2026-2027学年高二上学期数学期中考试模拟拔高卷3（江苏省适用）(范围：直线方程、数列、导数)

2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线（）的倾斜角的取值范围是（　　） A. [] B. []∪[ C. [] D. [ 【答案】B 【解析】 【分析】写出斜率并求其范围，再分段转化为倾斜角． 【详解】斜率∈[]． 当时，∈[]； 当时，∈[． 所以倾斜角的取值范围是[]∪[． 故选：B． 2. 过点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】设截距式，由面积条件得||=，再按与分类求截距． 【详解】设直线为，则且||=，即||=． 若，则且，解得，得直线； 若，则且，得，即，有两个不同的解，对应两条直线． 所以共有条． 故选：C． 3. 已知等差数列中，，且，则取得最大值时的值为（　　） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，即，再判断各项符号． 【详解】由得， 由等差数列的性质得，所以， 又，所以公差，，， 故在或时取得最大值． 故选：A． 4. 已知等比数列的前项和为，若，，则公比=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用建立关于的方程． 【详解】，所以， 即，，所以． 故选：D． 5. 函数的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后解不等式，注意定义域． 【详解】定义域为，， 令得， 所以单调递增区间为． 故选：B． 6. 已知数列的通项公式为，则的最大项为（　　） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】A 【解析】 【分析】比较相邻两项的大小，判断数列的单调性． 【详解】， 所以单调递减，最大项为第项． 故选：A． 7. 过点且与曲线相切的切线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】D 【解析】 【分析】设切点，写出切线方程并代入已知点，转化为三次方程实根个数问题． 【详解】设切点为，切线方程为， 代入得， 整理得， 令，则，，，， 所以该方程有三个不同实根，对应条切线． 故选：D． 8. 已知数列满足，（为正整数），则=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造等比数列求通项，再代值计算． 【详解】由得， 又，所以，即， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线（），则（　　） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与轴垂直 C. 直线的斜率不可能为 D. 直线一定不经过原点 【答案】ABC 【解析】 【分析】把方程按整理求定点，逐项代入检验． 【详解】对于A，方程整理为，令且，解得，，A正确； 对于B，当时，直线为，即，与轴垂直，B正确； 对于C，若，则，矛盾，故斜率不可能为，C正确； 对于D，将代入得，即时直线过原点，D错误． 故选：ABC． 10. 已知等差数列中，，且，则（　　） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由求公差，再求通项与前项和． 【详解】由得，解得，A正确； ，B正确； ，，，所以的最大值为，C正确； ，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（　　） A. 的单调递增区间为 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 在处取得极小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导、求驻点、判断符号后逐项核对． 【详解】， 当或时，当时， 所以单调递增区间为和，A错误； 极大值为，B正确； 极小值为，即在处取得极小值，C，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距均为与截距互为相反数且不为两种情况． 【详解】若截距均为，则直线过原点，设，代入得，此时； 若截距互为相反数且不为，设，代入得，即， 此时，即． 13. 已知等比数列中，，公比，则使成立的最小正整数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】写出后解不等式，注意为正整数． 【详解】，由得， 因为，，所以最小正整数． 14. 函数在[]上的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】求导得极值点，比较极值与端点函数值． 【详解】，在[]内的驻点为， ，，， 所以最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点． （1）若的面积最小，求的方程； （2）若||+||=，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】设截距式，第（1）问用基本不等式，第（2）问联立方程组求解． 【详解】设（，），则． （1）由得， 所以的面积，当且仅当，即，时取等号， 此时，即． （2）由及得， 把代入得，即， 解得或， 当时，，即； 当时，，即． 【点睛】第（1）问用“的代换”型基本不等式；第（2）问得到两个解，都要检验截距为正，不能漏解． 16. （15分）已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）两边同除以；（2）由等差数列通项求；（3）错位相减． 【详解】（1）由两边同除以得， 又，所以是首项为、公差为的等差数列． （2）由（1）得，所以． （3），① 则，② ②－①得 =． 【点睛】本题第（3）问用“”避免了负号混乱；结果形式简洁，可用，验证． 17. （15分）已知函数（为常数）在[]上的最大值为． （1）求的值； （2）求在[]上的最小值． 【答案】（1）；（2）最小值为． 【解析】 【分析】求导确定区间内的极值点，比较极值与端点函数值确定最大值，再求最小值． 【详解】， 在[]内令得， 当时，当时， 所以在处取得最大值， 由得． （2），， 所以在[]上的最小值为． 【点睛】闭区间上求最值，需把区间内的极值与两个端点函数值一起比较；本题区间内只有一个驻点，且它是极大值点，故最大值由它取得． 18. （17分）已知数列满足，（为正整数）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）累加求和；（2）分组求和；（3）裂项相消． 【详解】（1）当时，， 时也适合，所以． （2）． （3）因为， 所以． 【点睛】第（3）问的裂项依据是，恰为分子的，因此无需额外系数，这是设计裂项时的常用技巧． 19. （17分）已知函数． （1）求的极值； （2）讨论方程的实根个数； （3）解方程． 【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）当或时有个实根，当或时有个实根，当时有个实根；（3）或． 【解析】 【分析】（1）求导定极值；（2）数形结合转化为交点个数；（3）因式分解解方程． 【详解】（1），令得， 当或时，当时， 所以极大值为，极小值为． （2）①当或时，直线与图象只有个交点，方程有个实根； ②当或时，有个交点，方程有个实根； ③当时，有个交点，方程有个实根． （3）由得，即， 所以或． 【点睛】三次方程根的个数问题，标准做法是先求极值，再由水平直线与图象的交点个数分类；本题第（3）问恰好对应（介于极小值与极大值之间）的情形，应有三个根． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高二数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线（）的倾斜角的取值范围是（　　） A. [] B. []∪[ C. [] D. [ 2. 过点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 3. 已知等差数列中，，且，则取得最大值时的值为（　　） A. 或 B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，若，，则公比=（　　） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，则的最大项为（　　） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 7. 过点且与曲线相切的切线共有（　　） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 8. 已知数列满足，（为正整数），则=（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线（），则（　　） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与轴垂直 C. 直线的斜率不可能为 D. 直线一定不经过原点 10. 已知等差数列中，，且，则（　　） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 11. 已知函数，则（　　） A. 的单调递增区间为 B. 的极大值为 C. 的极小值为 D. 在处取得极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为____________． 13. 已知等比数列中，，公比，则使成立的最小正整数为____________． 14. 函数在[]上的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点． （1）若的面积最小，求的方程； （2）若||+||=，求的方程． 16. 已知数列满足，（为正整数）． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 17. 已知函数（为常数）在[]上的最大值为． （1）求的值； （2）求在[]上的最小值． 18. 已知数列满足，（为正整数）． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）讨论方程的实根个数； （3）解方程． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $