2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章勾股定理位置与坐标 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．A，B两艘舰艇的位置示意图如图所示，下列选项中描述舰艇B相对舰艇A的位置正确的是（     ） A．北偏东， B．北偏东， C．南偏西， D．南偏东， 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（     ） A．12 B．10 C．8 D． 4．下列说法中正确的是（     ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的； ； ④正数的两个平方根互为相反数； ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0 A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑥ 5．三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 6．如图，已知，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 8．已知实数x，y满足，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 9．对于任意的实数，规定，若要使的计算结果一定为负数，则②中的不等号一定是（     ） A． B． C． D． 10．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙从点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知：，则x的值______． 12．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 13．已知的三边长，，满足，则与的大小关系为________． 14．如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 15．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 16．如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． (1)画出关于轴对称的，的坐标为______； (2)求的面积为______，边上的高为______． 19．（8分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值； (2)求的算术平方根． 20．（8分）图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 21．（9分）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 22．（10分）在平面直角坐标系中，若，满足． (1)直接写出：___________，__________； (2)如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； (3)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 23．（10分）我们新定义一种三角形：一条边平方与另一边的平方的2倍之和等于第三边平方的6倍的三角形叫做“126三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，和2，因为，所以这个三角形是“126三角形”． (1)若三边长分别是2，4和，则此三角形_______“126三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“126三角形”，则此三角形的三边长之比为_______（结果请用最简比表示并按从小到大排列）； (3)如图，中，，点D为的中点，，连接，若是“126三角形”，求的面积． 24．（11分）综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中模拟卷 测试范围:第1章勾股定理位置与坐标 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．A，B两艘舰艇的位置示意图如图所示，下列选项中描述舰艇B相对舰艇A的位置正确的是（     ） A．北偏东， B．北偏东， C．南偏西， D．南偏东， 【答案】B 【分析】用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．以点A为观测点，来描述点B的方向及距离即可． 【详解】解：由题意知，舰艇B相对舰艇A的位置可描述为北偏东，． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：，，都不是正整数，不符合题意，故A错误； 对于选项B：，符合题意，故B正确； 对于选项C：不是正整数，不符合题意，故C错误； 对于选项D：，不符合题意，故D错误． 3．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（     ） A．12 B．10 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式得，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， ∴． 4．下列说法中正确的是（     ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的； ； ④正数的两个平方根互为相反数； ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0 A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑥ 【答案】C 【详解】解：①负数有立方根，原说法错误． ②实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确． ③，原说法错误． ④正数的两个平方根互为相反数，原说法正确． ⑤负数没有平方根，原说法错误． ⑥算术平方根等于它本身的数有0和1，原说法错误． ∴说法正确的有②④． 5．三个顶点的坐标分别为，则的面积为（     ） A．10 B．20 C．12 D． 【答案】A 【详解】解：∵，横坐标相同， ∴轴，， ∵点到直线的距离为， ∴. 6．如图，已知，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得线段的长度，根据题意可得，再根据数轴与实数的对应关系，即可求解． 【详解】解：由题意可得，，则 根据勾股定理可得，， 根据题意可得，， 由实数与数轴的对应关系可得，点表示的数为． 7．如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，，利用勾股定理，解答即可． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，得，，， ，， 根据勾股定理，得， 解得． 8．已知实数x，y满足，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求y，最后化简待求式． 【详解】解：∵且， ∴， 将代入， 得， 将，代入， 得 ． 9．对于任意的实数，规定，若要使的计算结果一定为负数，则②中的不等号一定是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】算术平方根的被开方数需满足非负， ∴， 走①对应的分支，且此时运算结果，不可能为负数； 要使运算结果一定为负，只能走②对应的分支，此时， 即． 10．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙从点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析甲、乙两物体的运动速度和方向，确定每次相遇时甲物体运动的路程，从而确定相遇点的坐标，并发现相遇点坐标的周期性规律即可作答． 【详解】解：由图可知，点A的坐标为，长方形各点坐标分别为，，，，矩形的长为4，宽为2，周长为12． 物体甲的速度为1个单位/秒，逆时针运动；物体乙的速度为2个单位/秒，顺时针运动；两物体同时从点A出发，相向而行，速度和为单位/秒． 第一次相遇时，路程之和等于矩形的周长，相遇时间（秒），此时物体甲运动的路程为，物体甲从A点出发逆时针运动，先向上运动1个单位，再向左运动3个单位，所以第一次相遇点的坐标为； 第二次相遇时，路程之和等于矩形周长的2倍，相遇时间（秒），此时物体甲运动的总路程为，物体甲从A点出发逆时针运动，路程为1，路程为4，路程为2，此时总路程为7，甲还需要运动1个单位，从D点向右运动1个单位，所以第二次相遇点的坐标为； 第三次相遇时，路程之和等于矩形周长的3倍，相遇时间（秒），此时物体甲运动的总路程为，因为矩形周长为12，所以物体甲正好绕矩形运动  了一圈，回到出发点A，所以第三次相遇点的坐标为． 通过计算发现，相遇点的坐标依次为，，，然后重复，即每3次相遇为一个循环周期； 要求第2025次相遇地点的坐标，计算，余数为0，说明第2025次相遇地点与第3次相遇地点相同，所以第2025次相遇地点的坐标是． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知：，则x的值______． 【答案】 【分析】两个根号里的式子都要非负，联立不等式组，取公共解． 【详解】解：二次根式有意义的条件 由，得 由，得 同时满足两个条件的． 12．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E，证明，得到，．结合点A，C的坐标求解即可． 【详解】解：过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标为，直线轴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 13．已知的三边长，，满足，则与的大小关系为________． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出，，的值，再比较与的大小即可． 【详解】解：∵，且，，， ∴， 解得，， ∴， ∵，且a、b、c都是正数， ∴ ． 14．如图1，在中，，则线段的长度可以用表示．受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点，，，设，则的最小值是_____． 【答案】13 【分析】作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，根据题意可得当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点M，则，，, ∵， ∴， ∵， ∴， 当与P重合时，式子取等号，y值最小，最小为的长， ∵，， ∴． 15．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 16．如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 【答案】3或6 【分析】根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵点O关于直线的对称点为B， ∴， ∴，，，， ∴， 当为直角三角形时，或或． ①若，如图1， ∵， ∴A、B、C三点共线， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴； ②若，如图2， ∵， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴； ③不存在这种情况． 综上所述，的长为3或6． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）分别计算乘方、算术平方根、立方根，再进行有理数加减运算． （2）二次根式乘除运算，系数与系数运算，被开方数与被开方数运算，最后化简． （3）利用直接开平方法解一元二次方程，先移项、系数化为1，再开平方求解． （4）利用直接开立方解方程，先系数化为1，再开立方求出，最后算出． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： 移项，得 系数化为1， 两边开平方： 或 ； （4）解： 系数化为1， 两边开立方： ． 18．（8分）如图，在单位长度为的方格纸中画有一个． (1)画出关于轴对称的，的坐标为______； (2)求的面积为______，边上的高为______． 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2)； 【分析】（1）根据关于坐标轴对称点的规律得到的对应点的坐标，依次连接各点即可得到所求图形，由关于轴对称点的规律可得点的坐标为； （2）根据割补法求得的面积，并根据勾股定理在直角坐标系里得到的长，进而得到边上的高． 【详解】（1）略； （2）解：∵在单位长度为的方格纸中画出， ∴的面积为， 根据勾股定理可得：， ∴边上的高为：． 19．（8分）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义列等式求，，通过估算的取值范围求； （2）将，的值代入代数式计算，再求所得结果的算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴，即； ∵， ∴的整数部分； （2）将，，代入， 得， 又∵， ∴ 的算术平方根为． 20．（8分）图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1) (2)该车符合安全标准，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【分析】（）利用勾股定理解答即可； （）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 21．（9分）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，向右 【分析】（1）观察图形可知，在y轴上，，，，都在x轴上，即可得出，，，的坐标； （2）确定每四个点一循环，用，由余数确定的位置，最后得出到的移动方向． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在x轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，； ∴， ∴点的坐标； （2）解：， 观察知： 余数为1时，，，的坐标为； 余数为2时，的坐标为； 余数为3时，的坐标为； 整除时，的坐标为， ∵， ∴， 横坐标为，纵坐标为1， ∴， ∵是余数为1的点，坐标为， ∴到的移动方向是向右移动． 22．（10分）在平面直角坐标系中，若，满足． (1)直接写出：___________，__________； (2)如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； (3)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 【答案】(1)2，4 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （3）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）知，，即，， 如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， ∴． 23．（10分）我们新定义一种三角形：一条边平方与另一边的平方的2倍之和等于第三边平方的6倍的三角形叫做“126三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，和2，因为，所以这个三角形是“126三角形”． (1)若三边长分别是2，4和，则此三角形_______“126三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若是“126三角形”，则此三角形的三边长之比为_______（结果请用最简比表示并按从小到大排列）； (3)如图，中，，点D为的中点，，连接，若是“126三角形”，求的面积． 【答案】(1)是 (2)或 (3)或 【分析】（1）直接根据定义判断即可； （2）设直角三角形直角边长为a、b且，斜边长为c，可知，分6种情况分别讨论即可； （3）设，则，已知，是“126三角形”，分6种情况分别列方程求解，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：， 即此三角形是“126三角形”； （2）解：设直角三角形直角边长为a、b且，斜边长为c，可知， 若，代入得，化简得，不可能成立； 若，代入得，化简得，可知，与冲突，不可能成立； 若，显然左边小于，不可能成立； 若，代入得，化简得，此时，，即，，此三角形的三边长之比为； 若，代入得，化简得，可知，与冲突，不可能成立； 若，代入得，化简得，此时，，即，，此三角形的三边长之比为； 综上所述，此三角形的三边长之比为或； （3）解：设，则，已知，是“126三角形”， 若，则，解得：（负值舍去）， 此时， ∴， ∴； 若，则，解得：（负值舍去）， 此时， ∴， ∴； 若，同； 若，同； 若，则，解得：（负值舍去）， 此时，不成立； 若，同； 综上所述，的面积为或． 24．（11分）综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】 （1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2）证明：         即 连接，设 ，， ， 即； （3）480米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键． （1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可； （2）根据和计算来证明即可； （3）过点A作于点D，过点C作于点H，先根据勾股定理求出米，再根据求解即可． 【详解】证明：（1）略 （2）略 （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $