精品解析：江苏扬州市江都区部分学校2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷

2025-2026学年度高二上学期数学期中测试 （试题满分150分，考试时间120分钟） 2025.11 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 圆和的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 4. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 8. 已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则直线不经过第一象限 D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 10. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 若点，则的最大值为 11. 已知圆：，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为 D. 与交于点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 13. 若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若复数是方程的一个根，求实数的值. 16. 已知的三个顶点坐标分别为，，. （1）求边上高所在直线方程； （2）求的外接圆方程. 17. 已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求. 18. 已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线相切，求直线的方程； （3）若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期数学期中测试 （试题满分150分，考试时间120分钟） 2025.11 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为， 所以直线斜率为. 设直线的倾斜角为，则，且， 则. 2. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为. 所以. 3. 圆和的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】由圆与圆的位置关系判断， 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆可化为，圆心为，半径为4， 而两圆心的距离为，故两圆外切， 故选：D 4. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为，即， 所以与之间的距离为， 故选：A 5. 已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆：的圆心为，半径. 设关于直线：的对称点为. 由，所以. 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 6. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知的焦点与点的坐标，利用双曲线定义求出和，再通过算出即可写出标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 7. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 8. 已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义可得，进而可表示各边长，再结合余弦定理可得离心率. 【详解】 如图所示，设，则，， 由椭圆定义可知，， 则，，， 且， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 即离心率为. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则直线不经过第一象限 D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A，当时，可得，则直线：，， 当时，可知，则，此时， 当时，此时：，：，可得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，可得，则：，得，可知：， 当，即时，重合，所以选项B错误； 对于选项C，可知：，当时，，所以图像经过第一象限，所以选项C错误； 对于选项D，当时，可得：，过， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以选项D正确. 10. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 存在点，使得 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率公式直接判断A选项；根据点坐标的范围及焦点三角形面积计算公式可判断B选项；假设存在点使，可知此时点在以为直径的圆上，判断圆与椭圆位置关系即可判断C选项；根据两点间距离公式及点坐标的范围可判断D选项. 【详解】A选项：由椭圆方程可得，，，则离心率，A选项错误； B选项：设点，易知，且， 则，所以当时，取得最大值为，B选项正确； C选项：假设存在点使，则此时点在以为直径的圆上， 即点在圆上，又在椭圆上， 联立，无解，与假设矛盾，所以不存在点使，C选项错误； D选项：，又点在椭圆上，即， 所以， 又，所以当时，，D选项正确. 11. 已知圆：，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，下列说法正确的是（ ） A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为 D. 与交于点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】可知圆的圆心为，半径为，如图所示， 对于选项A，可知为直角三角形，所以， 点到直线：的距离为，即的最小值为，所以的最小值为1，所以选项A正确； 对于选项B，四边形面积为，可知， 所以四边形面积的最小值为，所以选项B正确； 对于选项C，圆上一点到直线的最小距离为，所以圆上恰有两个点到直线的距离为，所以选项C错误； 对于选项D，可知，所以， ， 当取得最小值1时，取得最小值，此时取得最大值，所以选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得， 由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 13. 若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可知，再结合点到直线距离公式可得，又因为，于是解得. 【详解】由题可知为等边三角形， 设到的距离为，圆的半径为， 则，再结合点到直线距离公式可得. 所以，又因为，所以解得 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】第一空直接利用椭圆离心率公式列方程求；第二空利用椭圆的对称性将“圆过右焦点”转化为圆的半径，再联立直线、圆与椭圆方程消去交点坐标，代入由离心率确定的比例关系即可解出斜率. 【详解】对于椭圆，由题意得其离心率，，，所以， 进而，解得， 对于椭圆，由题意得其离心率，进而， 且，进而有， 因为直线过原点，所以是线段的中点， 因为以线段为直径的圆过点，所以， 即以线段为直径的圆的方程为， 设点，则有，，， 将代入后两式得，联立整理得， 将与代入得，即， 结合，解得. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若复数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 所以， 因为是纯虚数， 所以且，即． （2）已知复数是方程的一个根， 所以将代入方程，得， 得． 16. 已知的三个顶点坐标分别为，，. （1）求边上高所在直线方程； （2）求的外接圆方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边上高与垂直得到直线斜率，再由边上高过，由点斜式得到边上高所在直线方程；（2）的外接圆方程过原点，故可设为，再利用待定系数法求解即可. 【小问1详解】 边上高与垂直，因为 所以边上高的斜率为，又因为边上高过， 所以边上高所在直线方程为. 【小问2详解】 因为的外接圆方程过， 所以可设圆方程为，因为圆过，， 所以，由于三角形一定存在外接圆， 所以外接圆方程为. 17. 已知椭圆：（），直线：被椭圆截得的弦长为，且满足，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再结合，求出即可； （2）根据题意得到直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由被椭圆截得的弦长为，得，又，所以，即，解得，， 所以所求的椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，，椭圆的右焦点，所以的方程为， 联立，化简得， 由韦达定理得，；， 所以. 18. 已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线相切，求直线的方程； （3）若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 【答案】（1） （2）或 （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，且，，联立方程组， 整理得， ，, ，所以， 又由，解得，， 所以， 因为，，均在直线上，且， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）设，利用，化简即可求得的轨迹方程； （2）若直线与曲线相切，则分两种情况求解：当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，用点斜式假设，利用圆心到直线的距离等于半径求解； （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，，，与曲线联立方程组，运用韦达定理表示出点坐标，联立直线的方程求出坐标，由于，，均在直线上，所以，最后证明为定值. 【小问1详解】 设，因为点，且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，圆心为，半径为， 因为直线与曲线相切，可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程：，即， 则，解得，此时：即； 综上可得，直线的方程为或. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，再结合是椭圆的焦点，即可求解椭圆的标准方程； （2）直线为水平直线时，不存在；当直线不是水平直线时 设直线方程为，，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，则表示出，由于在线段上，，其中，求得，再求出直线的方程； （3）当不是水平直线时，利用韦达定理表示出 ，利用，求出定点为；当是水平直线时，直接验证定点的坐标. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以① 又因为是椭圆的焦点，所以② 由①②，解得，， 所以椭圆的标准方程： 【小问2详解】 直线为水平直线时，三点共线，不符合题意， 设直线方程为， 联立，得， ， 设，，， 则 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 设则 当不是水平直线时， ，得，所以 得对一切恒成立，故， 所以定点为； 当是水平直线时，，，有成立 所以存在定点，使得恒成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $