精品解析：广东省惠州市惠阳区崇雅中学2025-2026学年九年级上学期段考数学试卷（12月份）

2025-2026学年九年级（上）段考数学试卷（12月份） 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 199 D. 99 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，的相反数是99， 故选：D． 2. 作出一个图形的轴对称图形后，若新图形与原图形不重合，则这两个图形的（ ） A. 形状不同 B. 大小不同 C. 位置不同 D. 以上都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，理解轴对称图形变换后，图形全等，形状和大小不变，但位置改变，即可解题． 【详解】解：∵轴对称变换保持图形的形状和大小不变，仅改变其位置， ∴原图形与轴对称图形形状相同、大小相同，但位置不同． 故选：C． 3. 2024年5月，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，这一成就为未来的深空探索奠定了坚实的基础．月球距离地球的平均距离约为，数据384400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可； 【详解】 故选：C 4. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘除法，运用相关运算法则计算出各选项结果后再判断即可． 【详解】解：A．，故该项错误，不符合题意； B．，故该项错误，不符合题意； C．，故该项正确，符合题意； D．，故该项错误，不符合题意， 故选C． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，则将点向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移规律回答即可． 【详解】解：将点向右平移4个单位，则点的横坐标增加4， ， 点的坐标变为， 故选：B. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 6. 固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系图象．下列说法中，错误的是（　　） A. a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B. 时，a，b两种物质的溶解度相等 C. 时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度 D. 时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象．根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可． 【详解】解：由图象可知： A、a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大， 故选项A说法正确，不符合题意； B、当温度升高至时，a，b两种物质的溶解度相等， 故选项B说法正确，不符合题意； C、时，b物质的溶解度小于a物质的溶解度， 故选项C说法错误，符合题意； D、时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g， 故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（ ）度． A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图所示，点为三个内角平分线的交点，度，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三位同学有如下判断： 甲：度； 乙：四边形的面积是不变的； 丙：当时，周长取得最小值． 其中正确的是（ ） A. 只有丙正确 B. 只有甲、乙正确 C. 只有乙、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作于点，根据三角形内心可得，然后证明，可得，根据得到四边形的面积=2，根据点D的位置固定，可得四边形的面积是定值，过点O作于点F，根据，可得，所以的周长= ，可得当最小时，即当时，的周长取得最小值，据此解题． 【详解】解：如图，过点O作于点，连接， 点是的内心， 是的平分线， 在与中， ∴， ， ， ，故甲的判断正确； 四边形的面积＝四边形DOEB的面积 点D的位置固定， 四边形OMBN的面积是定值，故乙的判断正确； 如图，过点O作于点F， 的周长= 当最小时，即当的周长取最小值，即此时，故丙的判断正确， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆于内心、等腰三角形的判定、余弦、全等三角形的判定与性质，有点难度，掌握相关知识是解题关键． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 根据图中呈现的运算关系，可知a＝__________ ．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数，解题关键是掌握开立方的意义． 根据开立方的意义求解． 【详解】解：∵2025开立方得， 开立方得， ∴是2025的相反数， 即， 故答案为：． 12. 小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示： 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 那么他成绩的中位数是_______环． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或最中间的两数的平均数即可，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：总次数为， 所以中位数取第10与第11的平均数， 所以中位数为， 故答案为：8． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据a，b是方程的两个实数根，得到，代入求值即可． 【详解】∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握关系定理是解题的关键． 14. 如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 15. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图象将四边形ABCD的面积分成两部分，则m的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，得到直线过定点，即经过点，由图可知，四边形为平行四边形，根据一次函数的图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，可知，直线经过或中点，利用待定系数法求出m的值即可． 【详解】解：如图：由A、B、C、D四点的坐标依次为、、、，可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，当时，， ∴直线过定点，即直线一定过点B， ∵一次函数的图象将四边形ABCD的面积分成两部分， ∴直线经过的中点或经过的中点， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合应用．根据题意得到四边形为平行四边形，以及直线过点是解题的关键． 三．解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零指数幂．先根据二次根式的性质，绝对值的性质，零指数幂化简，再计算，即可求解． 【详解】解： 17. 如图，在矩形中，为对角线交点，过点的直线分别与边、延长线交于E、F． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：在矩形中，为对角线交点， 则， ， ， ； （2） 证明：在矩形中，为对角线交点， 则， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）由矩形的性质得，由三角形外角性质得，从而，再由矩形性质得，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，证明三角形全等及矩形性质是解题的关键． 18. 解方程∶ （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键； （1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先移项把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 四．解答题 19. 在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率． 【答案】（1）200 （2）C的人数为：（名）， 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）由D的人数除以所占的比例即可； （2）求出C的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共抽取的学生为：（名）， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种， ∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 20. 如图，点O是的平分线上一点，以点O为圆心的与相切于点C，为的直径，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：作于点F，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点F在上， ∴是的半径， ∵， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据切线的性质证得，再根据角平分线的性质得出，再证明是的半径，根据，得出是的切线． （2）先根据含有的直角三角形的性质得出，再求得，接着利用勾股定理求得，然后分别求得，，进而求得，从而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为2，是的直径， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，求其他不规则图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，与轴交于点C（1，0），若，且． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：，一次函数的表达式为： （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，先求出，，然后得到点，然后利用待定系数法，即可求出函数的解析式； （2）联合两个解析式，求出点B的坐标，然后利用数形结合，即可得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图 ∵， ∴ ∴ ∴，代入得： ∴反比例函数的表达式为：； 将，代入得： ，解得： ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：联立 解得：得，或， ∴ 故由图象可知不等式的解集为：或； 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的综合，以及待定系数法，三角形的面积，勾股定理，不等式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用图象法解决问题． 五．解答题 22. 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点F，则 ； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则 ；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 【答案】[探究]（1）35度； （2）； （3）若，则， 证明：如图3， 若，则， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， [挑战]如图4， 【解析】 【分析】[探究]（1）根据四边形的内角和定理可得，由角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角和的性质可得，由此即可求解； （2）证明方法同（1）； （3）根据，则，根据角平分线的定义可得，由，结合平行线的性质即可求解； [挑战] 根据角平分线的定义可得，由多边形内角和定理可得，结合三角形内角和定理，三角形外角和的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ． （2）如图2， 由（1）得：，， ∴ ． （3）略 [挑战]如图4， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角和性质，平行线的性质是解题的关键． 23. 如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． （1）求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； （2）抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． （3）在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴抛物线与x轴一定有两个交点； 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，， ∵， ∴这两个交点分别在原点的两侧； （2）①；② （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式和根与系数关系即可证得结论； （2）①利用待定系数法求得抛物线的表达式，运用配方法求得顶点坐标即可；②利用二次函数的性质即可求得答案； （3）①根据抛物线的平移规律即可求得答案；②分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴的函数表达式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵与y轴交于点， ∴点D关于直线的对称点为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，抛物线上的最高点是顶点，最低点是和，最高点与最低点的竖直距离为1， ∴结合图象得，． 【小问3详解】 解：①由（2）知：抛物线的表达式为，顶点为， 又∵抛物线的表达式为，顶点为， ∴抛物线是由抛物线L1向右平移2个单位向上平移2个单位得到的， ∴， ∴k的最小值为； ②在中，令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵直线，且直线l经过点C， ∴直线l的表达式为， 设直线l与抛物线的对称轴交于点K， 当时，， ∴， 设，则， ∴，， 当时，若点P在直线上，则， ∴， 解得： （舍去），， 此时，点Q在点K的上方， ∴； 当时，如图，点N的纵坐标， ∴点Q在点K的上方，四边形夹在直线与直线l之间的部分的面积大于四边形面积的一半； 当时，如图，设直线l与交于点L，则， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：（舍去），， 综上，点M的横坐标m的值为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移，矩形性质等，运用数形结合，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）段考数学试卷（12月份） 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 199 D. 99 2. 作出一个图形的轴对称图形后，若新图形与原图形不重合，则这两个图形的（ ） A. 形状不同 B. 大小不同 C. 位置不同 D. 以上都对 3. 2024年5月，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，这一成就为未来的深空探索奠定了坚实的基础．月球距离地球的平均距离约为，数据384400用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，则将点向右平移4个单位后，它的坐标变为（ ） A. B. C. D. 6. 固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．溶解度受温度的影响较大，如图是a，b两种固态物质溶解度y（g）与温度t（）之间的对应关系图象．下列说法中，错误的是（　　） A. a，b两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B. 时，a，b两种物质的溶解度相等 C. 时，b物质的溶解度大于a物质的溶解度 D. 时，a物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量为40g 7. 如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（ ）度． A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 8. 如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，点为三个内角平分线的交点，度，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三位同学有如下判断： 甲：度； 乙：四边形的面积是不变的； 丙：当时，周长取得最小值． 其中正确的是（ ） A. 只有丙正确 B. 只有甲、乙正确 C. 只有乙、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 根据图中呈现的运算关系，可知a＝__________ ．     12. 小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示： 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 那么他成绩的中位数是_______环． 13. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_______． 14. 如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________． 15. 在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图象将四边形ABCD的面积分成两部分，则m的值为_____． 三．解答题 16. 计算：． 17. 如图，在矩形中，为对角线交点，过点的直线分别与边、延长线交于E、F． （1）求证：； （2）若，求证：． 18. 解方程∶ （1） （2） 四．解答题 19. 在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项活动参加．为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共抽取了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参加同一项活动的概率． 20. 如图，点O是的平分线上一点，以点O为圆心的与相切于点C，为的直径，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，与轴交于点C（1，0），若，且． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 五．解答题 22. 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点F，则 ； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则 ；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 23. 如图1，抛物线（b为常数）与y轴交于点D． （1）求证：抛物线一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； （2）抛物线经过点，． ①求抛物线的顶点坐标； ②若，函数的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围． （3）在（2）的条件下，将抛物线平移k个单位长度得到抛物线，与x轴相交于A，C两点（点C在A的左侧），与y轴相交于B点，如图2． ①直接写出k的最小值； ②过点C作直线，点M是抛物线上对称轴右侧的一点，过点M作轴交直线于点N，分别过点M，N作的对称轴的垂线，垂足为点P，Q．当以点M、N，P、Q为顶点的四边形在直线，l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $