专题02 圆锥曲线热点题型突破（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题02 圆锥曲线热点题型突破（七大题型） 考点01 椭圆的标准方程与性质 考点02 双曲线的标准方程与性质 考点03 抛物线的标准方程与性质 考点04 焦点三角形 考点05 弦长问题 考点06 面积问题 考点07 定值与定点问题 考点01 椭圆的标准方程与性质 1．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长，分别是椭圆左、右焦点，点在上，由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长，所以. 2．AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 【答案】A 【详解】设椭圆中心为原点，过中心，故, =，所以当与x轴垂直时，取得最大值， 所以的最大值是. 3．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以.又，所以.且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 4．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和，即， 因为，所以，所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形．故选：D. 5．已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8．依题意知：，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，，所求点的轨迹方程为． 6．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 7．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，，即，根据椭圆的定义，点在椭圆上，有，设，则，，由基本不等式，代入得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 8．（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由 ，得 ，所以 ．由题意，，所以 ，从而若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为因此符合条件的是 A、C． 9．（多选）若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ACD 【详解】方程表示椭圆，，解得且，结合选项，故m的值可以为ACD． 10．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】4 【详解】由题可知，又，所以. 11．以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为，因为点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆方程为. 12．椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 【答案】 【详解】由题意，得，解得，则椭圆方程为. 13．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】/ 【详解】设是椭圆的右焦点，则，.根据椭圆的定义得，所以.所以.因为，所以，所以的最大值为， 故的最大值为.故答案为：. 14．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 解：由题意得，即，化简得. 15．（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 解：（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. 16．已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 解：（1）由题意知，故， 椭圆经过点，则，即，解得，. 故椭圆的方程为. （2）设椭圆上的点为，则， 又点（）， 所以 若，即时，的最小值为； 若，即时，当时，取最小值为， 综上所述，当时，最短距离为；当时，最短距离为. 考点02 双曲线的标准方程与性质 17．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【详解】由题意可知，因为，所以点的轨迹是双曲线的一支. 18．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则，由双曲线定义可知，解得或，因为，所以点在双曲线的左支上，所以，所以. 19．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【详解】由题意知，，所以.在双曲线中，有，所以，又，所以.由双曲线定义知，，即，所以或.又，即，所以.综上，. 20．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知方程表示双曲线，则，解得或.因此实数的取值范围是. 21．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，设双曲线， ， ，由双曲线的定义得，解得，，所以双曲线. 22．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点，所以，的双曲线的左支， 又，则，故，动圆圆心的轨迹方程为.故选：C 23．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，所以双曲线的焦半距为2，由题意可知双曲线离心率为，所以可知双曲线，解得.因为为双曲线右支上任意一点，所以，即，又因为，所以， 令，得，由对勾函数单调性可知其中单调递增，当时，取到最小值，即，所以的最小值为． 24．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，.则由题意可得，，即.所以，当且仅当三点共线时，等号成立.即的最小值为. 25．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得，即.又，当三点共线时取等号.所以，即周长的最小值为4. 26．关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确；对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解；若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解，综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足，解得或，故D正确. 27．（多选）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BD 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则.故焦点，.则，A错误.对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，，由双曲线定义得， （*），又，，代入（*）解得，故切点为，B正确.对于C，若，则.双曲线：，所以.椭圆：，则，所以.故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则.又，则，所以，则，即，则，，故椭圆方程为，D正确. 28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】由题意得，，由双曲线定义知，联立，解得， 设，因为，所以点在双曲线的右支上，则，因为，所以①， 又因为点在双曲线上，则②，联立①②解得或.所以． 29．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如，其中，则，故点的轨迹方程为. 30．与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 【答案】 【详解】因为所求双曲线与双曲线共焦点，所以，设所求双曲线的方程为．因为方程经过点，所以，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的方程为． 31．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【详解】因为在椭圆中，所以，所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为设所求双曲线的方程为，则有，解得，所以所求双曲线方程为.故答案为： 32．双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6，则 _____． 【答案】 【详解】已知双曲线焦点为，则，设，已知， 由双曲线的性质可知，由距离公式可得： ，， ，解得，，解得． 考点03 抛物线的标准方程与性质 33．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 .由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离，故 . 34．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 35．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以，化简得，即点的轨迹方程为.故选：C 36．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，则，， 当且仅当时取等号，此时，，. 37．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线和的焦点分别为、，由题意得，，即，由基本不等式，可得，所以，即的最大值为（当且仅当时取等号）.故的最大值为. 38．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为，已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3，即 ，解得. 39．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】设，（），由，得，所以． 因为在圆上，所以，得，故选：A． 40．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得，由抛物线的定义可知，因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足，设直线的倾斜角为，，则，解得所以直线的倾斜角为. 41．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【详解】由题意，在圆中，，圆心，半径，在抛物线中，点为抛物线上一点，∴，连接，设切点为，，分别与点连接，则切线,由几何知识，，， ∵，∴由勾股定理得，，在中，对称轴，函数开口向上,∴函数在上单调递增，∴切线在处取最小值， .    42．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】∵ 抛物线，，∴ 焦点的坐标为.分两种情况讨论：① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程得，故，，中点，此时直线的斜率为.② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），联立，消去整理得.设，，由韦达定理得， ∴ .∵ 为线段的中点，∴ 的横坐标，纵坐标.∴ 直线的斜率.要求的最大值，不妨设（时斜率为负，显然小于正数），则.由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，∴ .综上，直线的斜率的最大值为. 43．（多选）已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 【答案】BCD 【详解】当时，与同号，将方程化为.当且时，该方程表示椭圆，当且时，该方程表示圆.当时，方程表示的轨迹不存在，故A选项错误.当时，与异号，当时，方程表示焦点在轴上的双曲线.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，故B选项正确.当或时，该方程表示两条直线，C选项正确.因抛物线方程中只存在一个二次项，故中有一个为0，而中有一个为0时，此时无一次项，方程就不可能表示抛物线，故D选项正确.故选：BCD 44．已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 【答案】 【详解】在抛物线中，，得.焦点坐标为，焦点在轴上，根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离为. 45．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 【答案】或 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心，又的半径，其与抛物线有两个交点，则，由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以，当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）；综上，或.故答案为：或 46．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【详解】由抛物线方程得，设，，由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，所以， ，，所以，即该光线经过的路程为. 47．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，写出满足条件的一个的值，________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】抛物线关于轴对称，正方形有3个顶点在抛物线上，不妨设正方形顶点与坐标原点重合，顶点关于轴对称，由正方形边长为2，，得，则点的坐标为，即,将代入抛物线方程，得，整理得，解得，满足，符合题意. 考点04 焦点三角形 48．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由题意知，，. 因为，所以.又，即，所以.所以. 49．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，.若，则，由余弦定理得，因为，所以. 50．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距，则，离心率，联立，解得，，， 椭圆上，，当时，的面积最大，最大值为． 51．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，（为坐标原点），因为，则， 所以，，所以，所以，解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ，根据椭圆定义，得,，故所求的周长为. 52．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 53．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ，设双曲线实半轴长为，那么，根据双曲线的定义可知，，, 又,所以的周长为. 54．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，，在中，由余弦定理可得， 又，则有，①又为的中点，由中线定理可得， 即，②，②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设，则，因为都在双曲线上，所以，，所以，则． 55．已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理可得：， 即，解得，所以． 56．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即.由，可得，则.若点在双曲线的左支上，由，可得，此时的周长为；若点在双曲线的右支上，，与不符.综上，的周长为22. 57．已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 【答案】6 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为.因为椭圆方程为，所以.所以的周长为. 58．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令，，，则，得， ，，由双曲线定义得，则点G与点重合， 又，则，即.又，，直线GT的方程为，，. 59．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【详解】由可得，，，，，方法一：过点作的垂线交于，则，，所以的面积为. 方法二：在中，.因为，所以，所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 60．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 解：（1）如图所示； 由题知，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为， 动圆与圆外切，同时与圆内切． ，，. 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，. ，，， 动圆圆心的轨迹方程为. （2）如图所示； 由题知，当的面积最大时，点为椭圆短轴端点，不妨设点的坐标为， 此时为等腰三角形，为直角三角形，设, 又，. 的正切值为. 61．在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为曲线上一点，且，求的周长和面积. 解：（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径， 设动圆圆心，半径，动圆与内切：，动圆与外切：，两式相加得， ，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，， 故轨迹方程是； （2）由为曲线上和椭圆的定义得， 故的周长， 在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得， 故的面积. 所以的周长为，面积为. 考点05 弦长问题 62．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【详解】对于选项A：由双曲线定义可得，则，则，又，则，故A正确；对于选项B：设，则，即，双曲线的渐近线为，则，由对称性，不妨设在上，在上，则，，有，由，则，则，故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、，又，， 即，则，则，又，故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确． 63．（多选）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为，对于A，当直线斜率为0时，，A错误；对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交，并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确；对于C，当斜率为0时，成立，当斜率不为0时，若直线与交于同一支，则，设，，由，得，则，，， 因此 ，若直线与交于左右两支时，不妨设在左支，，同理可得成立，因此恒成立，C正确；对于D，当直线与交于右支时，，当直线与交于左右两支时，不妨设，， 由，得，当直线斜率为0时，，因此的取值范围为，D正确． 64．（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为.设， 由抛物线定义得.将代入， 整理得， 由韦达定理得.对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得，∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确；对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上，而中点为， 垂直平分线为， 故.代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确；对选项C：∵ ， ∴ ， 即.代入得， 即，解得（负根舍去）， 则，∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误；对选项D：，代入， 得，令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 65．已知双曲线（，），为坐标原点，为右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线与双曲线在第一象限的渐近线及轴分别交于点，，且满足，则该双曲线的离心率为________． 【答案】或 【详解】由题可设过点且倾角为的直线方程为，联立方程，解得，所以，从而，又，所以由，得，即，化简得，或，所以或. 66．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】3 【详解】令，，解得，故， 因为，所以，又因为，解得，所以双曲线的离心率为. 67．已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 【答案】 【详解】 设，，因此：，得，，得， 因此，直线斜率必然存在，由弦长公式，代入，解得.所以直线的斜率为. 68．已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 (1)求的周长； (2)求的取值范围 解：（1）由椭圆，得，，故，，因此焦距. 根据椭圆的定义，对任意椭圆上的点，有， 则的周长为： . （2） 由，可得， 设，椭圆上点到焦点的距离满足，即. 令，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为，属于区间： 当时，取最大值； 当时，取最小值. 因此，即的取值范围为. 69．已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 解：（1）依题意可得，， 解得，， 所以的方程为． （2）将代入，整理得， ． 设，，． 由韦达定理得， 则， ， 所以． 70．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点P在椭圆上， B为上顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 解：（1）由题意得椭圆的焦点为，故，即①. 将点代入椭圆方程得②. 将代入②，整理得，解得（负根舍去），故. 因此椭圆的方程为. （2）由椭圆定义，对椭圆上任意点，有，且. 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，此时为椭圆短轴顶点，符合条件. 故的最大值为. （3）由椭圆方程得上顶点的坐标为，设，，满足， 则 该二次函数开口向下，对称轴为，当时，. 故的最大值为.    71．已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 解：（1）由题意知，化简得， 故曲线的方程为； （2）方法一：设，由题意知 所以， 因为，所以，又， 又是直线被椭圆截得的弦在轴上投影的长度， 当直线为轴时，该弦为长轴，投影长度取最大值4，故， 所以，当或时取等. 故的最大值为2. 方法二：设，由题意知 若直线的斜率存在设为，则， 联立，消去得， 易知，所以. 所以， 故， 设，则， 所以， 易知在递减，所以时的最大值为2， 若直线的斜率不存在时，易知，故的最大值为2 方法三：设，由题意知 由题意知直线设为，则， 联立，化简得， 易知，所以， 所以 故， 设，则， 设则 因为在递减，所以 当直线的斜率为0时，易知，故的最大值为2. 考点06 面积问题 72．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值，因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则，离心率，故A正确. 73．已知椭圆C的离心率为，以其左顶点为圆心，为半径作圆，圆交椭圆于、两点，且线段中点的横坐标为. (1)求椭圆的标准方程; (2)圆交直线于、两点，点在线段上，过点作椭圆的两条不同切线、(、为切点)，求面积的取值范围. 解：（1）设，则，， 联立消去得：， 由于椭圆是关于轴对称的图像，且圆的圆心在轴上，即圆也是关于轴对称的， 则点和点关于轴对称，即中点为， 代入，解得， 从而椭圆方程为：. （2）易知，，设，则. 注意到直线方程为， 与椭圆方程联立，消去得， 点到线段的距离 从而，其中， 设， 则， 故在上为增函数，故， 所以.    74．已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 解：（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    75．设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求的面积． 解：（1）由题意知，解得. 故椭圆的方程为 （2）由（1）知，所以 . 又为椭圆上一点，所以， 在中，由余弦定理，得， 即①. 将平方，得 ②. ①—②，整理得， 所以. 76．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 解：（1）由题意得，圆的圆心为，半径为1， F与圆M：上的点距离最小值为， 故，解得，负值舍去，所以； (2)证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立可得， 由得，化简得， 其中，故，解得， 所以直线的方程为，即， 又，所以，即，； （3）设，， 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为， 由于点为两直线的公共点，则， 所以坐标满足方程， 所以直线的方程为， 联立与得， 由韦达定理可得， 所以， 点到直线的距离为， 所以， 因为 由，解得， 所以当时，取得最大值，最大值为20， 故的面积最大值为. 77．已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为双曲线C的渐近线为，所以由题意知，即， 由C的焦距为6，得，即，故， 所以，， 所以C的方程为． （2）圆的圆心为，半径为， 因为直线l与圆相切， 所以，解得（舍）或， 所以l的方程为，即． 设，，联立方程得， 所以，． 所以． 又原点O到l的距离， 所以的面积为． (3)存在，或． 理由如下： 设，， 联立方程得，， 所以，． 假设定点在以线段AB为直径的圆上，则， 又，， 所以， 即， 所以， ， 整理得， 该式对任意m恒成立，所以各项系数必须全部等于0，得， 若，则，方程无解，所以，， 当，时，，解得（舍）或； 当，时，，解得（舍）或． 综上所述，或． 78．已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 解：（1）已知椭圆的长半轴长为2，即． 又已知焦距为，即， 所以． 根据椭圆的性质， 可得 所以， 故椭圆的方程为． （2）依题意，直线的斜率必然存在，设该直线的斜率为， 则直线的方程为， 设，， 联立方程：，整理得． 因为直线与椭圆交于两个点，所以，即，，， 到直线的距离， 根据弦长公式， 可得， 所以． 设，则，即， 所以，当且仅当时等号成立． 当时，，解得， 所以直线的方程为或， 因此的面积的最大值为1，此时直线的方程为或． 79．已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 解：（1）因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 80．在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 解：（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 考点07 定值与定点问题 81．（多选）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，点的坐标为，延长线段，与分别交于点，，则（   ） A． B．一定为钝角 C． D．直线过定点 【答案】BCD 【详解】对于A，由抛物线的焦点为，可得，解得，所以A错误； 对于B，设过点的直线方程为，且 由选项A知，抛物线的方程为，联立方程组，整理得，则，且，因为，可得，则 ，可得向量和的夹角为钝角，所以为钝角，所以B正确；对于C，由抛物线的定义，可得，则，，因为和在直线上，且满足可得，， 所以，且，所以，所以C正确；对于D，设，且直线的方程为，设，直线的方程为，联立方程组，整理得，则，即，同理可得：，则，且，又由直线的斜率为，所以直线的方程，将代入，可得，化简得，令，可得，所以直线过定点，所以D正确. 82．已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 解：（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 83．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 解：（1） 设圆的圆心坐标为，半径为， 由题可得圆的圆心坐标为，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 因为，， 所以圆内含于圆， 因为圆与圆相切且与圆内切， 则此时圆与圆内切，且，，， ， 所以圆心的轨迹为椭圆，焦点为，， 有，，， 所以的方程为. (2)（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在.理由如下： ，，， 所以， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分， 故当点为的中点，即点为以为直径的圆的圆心， 即时，，为定值， 所以，存在定点，使得为定值，且该定值为. 84．已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由椭圆性质可得：上下顶点为、，右焦点为， 故，设椭圆上动点，所以，即， 根据直线斜率公式可得：​，，则， 将代入可得：，进一步化简可得： ，又因为，所以，由可得： ，解得，因此椭圆方程为. （2）（i）设点，由题意可知， 设直线的方程为，因为直线与圆相切， 可得：，即， 联立直线与椭圆方程消去得：， 故， 由弦长公式 代入韦达定理得： 平方得， 令得 此时， 此时， 当切线斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得： ，化简可得：，即， 取上交点，下交点， 则，综上可得取得最大值：.​​ （ii）根据斜率的定义可得： ， 其中， 又，结合几何意义可得， 又，代入可得：， 化简可得：，又， 所以是个定值. 85．已知双曲线C：的左顶点为A，P为C右支上一点且位于第一象限，P，Q关于x轴对称． (1)若，求的面积； (2)设M为x轴正半轴上一点，N为x轴负半轴上一点，直线与直线交于点D． （ⅰ）设，，求P的横坐标（用a，m表示）． （ⅱ）证明：存在定点M，N使得始终平分． 解：（1）易知， 代入双曲线得，解得，所以． （2）（i）法一：由题意得， 因为，所以， 所以， 联立，解得， 则． 法二：设，易知： 因为，，三点共线，所以， 因为，，三点共线，所以， 所以， 由等比定理易知， 解得，所以． （ii）法一：由（i）知， 将点代入中，有， 化简整理得（I） 设点，因为始终平分，所以， 所以， 化简整理得，（II） 即点在圆（部分）上运动（阿波罗尼斯圆）， （I）（II）对照系数可得，解得． 经检验，此时（I）（II）的方程均为， 即存在使得直线始终平分． 方法二：与（i）同理：由等比定理易知：， 所以． 作的外角平分线交轴于点，易知，所以， 因为，所以， 所以直线， 令得：， 因为在双曲线上， 所以， 所以， 易知为定点，所以，解得或， 因为，所以，所以， 由角平分线定理易知，即， 解得，故存在定点和，使得始终平分． 86．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 解：（1）根据椭圆的对称性，，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 所以，，，三点在椭圆上． 把，，代入椭圆， 得：， 解得，， 所以椭圆的方程为． (2)证明：将椭圆按照向量平移， 则得到方程， 平移后，，设方程为， 即（构造齐次式）， 同除以得，， 因为点，的坐标满足这个方程， 所以，是这个关于的方程的两个根． 所以， 故过定点，平移回去可得过定点， 所以过定点． 87．已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 解：（1）因为，又， 所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为． (2)可设直线：，代入抛物线，整理得； 记，，则，， 所以（定值）． （3）因为，，显然，． 联立消去，解得，同理，可解得， 由（2）知，故得； 因为，，记，则， 故，即， 即，即，当且仅当时取到等号． 综上，的最大值为． 88．已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 解：（1）点在椭圆上，所以， 离心率，可得， 所以，可得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设， 由为的重心，可得，即， 所以的中点为， ，由点差法可得， 即， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ⅱ）设， 由为的重心，可得，即， 当直线斜率不存在时，设，代入椭圆可得， 则，，代入椭圆得， 不妨取，，， ； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 所以，则， 所以，代入椭圆得， ， 点到直线的距离为， 则 . 所以的面积为定值，定值为. 89．已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． （3）的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线热点题型突破（七大题型） 考点01 椭圆的标准方程与性质 考点02 双曲线的标准方程与性质 考点03 抛物线的标准方程与性质 考点04 焦点三角形 考点05 弦长问题 考点06 面积问题 考点07 定值与定点问题 考点01 椭圆的标准方程与性质 1．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．AB为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（    ） A．bc B．ac C．ab D． 3．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 5．已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 8．（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 11．以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 12．椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 13．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 14．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 15．（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 16．已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 考点02 双曲线的标准方程与性质 17．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 18．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 19．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 20．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 22．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 23．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 24．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 25．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 27．（多选）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 29．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 30．与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的方程为________． 31．与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 32．双曲线 上一点 到两焦点 的距离之和为 6，则 _____． 考点03 抛物线的标准方程与性质 33．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 35．设点为动点，记的斜率分别为，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 36．已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 37．已知抛物线和的焦点之间的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 39．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 40．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 41．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 42．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 43．（多选）已知方程，则（   ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示双曲线 C．方程可能表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线 44．已知点为抛物线上一点，则点到的焦点的距离是___________． 45．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 46．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 47．已知正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上，写出满足条件的一个的值，________． 考点04 焦点三角形 48．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 49．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 50．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 51．设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 52．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 53．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 54．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 55．已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 56．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 57．已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 58．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 59．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 60．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 61．在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为曲线上一点，且，求的周长和面积. 考点05 弦长问题 62．（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 63．（多选）已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若满足的直线恰有3条，则 C．恒成立 D．的取值范围为 64．（多选）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 65．已知双曲线（，），为坐标原点，为右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线与双曲线在第一象限的渐近线及轴分别交于点，，且满足，则该双曲线的离心率为________． 66．设双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于、两点，若，则双曲线的离心率为_____________． 67．已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 68．已知椭圆，为Γ的左、右焦点，点A在椭圆Γ上 (1)求的周长； (2)求的取值范围 69．已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 70．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且经过点，点P在椭圆上， B为上顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 71．已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 考点06 面积问题 72．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 73．已知椭圆C的离心率为，以其左顶点为圆心，为半径作圆，圆交椭圆于、两点，且线段中点的横坐标为. (1)求椭圆的标准方程; (2)圆交直线于、两点，点在线段上，过点作椭圆的两条不同切线、(、为切点)，求面积的取值范围. 74．已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 75．设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求的面积． 76．已知抛物线C：（）的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)从抛物线C上任取一点，过点Q作C的切线l，证明：l的方程为. (3)若点P在M上，，是C的两条切线，且A，B是切点，求面积的最大值. 77．已知双曲线C：的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线l：交于，两点，其中为定值且． (1)求的方程； (2)若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； (3)是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 78．已知椭圆的长半轴长为2，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积的最大值及此时直线的方程． 79．已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 80．在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 考点07 定值与定点问题 81．（多选）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，点的坐标为，延长线段，与分别交于点，，则（   ） A． B．一定为钝角 C． D．直线过定点 82．已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 83．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 84．已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 85．已知双曲线C：的左顶点为A，P为C右支上一点且位于第一象限，P，Q关于x轴对称． (1)若，求的面积； (2)设M为x轴正半轴上一点，N为x轴负半轴上一点，直线与直线交于点D． （ⅰ）设，，求P的横坐标（用a，m表示）． （ⅱ）证明：存在定点M，N使得始终平分． 86．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 87．已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 88．已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 89．已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $