四川省成都市郫都区第一中学2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷

**基本信息** 聚焦高一上学期核心内容，通过基础巩固与能力创新的梯度设计，考查集合、不等式、函数等知识，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、不等式解集、函数性质|如第6题以新定义“性质P”考查函数单调性与逻辑推理| |多选题|3/18|含参不等式、数域概念|第10题结合数域定义辨析，培养数学抽象能力| |填空题|3/15|命题否定、对勾函数最值|第14题用基本不等式求最值，体现数学运算素养| |解答题|5/77|集合运算、抽象函数性质|第19题综合抽象函数单调性证明与不等式求解，考查逻辑推理与数学表达|

2025-2026学年度郫都一中高2025级高一上期期中测试 数学学科试卷 考试满分：150分；考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，，则集合的关系是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 3.函数若实数满足，则(    ) A. B. C. D. 4.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 5.若正实数，满足，不等式有解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：：单调递减，且恒成立；：单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是(    ) A. 只有 B. 只有 C. 和 D. 和都不是 7.和函数是同一个函数的是 A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. 是奇函数 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是(    ) A. B. C. D. 10.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，，都有，，，除数，则称是一个数域例如有理数集是一个数域现有两个数域与下列说法中正确的为(    ) A. 数域，中均含元素， B. 有理数集 C. 是一个数域 D. 整数集 11.已知定义域为的函数在上单调递增，且为偶函数，则(    ) A. 的图象关于直线对称 B. 在上单调递增 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题：，的否定为          ． 13.若对勾函数对于任意的，都有，则实数的最大值为          ． 14.设，且，则的最小值是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 设集合． 若，求； 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知函数． 求，的值 探索 利用的结论求表达式：的值． 17.本小题5分 已知函数． 若的解集为，求不等式的解集 若且恒成立，求实数的取值范围． 18.本小题7分 已知集合，． 若，求实数的取值范围 当集合变为时，求的非空真子集的个数 若，求实数的取值范围． 19.本小题7分 已知函数的定义域为，满足：对，，都有，当时，，且． 求的值，并证明是奇函数 证明：是上的减函数 解关于的不等式． 2025-2026学年度郫都一中高2025级高一上期期中测试数学学科试卷答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查子集与真子集，属于基础题． 由题得时，表示被除余的数，时，表示被除余的数，时，表示被除余的数，即可得到答案． 【解答】 解：集合， 集合， 集合． 因为时，表示被除余的数， 时，表示被除余的数， 时，表示被除余的数， 所以 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了不等式解的对应关系，解一元二次不等式，属于基础题 【解答】 解：由题设知，则，， 因此，可得． 故选A． 3.【答案】  【解析】显然，结合解析式，若，则所以，由可得，解得，所以，故选D． 4.【答案】  【解析】解：令， 则， 又的定义域为，关于原点对称， 所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，故C，D错误； 当时，，故B错误． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据基本不等式“”的代换求  最小值，再由不等式有解得  ，即可求参数范围． 【解答】 解：由  ， 当且仅当  ， 即  时等号成立， 要使不等式  有解， 只需  ， 即， 所以  ． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】对于，当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得成立；对于，取同理可得出结论． 【详解】：当，，因为函数单调递减， 所以 即，存在， 当满足命题时，具有性质． ：当时，， 因为函数单调递增， 所以， 即， 存在，当满足命题时，具有性质． 综上可知命题、都是具有性质的充分条件． 故选： 【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的奇偶性，求函数值，属于难题． 令，，结合已知数据可求解判断；令，求得，令，，可得可判断；令，取，又不恒为可得，可判断令取，，得，令取，取，则得判断． 【解答】 解：令，， 得， 又，， 则，故，故A正确； 令，得， 得， 令，， 得， 又， 故，故B错误； 令，取， 得， 得， 又，故不恒为， 故，则为奇函数，故C正确； 令取，， 得， 则， 令取，取， 得， 故，则， 故D正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解含参的一元二次不等式，属基础题． 对分类讨论，求解不等式的解集，与选项比较可得解． 【解答】 解：由，分类讨论如下． 当时，，故A正确 当时， 当时，或 当时，，故B正确 当时，或． 故选AB． 10.【答案】  【解析】对于选项，当，时，，，当，时，，，故A正确 对于选项，对，当时，，则，故B正确 对于选项，取，，则，则不是一个数域，故C错误 对于选项，因为，，所以整数集，故D正确． 11.【答案】  【解析】因为为偶函数，且函数在上单调递增， 所以的图象关于直线对称，且在上单调递减， 所以A正确，不正确 因为的图象关于直线对称， 所以， 所以不正确 因为的图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增， 所以， 即，所以D正确 12.【答案】，  【解析】略 13.【答案】  【解析】因为，所以，所以，即当，即时，恒成立，因为，所以；当，即或时，恒成立，因为，所以综上，，所以实数的最大值为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式的运用，考查不等式的解法，属于中档题． 根据，即可得到，进而得出，解关于的不等式即可得出的最小值． 【解答】 解：，， ，当且仅当时，等号成立， 又， ， 即， 解得，或舍去， 的最小值为当取最小值． 故答案为． 15.【答案】解：当时，或； ， 或； “”是“”的充分条件，， ，即， 或，或， 而，要使得， 需有或， 或．   16.【答案】解：已知函数， ， ． 由，得， ． 由知，， ．   17.【答案】解 不等式，由不等式的解集为，得且的两根为，则解得 不等式可化为，即，即，解得， 所以不等式的解集为． 由，得，代入，得恒成立， 当，即时，不等式变为恒成立，满足题意 当，即时，则解得， 综上所述，实数的取值范围是．   18.【答案】解：因为，所以A. 当时，由，得，符合题意 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 当时，，共有个元素，所以的非空真子集的个数为． 当时，由知 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得． 综上，实数的取值范围是或．  【解析】本题考查含有参数的集合的交集、并集的运算问题，非空真子集的个数问题，主要分类讨论思想的运用，属于中档偏难题． 19.【答案】解令，得，所以． 令， 得， 所以， 所以， 又的定义域是， 所以是奇函数． 证明设，，且． 由， 因为，所以， 因为当时，， 所以， 即， 即， 所以， 所以是上的减函数． 解由，得， 即， 即， 即， 即． 因为， 所以， 又， 则， 所以， 所以． 由知，是上的减函数， 所以， 即， 解得或， 所以不等式的解集为   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $