精品解析：广东惠州市惠阳区第七中学2026-2027学年第一学期第一次拓展训练九年级数学试卷

惠阳区第七中学2026至2027学年第一学期 第一次拓展训练九年级数学试卷 满分：120分　　　　考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共计10小题，每题3分，共计30分． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将根代入方程求解m即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ∴， ∴． 4. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用配方法解答即可． 【详解】解：， ， ， 即． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，利用性质直接判断图象即可 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，顶点坐标为，顶点坐标位于轴上   故选：D ． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 7. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设月平均增长率的百分数为x ，根据棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，可列方程求解． 【详解】解∶ 设月平均增长率的百分数是x，则 ． 故选∶ D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，是增长率问题，关键找出等量关系列出方程． 8. 若抛物线的开口向上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质，掌握二次函数的定义和性质的解题的关键． 9. 某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于参与的同学每两人之间都握了一次手，所以这x个人共握手次，进而可得答案． 【详解】解：设共有位同学聚会，则由题意可列方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、明确x个人共握手次是解本题的关键． 10. 若满足，，则的值是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键． 三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题：本大题共计5小题，每题3分，共计15分． 11. 若点和在的图象上，且，比较与的大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】在的图象上，当时，随的增大而减小，故． 【详解】对，， 图象开口向上，对称轴是轴， ∴当时，随的增大而减小， 故当时，． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 13. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，先解一元二次方程得出或，再根据三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得：或， 当时，三边，不能构成三角形； 当时，此三角形的周长为， 故答案为：11． 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为_____cm． 【答案】5． 【解析】 【分析】利用等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得 （80+2x）（50+2x）=5400， 解得：x1=5，x2=-70（舍去） 答：金色纸边的宽为5cm ． 故答案为：5 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积计算方法建立方程是解决问题的关键． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设关于的一元二次方程的两个根分别为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可得． 【详解】解：由题意，设关于的一元二次方程的两个根分别为， 则，且， 由①得：， 将代入②得：， 则， 故答案为：2． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是： （1）利用负整数指数幂、零指数幂的意义，同底数幂相乘法则计算即可； （2）利用完全平方公式、平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得． 【详解】解：原式= = =， ∵x2-2x-2=0， ∴x2=2x+2=2（x+1）， ∴原式= ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）则的值为______；对称轴为______． （2）若点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为______． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】（1），轴 （2） （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，关键是求二次函数的解析式． （1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）当时，，当时，并结合函数图象求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意得且， 解得，， 二次函数当时，随的增大而增大， 二次函数的图象的开口向下，即， ； 二次函数为， 对称轴为轴． 故答案为：，轴； 【小问2详解】 解：把代入得，， ， 对称轴为轴， 该图象上点的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根的判别式条件列不等式求解； （2）利用根与系数的关系变形根的关系式，代入求解后结合（1）的取值范围取舍． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， ∵，，， ∴ ， ∴ 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：，， ∵， 又∵， ∴， 即， 将，代入得：， 整理得， 解得，， ∵由（1）知， ∴不符合题意，舍去， ∴． 21. 问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）日平均增长率为 （2）下调后每份套餐的售价为30元 （3）能，每份套餐应降价10元 【解析】 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根求解； （2）根据总利润=每份利润×销售量列方程，结合“尽可能多售空库存”的要求选择对应解； （3）令总利润为1600元，通过一元二次方程的解的情况判断是否可达到目标利润． 【小问1详解】 解：设该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）. 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每份套餐降价x元， ∵套餐食材成本为20元/份，原定价为50元/份， ∴降价后每份套餐的利润为元，即元， ∵售价每降低2元，平均每天多售出8份， ∴降价x元后，平均每天的销售量为份，即份， ∵平均每天的销售利润为1200元， ∴， 整理得， 解得（不符合下调售价的要求，舍去），， ∵要尽可能多售空库存，需销售量最大，即降价幅度最大， ∴符合要求， 此时售价为（元）. 答：下调后每份套餐的售价为30元； 【小问3详解】 解：设每份套餐降价y元时，平均每天获利1600元. 则： ， 整理得， 解得，符合下调售价的要求． 答：该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． （1）二阶行列式__________； （2）求解中的值； （3）结合材料，若，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的计算法则是解题的关键． （1）根据二阶行列式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，解方程即可得到答案； （3）分别求出m、n，再根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳区第七中学2026至2027学年第一学期 第一次拓展训练九年级数学试卷 满分：120分　　　　考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共计10小题，每题3分，共计30分． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 3. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线的开口向上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 9. 某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　) A. B. C. D. 10. 若满足，，则的值是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本大题共计5小题，每题3分，共计15分． 11. 若点和在的图象上，且，比较与的大小：______． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 13. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为_______． 14. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为_____cm． 15. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于x的方程是倍根方程．则p，q需满足____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． （1）则的值为______；对称轴为______． （2）若点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为______． （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求m的值． 21. 问题解决 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到万元． 素材2 为承接赏花客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多地售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． （1）二阶行列式__________； （2）求解中的值； （3）结合材料，若，，且，求的值． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $