精品解析：广东深圳市宝安区立新湖外国语学校2026-2027学年第一学期九年级十月练习数学试卷

2026-2027学年九年级数学十月练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若，，则对应边上的中线之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 3. （三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从左面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】解：从左面观察这个几何体，看到的是： 4. 下列二次函数图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次项系数的符号判断二次函数图象的开口方向． 【详解】解：A选项二次项系数为，图象开口向上；B、C、D选项二次项系数均小于0，图象开口向下． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6. 如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ） A. B. C. 5 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 7. 2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确7月到9月共经历2次月增长，结合增长前后的游客数量列方程． 【详解】解：设该景区接待游客数量的月平均增长率为x， 可列方程． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点B的坐标是， ∴点的坐标为或． 故选 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，则有即可求解．此题考查比例的性质，解题关键在于掌握，间的比例关系． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，   四边形 四边形，且相似比为  .   四边形的面积为，   四边形的面积为． 11. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】令与的交点为，由矩形与等腰三角形的性质，得到，由作法可知，垂直平分，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，令与的交点为， 矩形， ， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作的平行线，交的延长线于点，证明和，再利用相似的性质进行线段的转换，即可解答，作出正确的辅助线，逐步推理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题9分，第18题8分，第19题13分，第20题11分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值．先计算括号里的减法，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，一天晚上，小明和小亮拿两根等长的标杆，垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子，恰好在一条直线上． （1）请在图中画出路灯灯泡的位置； （2）小明和小亮测得如下数据：，，，两根标杆之间的距离为6，则灯泡距离地面的高度为_____． 【答案】（1）点P即为所求． （2）6 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的应用、中心投影，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，并分别延长，相交于点P，则点P即为所求． （2）过点P作于点G，设交于点，根据题意可得，则有，根据相似三角形的性质得，即，解出即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：过点作于点， 设交于点， 两根标杆之间的距离为6， ， 由题意得，，，， ∴四边形为矩形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即灯泡距离地面的高度为， 故答案为：6． 17. 随着神舟十五号载人飞船发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）此时每天销售获利1008元 （2）每件模型应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润每个的销售利润日销售量，可求出此时每天获得的总利润； （2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：（个； （元． 答：若每个模型降价4元，每天获利1008元； 【小问2详解】 解：设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不少于25元， ． 答：每个模型应降价10元． 18. 如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）当，时，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 由作图轨迹可知：为的角平分线， ， ， ， ， 为菱形； （2）菱形的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意易证四边形是平行四边形，再根据作图轨迹可知为的角平分线，再结合，可得，从而可得，即可证得四边形为菱形； （2）根据勾股定理先求出的长，设菱形边长为，则，，根据可判断，从而得到关于的等式，解出即可得出菱形的边长，进而求得菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 设菱形边长为，则，， ， ， 即， 解得：， 菱形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，角平分线性质，一元一次方程的实际应用，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则______； （3）若关于的方程（是常数）是“倍根方程”，试求出的值； （4）若关于的方程（、是常数，）是“倍根方程”，令，试求的最小值． 【答案】（1）① （2） （3） 的值为或 （4） 的最小值为 【解析】 【分析】（1）求解各方程的根，结合倍根方程的定义判断即可； （2）设两根为与，利用根与系数的关系计算即可； （3）设两根为与，结合根与系数的关系列方程即可求解； （4）设方程的两根为和，结合根与系数的关系得，代入得只含b的式子，再配方求最值即可． 【小问1详解】 解：①解方程， 因式分解得， 即或， 解得，， ， 该方程是倍根方程； ②解方程， 移项，得， 解得，， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③解方程， 因式分解得， 即或， 解得，， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； 【小问2详解】 解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，得 ， 解得， ； 【小问3详解】 解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，得 ，， 即，， 将代入，得 ， 解得，， 经检验，和均使方程有两个实数根，符合题意， 的值为或； 【小问4详解】 解：设方程的两根为和，根据根与系数的关系，得 ，， 即，， 由得，代入，得 ， 整理得， 将代入，得 ， 当时，取得最小值，最小值为， 此时，符合题意， 的最小值为． 20. 某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G． （1）【初步感知】线段与的数量关系为________． （2）【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由． （3）【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可得结论； （2）连接，同上（1）可得，，再可证明四边形是矩形，可得，证明，即可得结论； （3）由题意可得四边形是正方形，可得，，分点在线段上时，在的延长线上且在边上时，点在的延长线上且在边延长线上时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段是线段旋转得到的， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， 如图，当点在线段上， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即； 如图，当点在的延长线上且在边上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 此时，与重合，不符合题意，舍去， ③如图，当点在的延长线上且在边延长线上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学十月练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则对应边上的中线之比是（ ） A. B. C. D. 3. （三视图）如图是由6个小立方体搭成的，从左面观察这个几何体，看到的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次函数图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（ ） A. B. C. 5 D. 以上都不对 7. 2026年暑期，某景区接待游客数量逐月增长．已知7月份接待游客20万人次，9月份接待游客28.8万人次．若该景区接待游客数量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则的值为______． 10. 如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 11. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 13. 如图，在中，D是上一点，连接，点E在上，且，F为中点，且，若，，则________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题9分，第18题8分，第19题13分，第20题11分，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，一天晚上，小明和小亮拿两根等长的标杆，垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子，恰好在一条直线上． （1）请在图中画出路灯灯泡的位置； （2）小明和小亮测得如下数据：，，，两根标杆之间的距离为6，则灯泡距离地面的高度为_____． 17. 随着神舟十五号载人飞船发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 18. 如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）当，时，求菱形的周长． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则______； （3）若关于的方程（是常数）是“倍根方程”，试求出的值； （4）若关于的方程（、是常数，）是“倍根方程”，令，试求的最小值． 20. 某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G． （1）【初步感知】线段与的数量关系为________． （2）【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由． （3）【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $