四川成都棠湖外国语学校2026-2027学年高一上学期数学期中模拟试卷（二）（基础卷）

成都棠湖外国语学校高一上期期中模拟试卷（二）（基础卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，若，则(    ) A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或 2.已知命题：，，则命题的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.下列说法正确的是     ． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4.不等式的解集为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 6.已知幂函数是奇函数，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知，为正实数且，则的最小值为    ． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下面命题正确的是(    ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 10.设函数，则(    ) A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，，不等式总成立 D. 当时， 11.若，，且，则下列说法正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，则它的真子集有           个 13.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为          ． 14.设函数若，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，集合， Ⅰ若，求和； Ⅱ若，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知集合，． 若集合，求此时实数的值； 已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知正数满足 (ⅰ)求的最大值； (ⅱ)求的最小值． 若关于的方程有两个正实数根，求的最小值． 18.本小题分 已知二次函数的最小值为，且． 求的解析式； 若在区间上不单调，求实数的取值范围； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． 设函数，证明：为奇函数； 十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有，则，其中为常数．假设． (ⅰ)求的解析式；(ⅱ)设，若不等式的解集为，求，的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都棠湖外国语学校高一上期期中模拟试卷（二）（基础卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，若，则(    ) A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 分和讨论，即得解． 【解答】 解：当时，，，符合题意； 当时，或， 当时，，符合题意； 当时，，，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 故或． 故选C． 2.已知命题：，，则命题的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题． 全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定． 【解答】 解：因为命题：，， 所以命题：，． 故选：． 3.下列说法正确的是     ． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C  【解析】【分析】 根据各选项的条件取特殊值，即可判断，由不等式的基本性质，即可判断． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 【解答】 解：当时，取，则不成立，故A错误； B.当时，取，，则不成立，故B错误； C.当时，由不等式的基本性质知，故C正确； D.当时，取，，则不成立，故D错误． 故选：． 4.不等式的解集为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 不等式化为，即可解出不等式的解集． 【解答】 解：不等式化为，解得． 不等式的解集为． 故选：． 5.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：令， 则， 又的定义域为，关于原点对称， 所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，故C，D错误； 当时，，故B错误． 故选：． 6.已知幂函数是奇函数，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查幂函数的性质，属于基础题． 依题意，，解得或，再由函数为奇函数，解得． 【解答】 解：依题意，，解得或， 若，则不是奇函数； 若，则为奇函数． 故选：． 7.已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性求解不等式，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 解决此题的关键是根据函数的奇偶性和单调性结合题中条件建立关于的不等式求解． 【解答】 解：为偶函数， ， ， ， 又函数在区间上单调递增， ，即， ． 则取值范围是， 故选A． 8.已知，为正实数且，则的最小值为    ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 构造基本不等式求最值求解即可． 【解答】 解：由可知，则 ， 当，即，时，等号成立． 故答案选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下面命题正确的是(    ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查必要条件与充分条件的概念，属于中档题． 根据必要不充分条件的定义，即可判断选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断选项；由“”，不一定有“且”，即可判断选项；若，则且，结合必要不充分条件的定义，即可判断选项． 【解答】 解：对于，“”推不出“”，“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于，若，则， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于，若“”，则不一定有“且”， 例如：，，此时满足“”，但不满足“且”， 而若“且”，则一定有“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确； 对于，若，则且 ， 则若“”，则不一定有“”， 而“”时，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选ABD． 10.设函数，则(    ) A. 直线是曲线的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查分段函数及其单调性，二次函数的性质，属于中档题． 将函数转化为分段函数，进而逐个选项判断即可． 【解答】 解：由题意得 由函数解析式得，，因为，故选项A错误； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，取得最小值，所以若函数在上单调递减，则，故选项B正确 当时，， 所以 ， 所以总成立，故选项C正确 当时，， 故当时， 当时，恒小于， 此时， 所以时，，故选项D正确， 综上所述，故选BCD． 11.若，，且，则下列说法正确的是(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD  【解析】解：对于，，均为正数，且， 由基本不等式可得，，解得， 当且仅当，即，时等号成立，故A选项正确； 对于，由， 当且仅当 ，即时等号成立，故B选项正确； 对于，由， 得， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 但，函数在定义域内单调递增，无最小值，故C错误； 对于，由， 得， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得，故最小值为，D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，则它的真子集有           个 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了集合的真子集问题，是一道基础题． 求出集合，求出的子集即可． 【解答】 解：集合， 则它的真子集有，，共个， 故答案为：． 13.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为          ． 【答案】  【解析】解：当时，，满足题意， 当时， 则，即，解得：， 综上：， 故答案为：． 14.设函数若，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】由题意得 或 解得． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，集合， Ⅰ若，求和； Ⅱ若，求实数的取值范围． 【答案】解：Ⅰ时，，， ，或； Ⅱ由，得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，， 所以的范围．  【解析】本题主要考查了集合的交并补混合运算，还考查了集合的包含关系与集合并集运算的相互转化，体现了分类讨论及转化思想的应用．属于基础题． Ⅰ先求出集合，然后结合集合的并集，交集及补集运算定义即可求解； Ⅱ由，得，然后对是否为空集进行分类讨论可求． 16.本小题分 已知集合，． 若集合，求此时实数的值； 已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】解：， 所以，方程的两根分别为和， 由韦达定理得，解得； ， 由于是的充分条件，则． 当时，， 此时不成立； 当时，， ，则有，解得； 当时，， ，则有，解得． 综上所述，实数的取值范围是．  【解析】本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系，同时也考查了利用充分条件关系求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系，考查分类讨论思想的应用，属于中档题． 由题意知，方程的两根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数的值； 求出集合，分、、三种情况讨论，结合题中条件得出，可列出关于实数的不等式组，解出即可． 17.本小题分 已知正数满足 (ⅰ)求的最大值； (ⅱ)求的最小值． 若关于的方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】解：因为，，， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 当，时，有最大值 因为，，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值； 因为有两个正实数根，， 所以，解得， 所以， 令，则，故， 当且仅当即，时取得等号， 故的最小值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 已知二次函数的最小值为，且． 求的解析式； 若在区间上不单调，求实数的取值范围； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：根据题意二次函数  满足  ，得函数  的对称轴为  ， 又函数  的最小值为  ，可设  ， 又因为  ，可得  ，解得  ， 所以函数  的解析式为  ． 由函数  ，其对称轴为  ， 要使得函数  在区间  上不单调， 则满足  ，解得  ， 故实数  的取值范围为  ． 由函数  ， 若在  上，  恒成立， 则  在  上恒成立， 即  在  上恒成立， 设  ，则  开口向上，对称轴为  ， 又  在  上恒成立，即  ， 当  ，即  时，  在  上单调递增， 则  ，解得  ，则  ； 当  ，即  时，  ，解得  ，则  ； 当  ，即  时，  在  上单调递减，  ，解得  舍去； 综上，实数  的取值范围为  ．   【解析】本题考查二次函数的解析式、最值，利用函数的单调性求参，不等式恒成立问题，属于综合题根据题意设出二次函数的顶点式，再由  得  ，从而得解； 由题意得  ，解之即可得解； 将问题转化为  在区间  上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解． 19.本小题分 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． 设函数，证明：为奇函数； 十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有，则，其中为常数．假设． (ⅰ)求的解析式；(ⅱ)设，若不等式的解集为，求，的值． 【答案】解：函数的定义域为，关于原点对称． 因为， 令，得，所以． 令，得， 所以， 即，所以为奇函数． 由知，， 即， 由题知，，又， 所以，即． 因为不等式的解集为， 当时，有即， 所以， 故，解得，，不合题意，舍去． 当且时， 有，解得，． 当且时， 有，解得，，舍去． 当时， 有，解得，，不合题意，舍去． 综上，，的值为，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $