 中是无理数，因此是无理数；是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数； （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，属于无理数． 故无理数共有个． 题型二、无理数的大小估算 4．将3，，用不等号连接起来为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法将无理数比较转化为有理数比较，结合的近似值排序． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先确定的取值范围，再推导的范围，结合条件得到正整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∵ 为正整数，且满足， ∴ ． 6．观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】C 【详解】解：A、 由表格可得，2.1的平方为4.41，结论正确； B 、由表格得， ∵， ∴，结论正确； C 、∵， ∴的平方根是，原结论错误； D、 观察表格可知，当时，随着x增大，的值也增大，结论正确． 题型三、无理数整数部分的有关计算 7．已知、为两个连续的整数，且，则（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过估算无理数的大小，利用平方数比较得到的范围，进而求出和的值，计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即， ∵、为两个连续的整数，且， ∴，， ∴ ． 8．已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】根据立方根、平方根的定义分别求出和的值，估算的大小得到整数的值，代入计算后求其算术平方根即可． 【详解】解：的立方根是， ， 解得， 是的平方根， ， 即， 解得， ， ， 的整数部分， 计算得， 的算术平方根是． 9．如果的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】首先得出的取值范围，进而得出的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是：，小数部分为：， 则． 题型四、求一个数的近似数 10．下列数中，是准确数的是（     ） A．七年级（）班有学生人 B．我国人口约亿 C．光速约每秒万千米 D．李华身高大约是米 【答案】A 【分析】通过数值是否为精确计数结果、是否带有估计类表述，区分准确数与近似数． 【详解】解：A选项：七年级（1）班的学生数是精确计数得到的准确数，故A选项符合题意； B选项：我国人口约亿是近似数，故B选项不符合题意； C选项：光速约每秒万千米是近似数，故C选项不符合题意； D选项：李华身高大约是米是近似数，故D选项不符合题意． 11．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一年按天计算，（元）． 12．地球上海洋的面积是平方千米，四舍五入到亿位约是______亿平方千米． 【答案】 【分析】本题考查了四舍五入，根据整数的改写，用哪个数位作单位，就从个位数起，数到哪一位就在它的后面点上小数点，然后看小数点后第一位上的数字是几，根据四舍五入法进行取舍，最后再加上单位即可，掌握整数的改写是解题的关键． 【详解】解：平方千米亿平方千米， 故答案为：． 题型五、求近似数的精确度 13．把5.187245按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为______． 【答案】 【分析】根据5.187245千分位为7，再利用四舍五入法即可解答． 【详解】解：（精确到百分位）． 14．数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是____． 【答案】万位 【分析】把题目中数据1.44×106还原为1440000，从而可以得到题目中的数据精确到万位，问题得解． 【详解】解：因为1.44×106=1440000， ∴近似数01.44×106精确到万位． 故答案为：万位． 【点睛】本题考查了近似数和科学记数法，熟知近似数的意义并准确将近似数还原为原数是解题关键． 15．下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到十分位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、精确到千分位，故选项不符合题意； B、万精确到千位，故选项不符合题意； C、精确到十位，故选项不符合题意； D、精确到千位，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 题型六、近似数推断取值范围 16．将有理数精确到十分位，其结果是3.5，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照四舍五入的方法计算即可． 【详解】解：有理数精确到十分位，其结果是3.5， 根据四舍五入方法，精确到十分位看百分位，十分位上的5可能是百分位上进1所得的，也有可能是十分位上是5，百分位不满5舍去的， 的取值范围是． 17．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 18．数精确到时近似数是，那么的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数的四舍五入规则，精确到时需根据千分位的数字进行四舍五入，分千分位舍去和千分位进一两种情况讨论，即可确定原数的范围． 【详解】分两种情况讨论： ①若千分位数字舍去，可得千分位数字小于5，此时原数最大小于，即 ②若千分位数字进一，可得千分位数字大于等于5，进一后得到，因此原数最小为，即 ∴ 数的范围为． 题型七、实数的分类与性质 19．在实数，，，，，中无理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简可开尽的根式，再逐一判断各数是否为无理数，统计个数． 【详解】解：，，是有理数． ，，是无理数，共3个． 20．对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么________，的最小值为______． 【答案】 4 8 【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可． 【详解】， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 所以的最小值为8， 故答案为：4，8 21．下列各数-(-3),0,中,负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解 【详解】解：-(-3)=3；；；； 所以是负数，共3个。 故选：以C. 【点睛】本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质以及有理数的乘方，是基础题，熟记概念并准确化简是解题的关键． 22．下列各式正确的是(   ) A． B． C． D．为任一实数 【答案】A 【详解】分析：根据绝对值的性质，实数的性质，即可解答． 详解：A．正确；     B．当a=0时，a=﹣a，故错误；     C．，故错误；     D．当a=0时，a2=0，故错误；     故选A． 点睛：本题考查了实数的性质，解决本题的关键是熟记实数的性质． 题型八、实数与数轴 23．数轴上点的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，点P表示的数比小，比大， 显然只有A选项符合题意． 24．如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是半圆滚动与数轴的结合，灵活运用半圆的周长公式是解题的关键．根据半圆的周长等于半圆弧长与直径之和，先求出直径为个单位长度的半圆的周长，进而确定点对应的数． 【详解】解：由图可知，半圆向右滚动一周，走过的路径为半圆的周长， 即， 点对应的数为． 故答案为：． 25．如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】题目未指定滚动方向，需分向左滚动和向右滚动两种情况讨论，分别求出点表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的周长为， ∵点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周到达点， ∴需分两种情况讨论： ①当圆向右滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； ②当圆向左滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为． 综上所述，线段的中点表示的数是或． 故选：B． 题型九、实数的大小比较 26．下列实数中最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数大小比较规则，负数小于一切正数，即可判断出最小的数． 【详解】解：，，，都是正数， 只有是负数， 根据实数大小比较规则，负数小于一切正数， ∴最小的数是． 27．比较大小：_____．（填或或） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即． 28．比较下列各组数的大小，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过根式性质化简或估算无理数的取值范围，结合不等式性质比较各组数的大小． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴，故A正确； 对于B选项：∵， 又∵， ∴，故B正确； 对于C选项：∵， ∴， ∴，故C正确； 对于D选项：∵， ∴， ∴，故D错误． 题型十、程序设计与实数运算 29．按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（     ） A． B．8 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据程序框图，依次计算算术平方根和立方根，判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：输入，取算术平方根得， 是有理数，继续运算； 取的立方根得， 是有理数，返回取算术平方根； 取的算术平方根得， 是无理数，输出； 则输出的值为． 30．如图是一个数值转换器（） （1）当输入的x为时，输出的y值是_________； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为_________； 【答案】 【分析】本题考查实数与程序流程图，算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质，是解题的关键： （1）根据流程图进行计算，直至运算结果为无理数，输出即可； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值，进行求解即可； 【详解】解：（1），，，为无理数，输出； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 综上：的值为． 31．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图的逻辑顺序，依次判断条件并计算的值． 【详解】解：当时，， ． 是有理数， 将重新输入． ， ． 是无理数， 输出． 题型十一、实数运算的实际应用 32．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是_________． 【答案】-1. 【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积. 【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6， 则，两正方形区域的边长分别是1和， 则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形. 33．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 34．阅读理解： (1)学习了实数这一章后，我们可以用折纸的方法研究纸的边长之间的关系，将纸按下图所示的方式折叠，可以得到纸的长与宽的比例关系，请你观察图片，写出纸长：宽=___________；已知纸的宽是1米，则纸的面积是___________平方米． (2)按照国际标准，B系列纸为长方形，将纸沿长边对折、裁开便成纸；将纸沿长边对折、裁开便成纸，将纸沿长边对折、裁开便成纸……按照这样的规律，纸的面积是___________平方米． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）① 设纸的长为a，宽为b，根据折叠形成的等腰直角三角形及由勾股定理求解即可； ② 已知纸的宽米，则长米，再根据长方形的面积公式求解即可． （2）观察图形，可知每次对折后，面积变为原来的，从到共对折5次，即可解答． 【详解】（1）解：① 设纸的长为a，宽为b．根据折叠形成的等腰直角三角形，由勾股定理得： ， ， 因此长与宽的比为． ② 已知纸的宽米，则长米，纸面积为：（平方米）． （2）解：观察图形，可知每次对折后，面积变为原来的，从到共对折5次，因此： （平方米）． 题型十二、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 35．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 36．杭州滨江区2025年地区生产总值约为230 000 000 000元，数据230 000 000 000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 37．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法形式为，其中， 为整数，对于数字，需确定，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 题型十三、将用科学记数法表示的数变回原数 38．全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【答案】577000000000000 【详解】解：． 39．2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，将所给科学记数法展开得到原数，即可选出正确选项． 【详解】∵ ， ∴ ． 40．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 题型十四、用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 41．数用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为，要求满足，为原数从左边起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：． 42．某微电子光学中心最新研究出一种光芯片的直径为厘米，该数据用科学记数法表示为 （     ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【详解】解：． 43．我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字） 【答案】 【分析】先将300亿用科学记数法表示，再根据题意计算每年的误差，最后按要求保留有效数字，用科学记数法表示结果． 【详解】解：由题意得： 300亿， 每年误差不超过： ． 题型十五、还原用科学记数法表示的小数 44．中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 【答案】0.000000000335 【详解】解：． 45．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 【答案】0.000000102 【详解】解：对于科学记数法，当时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，． 将的小数点向左移动位，得到原数为． 46．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：本题答案为1， ， 根据题意可得， ， 所以小数中总共有个“0”， 则破损处“0”的个数为个． 解答题 47．把下列各数填入相应的集合中： ，，，，15，0，，，，，（每两个2之间依次多一个1）． 正实数集合：{_________________________}． 负实数集合：{_________________________}． 有理数集合：{_________________________}． 无理数集合：{_________________________}． 【答案】 ，15，，（每两个2之间依次多一个1）； ，，，，，； ，，，15，0，，，； ，，（每两个2之间依次多一个1）. 【分析】先化简已知数，再根据各类实数的定义逐一分类即可． 【详解】解：先化简得，再按定义分类：正实数是大于的所有实数， 正实数集合为（每两个2之间依次多一个1）； 负实数是小于的所有实数， 负实数集合为； 整数和分数统称为有理数，包含有限小数和无限循环小数， 有理数集合为； 无限不循环小数是无理数， 无理数集合为（每两个2之间依次多一个1）． 48．如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)π (2)，理由如下： 因为， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答； （2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵圆的周长为π个单位长度， ∴点对应的数是π． （2）略 49．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 50．如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 【答案】能 【分析】本题考查了实数的运算、估算，比较大小等相关知识点，难度不大，掌握其基本知识点是解题关键. 根据题意得地球的直径，圆形铁圈的直径，计算即可求解. 【详解】解：地球的直径，圆形铁圈的直径 ∴间隙为 （也可以这样处理：） ∴能放进一个拳头. 51．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x的值为36时，输出的________． (2)是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 【答案】(1) (2)存在；0与1 (3)输入的数据是负数；因为负数没有算术平方根． (4)2与4 【分析】（1）按照数值转换器的程序进行计算即可； （2）根据0与1的算术平方根是它本身的特点即可完成； （3）根据负数没有平方根的性质即可说明； （4）根据开平方与算术平方根是互逆的运算即可完成． 【详解】（1）解：36的算术平方根为6，是有理数，6的算术平方根是，而是无理数，输出结果为； （2）解：由于0与1的算术平方根是它本身，无论多少次开算术平方根，其结果始终是它本身，故存在数0与1，始终输不出y的值； （3）略 （4）解：若，则，，，……， 即2与4是输入的最小的2个不同x的值，输出的数都是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数期中复习讲义 1.理解无理数、实数的概念，能正确区分有理数和无理数；知道实数的分类，识别常见无理数类型（无限不循环小数、含 π 的数、开方开不尽的数等）。 2.掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，会在数轴上表示简单无理数，能根据数轴上点的位置判断实数大小、化简式子。 3.理解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，和有理数范围内定义保持一致，会求任意实数的相反数、绝对值、倒数。 4.掌握实数大小比较的常用方法：估算法、平方比较法、作差法、数轴比较法，能比较两个无理数、有理数与无理数的大小。 5知道有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立，能进行简单的实数加减运算、实数的化简计算。 6.会对含根号的实数进行估算，确定无理数在哪两个相邻整数之间，会求无理数的整数部分、小数部分。 7.能结合算术平方根、立方根，进行实数的简单综合计算，解决非负数求和等于 0 类问题。 8.辨析易错点：带根号的数不一定是无理数；无限小数不一定是无理数；区分 “是有理数” 这类易错题；绝对值化简时注意根号式子的正负判断。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★ 题型二 无理数的大小估算 ★★ 题型三 无理数整数部分的有关计算 ★★★ 题型四 求一个数的近似数 ★ 题型五 求近似数的精确度 ★★ 题型六 近似数推断取值范围 ★★★ 题型七 实数的分类与性质 ★ 题型八 实数与数轴 ★★★ 题型九 实数的大小比较 ★★ 题型十 程序设计与实数运算 ★★★★ 题型十一 实数运算的实际应用 ★★★ 题型十二 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型十三 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型十四 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 ★ 题型十五 还原用科学记数法表示的小数 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：有理数与无理数 1. 有理数 能够写成(p.q)为整数，(q≠0）形式的数；包含整数、有限小数、无限循环小数。 2. 无理数（定义重点） 无限不循环小数叫做无理数， 四类常见形式： （1）开方开不尽的数：、； （2）含常数的数：3、-1； （3）构造型无限不循环小数：0.2020020002....（每两个 2 之间多一个 0）； （4）无理数与有理数加减组合：+3。 知识点02.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 知识点03:实数的相关概念 知识点04：实数与数轴（数形结合核心） 一一对应：任意一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上任意一点对应唯一实数。 大小规律：数轴右侧的实数＞左侧实数。 作图应用：利用勾股定理，以直角三角形斜边在数轴截取、等无理数。 知识点05:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点06：实数大小比较常用方法 1.数轴法：右大左小； 2.正负判定：正数＞0＞负数；两负数比较，绝对值大的数值更小； 3.平方比较法（仅正数）：a>0,b>0，若a2>b2，则a>b； 4.估算夹逼法：估算无理数整数范围后比较； 5.作差法：a-b>0 a>b。 题型07.近似值 1.基础概念 (1)准确数：完全符合实际、无误差的数（班级人数、桌椅数量） (2)近似数（近似值）：接近准确数、通过四舍五入 / 测量得到的数（身高、长度） (3)精确度：表示近似数近似程度，常见两种表示方式 2.两种精确要求 (1)精确到某一位：精确到个位、十分位、百分位、千位…… 例：1.56 精确到十分位是 1.6 (2)保留若干个有效数字 有效数字定义：从左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，全部都是有效数字。 例：0.0205 有效数字：2、0、5（共 3 个） 3.四舍五入取近似值步骤 (1)看清要求：精确到哪一位 / 保留几位有效数字； (2)找到指定数位，观察后一位数字； (3)后一位≥5 进 1，＜5 直接舍去； (4)大数先化为科学记数法再取近似值，避免出错。 4.科学记数法取近似 大数 a10n(1a<10)，有效数字只看前面的 a。 例：3.14104 保留 2 个有效数字为 3.1104 知识点08：高频易错点 1.误将无限循环小数判定为无理数； 2.认为带根号的数都是无理数（如=2是有理数）； 3.化简含负数的绝对值、根式时符号出错； 4.比较两个负无理数大小时，忽略 “绝对值大，数更小”； 5.忽略算术平方根被开方数a的限制条件。 题型一、无理数 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在3.14，，3.14114111411114…（每两个4之间的1依次增加1个）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在，0，，，，，，0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次加1个）中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二、无理数的大小估算 4．将3，，用不等号连接起来为（     ） A． B． C． D． 5．若n为正整数，且满足，则________． 6．观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 题型三、无理数整数部分的有关计算 7．已知、为两个连续的整数，且，则（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 8．已知的立方根是，是的平方根，是的整数部分，则的算术平方根为________． 9．如果的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 题型四、求一个数的近似数 10．下列数中，是准确数的是（     ） A．七年级（）班有学生人 B．我国人口约亿 C．光速约每秒万千米 D．李华身高大约是米 11．吸烟不仅有害健康而且花钱．如果一位吸烟者每天吸一包元的香烟，那么他每年花在吸烟上的钱大约要（   ）元 A． B． C． D． 12．地球上海洋的面积是平方千米，四舍五入到亿位约是______亿平方千米． 题型五、求近似数的精确度 13．把5.187245按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为______． 14．数据1.44×106是四舍五入得到的近似数，其精确的数位是____． 15．下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到十分位 C．精确到千分位 D．精确到千位 题型六、近似数推断取值范围 16．将有理数精确到十分位，其结果是3.5，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 18．数精确到时近似数是，那么的范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、实数的分类与性质 19．在实数，，，，，中无理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么________，的最小值为______． 21．下列各数-(-3),0,中,负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．下列各式正确的是(   ) A． B． C． D．为任一实数 题型八、实数与数轴 23．数轴上点的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 24．如图所示，直径为个单位长度的半圆，从原点开始沿着数轴向右滚动一周，半圆上的一点由到达，则点对应的数为_____． 25．如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 题型九、实数的大小比较 26．下列实数中最小的数是（     ） A． B． C． D． 27．比较大小：_____．（填或或） 28．比较下列各组数的大小，错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十、程序设计与实数运算 29．按如图所示的程序计算，若开始输入x值是64，则输出y的值是（     ） A． B．8 C．2 D． 30．如图是一个数值转换器（） （1）当输入的x为时，输出的y值是_________； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为_________； 31．根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是（        ） A． B． C． D． 题型十一、实数运算的实际应用 32．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是_________． 33．已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 34．阅读理解： (1)学习了实数这一章后，我们可以用折纸的方法研究纸的边长之间的关系，将纸按下图所示的方式折叠，可以得到纸的长与宽的比例关系，请你观察图片，写出纸长：宽=___________；已知纸的宽是1米，则纸的面积是___________平方米． (2)按照国际标准，B系列纸为长方形，将纸沿长边对折、裁开便成纸；将纸沿长边对折、裁开便成纸，将纸沿长边对折、裁开便成纸……按照这样的规律，纸的面积是___________平方米． 题型十二、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 35．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 36．杭州滨江区2025年地区生产总值约为230 000 000 000元，数据230 000 000 000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 37．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．2025年一季度全国可再生能源发电量达到816000000千瓦时．将816000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型十三、将用科学记数法表示的数变回原数 38．全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 39．2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 40．若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 题型十四、用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 41．数用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 42．某微电子光学中心最新研究出一种光芯片的直径为厘米，该数据用科学记数法表示为 （     ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 43．我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字） 题型十五、还原用科学记数法表示的小数 44．中研普华产业研究院在《2026—2030年国内石墨烯行业发展趋势及发展策略研究报告》中指出，石墨烯技术突破正推动行业从“经验制造”向“数字制造”跨越．据了解，单层石墨烯的厚度仅为，是迄今为止发现的最薄的二维材料．将还原成小数是________． 45．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 46．方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 解答题 47．把下列各数填入相应的集合中： ，，，，15，0，，，，，（每两个2之间依次多一个1）． 正实数集合：{_________________________}． 负实数集合：{_________________________}． 有理数集合：{_________________________}． 无理数集合：{_________________________}． 48．如图，周长为π个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点． (1)那么点对应的数是__________； (2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由． 49．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 50．如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 51．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的x的值为36时，输出的________． (2)是否存在输入有效的x的值后，始终输不出y的值．请直接写出所有满足要求的x的值________； (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你说明输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的y的值是，请直接写出满足题意的最小的2个不同x的值________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $