专题22.1.2 直角三角形全等的判定（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题22.1.2 直角三角形全等的判定 教学目标 1. 理解HL判定定理的含义：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 2. 能区分普通三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）与直角三角形特有的 HL 定理。 3. 会用 HL 证明两个直角三角形全等，并能结合全等性质，证明线段相等、角相等、垂直等结论。 教学重难点 1.重点 HL 定理内容理解与应用，会用 HL 书写直角三角形全等的证明。 2.难点 （1）区分SSA和HL，理解为什么 HL 有效。 （2）综合题型：结合角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、勾股定理的综合推理。 知识点01 HL定理 操作：如图,已知线段b、c(c>b) 求作Rt△ABC,使∠ACB=90°,AB=c,CAC=b. 作法： (1)作线段AC=b; (2)过点C作直线MN⊥AC; (3)以点A为圆心、以c的长为半径作弧，交直线MN于点B; (4)连接AB，△ABC就是所求的直角三角形(图22-1-7). 定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。(HL定理) 定理的证明： 如图,已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中，∠C=∠C′=90°,AC=AC′,AB=A'B'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：延长BC到点D，使得CD=CB'，连接AD.又因为∠ACD=∠A'CB'=90°，AC=A'C'，所以△ACD≌△A'CB'由此得AD=AB' 又因为AB=A'B，所以AB=AD.于是，△ABD是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”因为AC是△ABD的高，所以CB=CD.又因为∠ACB=∠ACD=90°AC是公共边，所以△ACB≌△ACD. 根据“三角形全等的传递性”得△ABC≌△△ABC. 【即学即练】 1．已知：如图，在中，，，垂足分别为D，E，．求证：． 知识点02 直角三角形全等判定的综合 直角三角形全等的判定方法有: （1） 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。简称：SAS （2） 有两边角及一边对应相等的两个三角形全等。简称：AAS或ASA （3） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称：HL 【即学即练】 2．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 题型01 直角三角形全等的辨析 【典例1】如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【变式1】如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【变式3】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 题型02 利用HL定理证明全等 【典例1】如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【变式1】如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【变式2】已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，． (1)求证：； (2)点为的中点，，求证：是等边三角形． 【变式3】如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)是________三角形．并说明理由． 题型03 直角三角形全等的综合判定 【典例1】如图，已知．求证：．以下是两名同学关于此题的讨论． 嘉嘉说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 淇淇说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” (1)看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程； (2)连接，若，求的度数． 【变式1】如图，，垂足为，，，射线，垂足为．一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，始终保持．当点的运动时间为_____时，与全等（点与点重合的情况除外）． 【变式2】如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【变式3】如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型04 利用全等证明角相等 【典例1】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，点在上，，，．若．则_________． 【变式2】如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 【变式3】如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 题型05 利用全等证明线段相等 【典例1】已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 【变式1】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式2】如图，于点E，于点F，，，若，，求的长． 【变式3】已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 题型06 利用全等探究线段位置关系 【典例1】如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【变式1】已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【变式2】如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3】如图，在中，，，平分．E，F分别是线段，上的点，连接，，若，请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2】如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】如图，在四边形中，，与相交于点E，． (1)填空：与的位置关系为__________，与的数量关系为__________； (2)过点作交的延长线于点，且． ①求证：是等边三角形； ②若点，分别是线段，线段上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并求出与之间的数量关系． 1．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC≅△DCB，则证明全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，O是∠BAC内一点，OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是(　　) A．HL B．SAS C．SSS D．ASA 3．如图，在和中，，，，则下列结论不一定成立的是（）    A． B． C． D． 4．如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 5．如图，为一面垂直于地面的墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度，小明设计的方案如下：①测量的长度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度，这个设计方案的根据是______． 6．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 7．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 8．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你在图中试着分一分，并在图上画出来，并说明你的理由． 9．如图，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 1．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(  ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 2．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（   ） A．小海作图判定的依据是 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 3．已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为_____．    5．小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：_______．    6．如图，已知：在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点；②；③当为中点时，．其中，正确的是___________． 7．如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 8．如图，已知，，射线在的内部，过点A、B分别作、，垂足为点M、N，且． (1)求证：； (2)取中点，连接、，依题意补全图形；猜想线段和之间的关系，并证明． 9．如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 10．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.1.2 直角三角形全等的判定 教学目标 1. 理解HL判定定理的含义：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 2. 能区分普通三角形全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）与直角三角形特有的 HL 定理。 3. 会用 HL 证明两个直角三角形全等，并能结合全等性质，证明线段相等、角相等、垂直等结论。 教学重难点 1.重点 HL 定理内容理解与应用，会用 HL 书写直角三角形全等的证明。 2.难点 （1）区分SSA和HL，理解为什么 HL 有效。 （2）综合题型：结合角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、勾股定理的综合推理。 知识点01 HL定理 操作：如图,已知线段b、c(c>b) 求作Rt△ABC,使∠ACB=90°,AB=c,CAC=b. 作法： (1)作线段AC=b; (2)过点C作直线MN⊥AC; (3)以点A为圆心、以c的长为半径作弧，交直线MN于点B; (4)连接AB，△ABC就是所求的直角三角形(图22-1-7). 定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。(HL定理) 定理的证明： 如图,已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C′中，∠C=∠C′=90°,AC=AC′,AB=A'B'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：延长BC到点D，使得CD=CB'，连接AD.又因为∠ACD=∠A'CB'=90°，AC=A'C'，所以△ACD≌△A'CB'由此得AD=AB' 又因为AB=A'B，所以AB=AD.于是，△ABD是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”因为AC是△ABD的高，所以CB=CD.又因为∠ACB=∠ACD=90°AC是公共边，所以△ACB≌△ACD. 根据“三角形全等的传递性”得△ABC≌△△ABC. 【即学即练】 1．已知：如图，在中，，，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在∆BCE和∆CBD中， ， ∴∆BCE和≌∆CBD (HL) ∴∠ABC=∠ACB ∴． 知识点02 直角三角形全等判定的综合 直角三角形全等的判定方法有: （1） 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。简称：SAS （2） 有两边角及一边对应相等的两个三角形全等。简称：AAS或ASA （3） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称：HL 【即学即练】 2．如图，在四边形中，，要根据证明，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若证明， 则应该添加． 3．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 题型01 直角三角形全等的辨析 【典例1】如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 【变式1】如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 【变式2】如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 【变式3】如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 题型02 利用HL定理证明全等 【典例1】如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 【变式1】如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【分析】利用证明即可． 【详解】略 【变式2】已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，． (1)求证：； (2)点为的中点，，求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式3】如图，，是上的一点，且，． (1)与全等吗？并说明理由； (2)是________三角形．并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， 在和中，， ∴； (2) 解：是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质及平角的定义可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）略 （2）略 题型03 直角三角形全等的综合判定 【典例1】如图，已知．求证：．以下是两名同学关于此题的讨论． 嘉嘉说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 淇淇说：“我可根据‘’证明两个三角形全等，从而得到．” (1)看了他们的讨论，请你选择一位同学的方法写出证明过程； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：嘉嘉的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 淇淇的方法． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据证明． （1）对于嘉嘉的方法，根据垂线的知识可得，再结合证明，最后根据全等三角形的性质可得； 对于淇淇的方法，根据证明即可； （2）连接，利用全等三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，，垂足为，，，射线，垂足为．一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，始终保持．当点的运动时间为_____时，与全等（点与点重合的情况除外）． 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，动点问题的分类讨论，掌握分类讨论思想是解题的关键． 因为和都是直角三角形，根据判定全等，需分情况讨论对应边相等的情况，结合动点的运动速度计算时间． 【详解】解：设运动时间为s．根据题意，可分为以下三种情况讨论： ①当点在线段上运动，且时，结合可知，，此时，； ②当点在射线上运动，且时，结合可知，，此时，； ③当点在射线上运动，且时，结合可知，，此时，． 综上所述，当点的运动时间为或或时，与全等． 故答案为：或或． 【变式2】如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 【变式3】如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：，，， ， ． (2) 证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ． 在Rt∆CFG和Rt∆CFH中 ∴∆CFG≌∆CFH ∴∠AFC=∠DFC 平分． 题型04 利用全等证明角相等 【典例1】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理可得的度数，再证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，点在上，，，．若．则_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，点、、、在同一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 【答案】 证明：，，（已知） 在和中， ， ， ，（全等三角形的性质） ，（已知） ，即，（线段的和差） 在和中， ， ， ，（全等三角形的性质） ．（内错角相等，两直线平行） 【变式3】如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：为边上的高， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ； (2) 证明：，， ， ， 即是直角三角形， 为边上的中点， ， ， ， ， ， ． 题型05 利用全等证明线段相等 【典例1】已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】如图，于点E，于点F，，，若，，求的长． 【答案】 【分析】先根据证明，则可得，，再根据证明，得出，进而可得的长． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型06 利用全等探究线段位置关系 【典例1】如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：．理由： ， ， ， ， ， ． ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积计算，垂线定义的理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， 又， ． ； （2）略 【变式1】已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 【变式2】如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 ， 证明：，， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决本题的关键是得到．利用证明，得到，由直角三角形的特征得，再根据，推出，即可解决问题． 【详解】略 【变式3】如图，在中，，，平分．E，F分别是线段，上的点，连接，，若，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：．理由如下：如图，延长交于点G． ，， 是等腰直角三角形， ． 平分， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，根据全等三角形的性质得出，根据得出，进而得出． 【详解】略 题型07 利用全等探究线段数量关系 【典例1】将两个全等的直角和直角按图方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． (1)求证：； (2)若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图，请直接写出与之间的数量关系； (3)若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵ ， ∴， 又∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵，且， ∴； （2）数量关系： 理由：如图中，连接 ∵ ， ∴，， 又∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴； （3）数量关系：， 如图所示，连接， ∵ ， ∴，， 又∵， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， 整理得． 【变式1】在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接，． (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，，过点D作交于点F，，，请探究线段，，之间的等量关系，并证明你的结论； 【答案】(1) (2)， 证明：在上截取,连接交于点N，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【分析】（1）证明是等边三角形，进而证明，利用三角形内角和定理求解即可； （2）在上截取,连接交于点N，证明，再证明，最后根据线段和差的转化，即可得出结论； 本题综合性强，主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握基本概念是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形，． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 略 【变式2】如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； ② (2) 解：， 理由：过点作于点，如图所示： ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①利用“”证明全等即可；②根据全等的性质，得，结合对顶角相等，可求出的度数； （2）过点作于点，证明，得到，再依次证明、，即可证出． 【详解】（1）解：①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 故． （2）略 【变式3】如图，在四边形中，，与相交于点E，． (1)填空：与的位置关系为__________，与的数量关系为__________； (2)过点作交的延长线于点，且． ①求证：是等边三角形； ②若点，分别是线段，线段上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①证明：如图，设， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②解：如图，点即为所求， ． 【分析】（1）与的位置关系为：；与的数量关系为：．根据等角对等边得到，证明，得到，继而得到垂直平分，即可得出结论； （2）①如图，设，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而得到，，，可得，，即可得证； ②如图，延长至点，使，则点与点关于直线轴对称，过点作于点，交于点，连接，则，此时的值最小，最后在中，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：与的位置关系为：；与的数量关系为：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 故答案为：；； （2）①略 ②解：如图，延长至点，使， ∵， ∴点与点关于直线轴对称，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴，此时的值最小， 由①知，，即， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∴当的值最小时，点的位置如图所示，与的数量关系是． 1．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC≅△DCB，则证明全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB， ∴△ACB与△DBC均为直角三角形， 在Rt△ACB与Rt△DBC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等全角三角形的判定．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键． 2．如图，O是∠BAC内一点，OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是(　　) A．HL B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】A 【分析】由OE⊥AB，OF⊥AC，可知△AEO和△AFO是直角三角形，利用HL证明△AEO≌△AFO即可得出答案． 【详解】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC， ∴∠AEO=∠AFO=90°， 又∵OE=OF，AO为公共边， ∴△AEO≌△AFO． 故选A． 【点睛】本题考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形． 3．如图，在和中，，，，则下列结论不一定成立的是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题． 首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， 故A、C、D正确， 故选：B． 4．如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为__________ 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据直角三角形的两个锐角互余得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，，且， ， ， 故答案为：． 5．如图，为一面垂直于地面的墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度，小明设计的方案如下：①测量的长度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度，这个设计方案的根据是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分析题意，得出梯子长度不发生变化，即，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：依题意，梯子缓慢下滑过程中，梯子长度不发生变化，即， ∵，， ∴， ∴这个设计方案的根据是， 故答案为：． 6．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故答案为：． 7．如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是__________． 【答案】/0.6 【分析】连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 8．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你在图中试着分一分，并在图上画出来，并说明你的理由． 【答案】 作∠A的平分线AD交BC于D,过D作于E,得到3个全等三角形， 平分 同理 如此可划分成大小、形状都相同的3块土地． 【分析】本题考查全等三角形的应用，其中涉及角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 作∠A的平分线AD交BC于D,过D作于E, 由角平分线上的点到角的两边的距离相等，结合已知条件∠B=30°，可证明，，再结合三角形面积解题即可． 【详解】略 9．如图，，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) ，， 且，， 在与， ， ． (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值． 【详解】（1）略 （2）， ，， ． 10．如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】 ． 理由如下： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，即可得出答案. 【详解】略 1．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(  ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 【答案】D 【分析】根据判定定理即可得． 【详解】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意； B、添加，需用定理判定，则此项不符题意； C、添加，需用定理判定，则此项不符题意； D、添加，能用定理判定，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 2．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（   ） A．小海作图判定的依据是 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图，全等三角形的判定，根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：、小海作图判定的依据是，该选项正确，不符合题意； 、小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，该选项正确，不符合题意； 、小华作图判定的依据是，该选项正确，不符合题意； 、小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，该选项错误，符合题意； 故选：． 3．已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个判断命题的真假．①直角三角形有两边相等未明确是哪两条边，故①不一定成立；②等腰直角三角形腰相等则全等；③不一定成立；④等腰三角形顶角和底边对应相等则全等；⑤当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，不一定成立，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． ⑤ 两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：B． 4．如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为_____．    【答案】/55度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 5．小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：_______．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 6．如图，已知：在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法：①的垂直平分线一定与相交于点；②；③当为中点时，．其中，正确的是___________． 【答案】①② 【分析】连接，由直角三角形斜边中线的定义及性质得到，继而推出，据此可判断①；设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，然后由，据此可判断②；连接并延长交于，推出点为的中点，进一步说明是线段的垂直平分线，可证明，推出为等边三角形，得到，，，则可证明，进而得到，据此可判断③． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即为直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线一定与相交于点，故说法①正确，符合题意； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故说法②正确，符合题意； 如图，连接并延长交于点， ∵点是的中点，点为的中点， ∴点是的中点， 又∵点为的中点，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴，故说法③不正确，不符合题意； ∴正确的是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的定义及性质，三角形中线的性质，三角形的面积等知识点，掌握含角的直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 7．如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 【答案】 证明： ， ． ∵点E、F分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】利用证明，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键． 8．如图，已知，，射线在的内部，过点A、B分别作、，垂足为点M、N，且． (1)求证：； (2)取中点，连接、，依题意补全图形；猜想线段和之间的关系，并证明． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； (2) 补全图形，如图，结论：，． 证明：如图，连接， ∵，，是中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ， ， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． （1）证明即可证得结论； （2）连接，先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到，进而证明，求得，，继而得到，得出． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ， ； (2) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和外角性质可证，即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 10．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2) 证明：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴； (3)的最小值为． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又是边上的高，所以，由是等腰三角形，则，然后通过角度和差即可求解； （）由是等边三角形，是等边三角形，得，，，然后通过“”即可求证； （）由等边三角形性质可得，，又是边上的高，所以，，由全等三角形性质可得，故有当时，最小，最后通过含度直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴，， 由（）得，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $