专题07 直角三角形与角平分线 期中复习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

专题07直角三角形与角平分线期中复习讲义 1.理解直角三角形定义，熟练运用直角三角形两锐角互余的性质进行角度计算；会利用两角互余判定一个三角形是直角三角形。 2.掌握直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能用来求线段长、证明线段相等；会运用它的逆命题解题。 3.掌握含 30° 角的直角三角形性质：直角三角形中 30° 角所对直角边等于斜边的一半，能进行边、角之间的转化计算。 4.掌握直角三角形全等的 HL 判定定理，分清 HL 的适用范围，能结合 SSS、SAS、ASA、AAS 综合判定直角三角形全等，规范几何证明书写。 5.理解角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，能直接用来证明垂线段相等、求线段长度。 6.理解角平分线的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，用来判定角平分线、证明角相等。 7.会作角平分线，掌握角平分线尺规作图的步骤，理解作图原理；能利用角平分线性质解决简单的几何最值问题。 8.能够综合直角三角形、角平分线的性质，结合全等三角形进行几何计算与证明，会在复杂图形中识别基础模型。 9.梳理易错点：HL 只能用于直角三角形；斜边上中线、30° 直角三角形相关性质前提必须是直角三角形；角平分线性质一定要满足 “垂直距离”，不是任意垂线段以外的线段；混淆角平分线性质和逆定理。 题型 考察方向 难度 题型一 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型三 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型四 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型五 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型六 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★ 题型七 作角平分线 ★★ 题型八 角平分线的性质定理 ★★ 题型九 角平分线的判定定理 ★★★ 题型十 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：直角三角形基本概念 1.定义：有一个内角等于90的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC（∠ C=90）。 2.边的命名：构成直角的两条边叫直角边；直角所对的最长边叫斜边。 3.角的标识：直角符号，直角固定为90，另外两个锐角均为锐角。 知识点02：直角三角形三大性质（含几何语言、判定推论） 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03:直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△”。. 知识点04:直角三角形判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言：∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点06：高频易错点 易错类型 错误表述 / 做法 标准正确结论 定理适用范围混淆 普通三角形用 HL、普通三角形用斜边中线结论 HL、斜边中线定理仅直角三角形专用 线段相等判定漏洞 角平分线连斜线直接相等；30° 直角边倍数写反 角平分线仅垂线段相等；30° 对直角边 =½ 斜边 逆定理条件缺失 距离相等直接证角平分；中线等于边长一半直接判定直角 逆定理需要完整前提（角内部 / 该边为最长边） 几何书写不规范 HL 不标注 Rt△；证明不标注定理依据 全等注明三角形类型，每一步推理标注对应定理 辅助线遗漏 斜边中点不连中线；角平分不作垂线 固定套路：中点连中线、平分作垂线简化证明 图形概念混淆 内心到三边边长相等；勾股随便套任意三角形 内心到三边垂距相等；勾股定理仅限 Rt△ 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，则________． 3．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 5．下列四个条件：①在中，，都是锐角；②的三个内角的度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 7．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（     ）． A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 9．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 题型四、含 30 度角的直角三角形 10．如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为，若为直角三角形，则的值是________． 题型五、用 HL 证全等（HL） 13．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 14．“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当___，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 15．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 题型六、全等的性质和 HL 综合（HL） 16．如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 17．如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为_______． 18．如图，于点，于点，，则下列结论不一定正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 题型七、作角平分线 19．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 20．如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点； ③连接． 若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________． 21．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型八、角平分线的性质定理 22．如图，为的平分线，于点C，且，点P到的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 23．如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 24．如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（     ） A．4.5 B．4.8 C．6 D．8 题型九、角平分线的判定定理 25．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图，交的延长线于点E，于点F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④中正确的是________． 27．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（     ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 题型十、角平分线性质的实际应用 28．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________． 29．如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 30．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 解答题 31．如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 32．如图，于E，于F，若，， (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 33．如图，已知，，． (1)求证：． (2)求证：． 34．如图，等边、等边． (1)求证：； (2)若，当是直角三角形时，求的度数． 35．如图，已知，，射线在的内部，过点A、B分别作、，垂足为点M、N，且． (1)求证：； (2)取中点，连接、，依题意补全图形；猜想线段和之间的关系，并证明． 36．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 37．如图，，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直角三角形与角平分线期中复习讲义 1.理解直角三角形定义，熟练运用直角三角形两锐角互余的性质进行角度计算；会利用两角互余判定一个三角形是直角三角形。 2.掌握直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，能用来求线段长、证明线段相等；会运用它的逆命题解题。 3.掌握含 30° 角的直角三角形性质：直角三角形中 30° 角所对直角边等于斜边的一半，能进行边、角之间的转化计算。 4.掌握直角三角形全等的 HL 判定定理，分清 HL 的适用范围，能结合 SSS、SAS、ASA、AAS 综合判定直角三角形全等，规范几何证明书写。 5.理解角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，能直接用来证明垂线段相等、求线段长度。 6.理解角平分线的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，用来判定角平分线、证明角相等。 7.会作角平分线，掌握角平分线尺规作图的步骤，理解作图原理；能利用角平分线性质解决简单的几何最值问题。 8.能够综合直角三角形、角平分线的性质，结合全等三角形进行几何计算与证明，会在复杂图形中识别基础模型。 9.梳理易错点：HL 只能用于直角三角形；斜边上中线、30° 直角三角形相关性质前提必须是直角三角形；角平分线性质一定要满足 “垂直距离”，不是任意垂线段以外的线段；混淆角平分线性质和逆定理。 题型 考察方向 难度 题型一 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型三 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型四 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型五 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型六 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★ 题型七 作角平分线 ★★ 题型八 角平分线的性质定理 ★★ 题型九 角平分线的判定定理 ★★★ 题型十 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：直角三角形基本概念 1.定义：有一个内角等于90的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC（∠ C=90）。 2.边的命名：构成直角的两条边叫直角边；直角所对的最长边叫斜边。 3.角的标识：直角符号，直角固定为90，另外两个锐角均为锐角。 知识点02：直角三角形三大性质（含几何语言、判定推论） 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03:直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△”。. 知识点04:直角三角形判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 图示 定义判定 有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 在△ABC中，若∠C=90°，则 △ABC是直角三角形 角的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 在△ABC中若∠A+∠B= 90，则∠C=90°，△ABC是直角三角形 中线判定 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 在△ABC中，若D为AB中点，且CD = AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 知识点05:角平分线 1.角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 几何特征：角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴。 几何语言：∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点06：高频易错点 易错类型 错误表述 / 做法 标准正确结论 定理适用范围混淆 普通三角形用 HL、普通三角形用斜边中线结论 HL、斜边中线定理仅直角三角形专用 线段相等判定漏洞 角平分线连斜线直接相等；30° 直角边倍数写反 角平分线仅垂线段相等；30° 对直角边 =½ 斜边 逆定理条件缺失 距离相等直接证角平分；中线等于边长一半直接判定直角 逆定理需要完整前提（角内部 / 该边为最长边） 几何书写不规范 HL 不标注 Rt△；证明不标注定理依据 全等注明三角形类型，每一步推理标注对应定理 辅助线遗漏 斜边中点不连中线；角平分不作垂线 固定套路：中点连中线、平分作垂线简化证明 图形概念混淆 内心到三边边长相等；勾股随便套任意三角形 内心到三边垂距相等；勾股定理仅限 Rt△ 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据直角三角形的性质可得， ， ∴需要补的角的度数是． 2．如图，在中，，，，，则________． 【答案】 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴均为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则，由折叠性质得，则，再根据得，由此解得，则，然后在中，根据即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠性质得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 5．下列四个条件：①在中，，都是锐角；②的三个内角的度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定、三角形内角和定理及三角形外角和性质，解题的关键是利用相关定理结合条件求出三角形内角的度数，判断是否存在直角． 根据三角形内角和为、外角和为，分别对四个条件进行推导，计算各内角的度数，若存在角则为直角三角形，最后统计符合条件的个数． 【详解】解：①在中，，都是锐角，可能是锐角、直角或钝角，无法确定是直角三角形，此条件不符合； ②设三个内角分别为，由内角和定理得，解得，则，故是直角三角形，此条件符合； ③由得，又，代入得，即，故是直角三角形，此条件符合； ④设三个外角分别为，由外角和定理得，解得，三个外角分别为，，，对应的内角为，，，故是直角三角形，此条件符合． 综上，符合条件的有②③④，共3个． 故选：C． 6．如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 7．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（     ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 8．如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由求出，结合中点定义求出，再次利用直角三角形斜边中线性质求出； 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中点， ， 在中，为的中点， ． 9．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得：，，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，，，，点M、N分别是、的中点， ， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 题型四、含 30 度角的直角三角形 10．如图，垂直于地面的一棵树在距离地面处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据含角的直角三角形的性质，求出的长度，再求出树高． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∴树高为． 11．如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质及面积公式；利用直角三角形面积公式的两种表示方法即可判断选项D；选项A、B、C均需特定角度条件才成立，不具备普遍性． 【详解】解：， 是斜边 上的高， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项D正确； ∵ 是斜边 上的中线， ∴ ， 只有当时， ，， 题目未给出角度条件，故选项A、B、C不一定正确． 故选：D． 12．如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为，若为直角三角形，则的值是________． 【答案】或 【分析】由已知得出，分两种情况，当时和当时，分别求解即可． 【详解】解：， ， ①当时，如图所示：则， ， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 则， 解得：． 综上，若为直角三角形，则的值是或． 题型五、用 HL 证全等（HL） 13．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ∵，或 ， 故选：A． 14．“文字表达全等形，对应元素未可知”．如图，有一个直角三角形，，，．一条线段．P、Q两点分别在线段和过点A且垂直于的射线上运动，在线段运动过程中，当___，能使和以P、Q、A为顶点的三角形全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，由于，所以当或时，，从而可得的长． 【详解】解：∵，， ∴ 当时， 在和中， ∴； 当时， 在和中， ∴； 故答案为：或． 15．如图所示，已知于F，于E，则图中全等的三角形共有（　　）    A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形有共四组． 【详解】解：∵于E，于F    ∴ ∵ ∴； ∴ ∵ ∴； ∴ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏． 题型六、全等的性质和 HL 综合（HL） 16．如图所示，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据证明，得出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 17．如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作于点G，根据直角三角形的性质可得，推出，利用证明，推出，即可解答． 【详解】解：过点D作于点G， 则， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，于点，于点，，则下列结论不一定正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明，即可得到，，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∴， ∴，， ∴平分 ∴A、B、C三个选项结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 题型七、作角平分线 19．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 20．如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点； ③连接． 若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________． 【答案】1 【分析】根据角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：由题意得：平分， ∴点P到的距离等于点P到的距离， ∵点到直线的距离为1， ∴点到直线的距离为1． 21．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径画弧，交边的延长线于点D．分别以点、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作法得，平分，再证明得到，接着利用平角的定义得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八、角平分线的性质定理 22．如图，为的平分线，于点C，且，点P到的距离为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：过点P作于点D， ∵为的平分线，于点C， ∴． 即点P到的距离为3． 23．如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 【答案】 【分析】过点P分别作，连接，由角平分线的性质定理可得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：过点P分别作，连接，如图所示： ∵和的外角平分线、交于点P，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴ ． 24．如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（     ） A．4.5 B．4.8 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先过点作交于点，交于点，过点作于点，再利用角的平分线的性质得出，此时有最小值，即的长度，再利用等面积法即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴， 此时有最小值． 又， 的最小值为的长度． ∵，，，， ， ∴， 即的最小值是． 题型九、角平分线的判定定理 25．如图，为内部的一点，连接，过点分别作于点，于点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识点． 根据题意得到平分，，进而求解即可． 【详解】∵，，且，， ∴平分，， ∴． 故选：C． 26．如图，交的延长线于点E，于点F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④中正确的是________． 【答案】①②④ 【分析】利用证明可得，再证明可得及平分，最后结合线段的和差关系推导与的关系． 【详解】解：∵，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ，，， 平分，故②正确； 在中，∵， ，故③错误； 在和中， ， ， ， 点E在的延长线上， ， ，，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②④． 27．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（     ） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【分析】在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴点在的平分线上． 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上． 题型十、角平分线性质的实际应用 28．如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________． 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据角平分线性质定理求解即可． 【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等． 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键． 29．如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】利用角平分线的性质，确定满足条件的点为三角形内角平分线交点及外角平分线交点． 【详解】解：到两条相交直线距离相等的点位于这两条直线所成角的平分线上． 直线两两相交围成一个三角形． 满足条件的点为三角形内角平分线的交点或外角平分线的交点．三角形三个内角的平分线交于一点，该点到三边距离相等，计1处． 三角形相邻两个外角的平分线与第三个内角的平分线交于一点，这样的点有3个，均满足条件． 共有处． 30．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 解答题 31．如图，在中，，请你用尺规作图法在的边上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，则是的平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点到的距离等于，点即为所求． 【详解】略 32．如图，于E，于F，若，， (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，即平分． (2)2 【分析】（1）根据，判断、是直角三角形，再根据判定定理即可判定、全等，根据全等性质得，再根据角平分线判定定理即可判定平分． （2）根据，判断、是直角三角形，再根据判定定理即可判定、全等，根据全等性质得，再根据，，进而得，，再根据即可列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，， ∴，解得：， ∴的长为2． 33．如图，已知，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2)证明：如图所示，延长交于点，设与的交点为， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）根据角的关系得到，从而可利用证得； （2）延长交于点，设与的交点为，由全等得到，根据直角三角形两个锐角互余，得到，从而得到，再求得，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 34．如图，等边、等边． (1)求证：； (2)若，当是直角三角形时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，从而，由证，得． （2）由全等得，结合，，在中表示各角，分类讨论直角三角形． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， 设，则， 为等边三角形， ， ， ， ， 当时，，， 当时，，， 或． 35．如图，已知，，射线在的内部，过点A、B分别作、，垂足为点M、N，且． (1)求证：； (2)取中点，连接、，依题意补全图形；猜想线段和之间的关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； (2) 补全图形，如图，结论：，． 证明：如图，连接， ∵，，是中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）证明即可证得结论； （2）连接，先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到，进而证明，求得，，继而得到，得出． 【详解】（1）略 （2）略 36．已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3)7 【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，则， ∵， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．如图，，，是上的一点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可； （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $