2026-2027学年华东师大版九年级数学上册期中综合测评卷（测试范围：第20～22章）

2026-2027学年华东师大版九年级数学上册期中综合测评卷 （测试范围：第20~22章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等式成立的条件是（     ） A． B． C． D．或 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则应满足的条件是（     ）． A． B． C． D． 4．定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 5．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，若，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 12．已知四个非零实数a，b，c，d成比例，且，，，则________． 13．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为___． 14．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 15．若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 16．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)； (3) 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知：关于的方程． (1)求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； (2)如果该方程有两个不同的整数根，且为整数，求的值． 20．阅读材料：只要我们找到两个数a，b使，，这样，，那么便有． 探究并解决下列各题： (1)填上适当的数：______________； (2)能化成最简二次根式，求正整数m的最小值和最大值； (3)化简：． 21．如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 请你帮助嘉琪完成解题过程： (1)证明：，__________+， ______________________， 又___________， ； (2)解：， ，（填线段名称） ，，，， ， ， ______________________．（填线段名称） 22．如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． (1)找出图中与相似的三角形，并证明； (2)的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 23．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 24．根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册期中综合测评卷 （测试范围：第20~22章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等式成立的条件是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：∵ 等式成立需满足各二次根式的被开方数非负， ∴ 且， 解得． 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵ 最简二次根式与可以合并， ∴ ， 解得， 将代入，得． 3．关于x的方程是一元二次方程，则应满足的条件是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程移项成（、、为常数， ）的形式，再根据二次项系数不为0，即可求出应满足的条件． 【详解】解：， ∴， ∵二次项系数不为0， ∴， 解得． 4．定义新运算：，例如：，则关于的方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】将新运算方程转化为一元二次方程一般形式，利用判别式判断根的情况． 【详解】解：根据新运算定义，，方程整理为． ， 又， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于m的不等式，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， 解得． ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 6．如图，一张矩形纸片的长，宽．将纸片对折，折痕为，所得矩形与矩形相似，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质得到，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 8．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 9．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，若，则线段的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用三线合一作辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理计算的长度，证明，，根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 12．已知四个非零实数a，b，c，d成比例，且，，，则________． 【答案】12 【分析】四个数按给定顺序成比例，可得比例式，利用比例的基本性质即可求解． 【详解】解：∵四个非零实数，，，成比例， ∴可得比例式， 根据比例的基本性质，交叉相乘得， 代入，，，得：， ∴． 13．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为___． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，根据方程根的定义，将根代入原方程即可求解参数的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得： ， 化简计算得：， 解得． 14．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 15．若，是一元二次方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 其中，，，， ，， ， ． 16．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ． 由题意得： ，， ． ， 分两种情况讨论： 当时， 即， 解得； 当 时， 即， 解得． 综上所述，当为或时，与相似． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解： 解得，； （3）解： 或 解得，． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， 当时，原式． 19．已知：关于的方程． (1)求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； (2)如果该方程有两个不同的整数根，且为整数，求的值． 【答案】(1)证明：当时，方程为，解得， 此时方程有实数根； 当时，方程为一元二次方程，判别式． ，即， 此时方程有两个实数根， 综上，不论为任何实数，此方程总有实数根． (2)的值为，， 【分析】（1）需要分情况讨论，当时，方程为一元一次方程，求解即可；当时，方程为一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得证； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不同的整数根，结合为整数，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，，即方程为一元二次方程， 又， ， 或， 解得，． 又该方程有两个不同的整数根，即，故，且为整数，为整数， 的值为，，． 20．阅读材料：只要我们找到两个数a，b使，，这样，，那么便有． 探究并解决下列各题： (1)填上适当的数：______________； (2)能化成最简二次根式，求正整数m的最小值和最大值； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)的最小值是，最大值是 (3) 【分析】（1）根据给出示例，利用二次根式的性质以及完全平方公式求解； （2）利用二次根式的性质进行整理，确定的值，逐一进行求解判断即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行整理，然后利用算术平方根的定义进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴，则，，且为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的最小值是，最大值是； （3）解：令， 则 ， ∵， ∴， ∴， 即． 21．如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 请你帮助嘉琪完成解题过程： (1)证明：，__________+， ______________________， 又___________， ； (2)解：， ，（填线段名称） ，，，， ， ， ______________________．（填线段名称） 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）根据邻补角的定义可得，再利用同角的补角相等可得，再结合公共角即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得比例式，再说明，将相关已知条件代入可得，利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ． （2）解：， ， ，，，， ， ， ． 22．如图，在菱形中，与交于点，是上一点，，．过点作的垂线，交的延长线于点． (1)找出图中与相似的三角形，并证明； (2)的延长线交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)，证明如下： 设， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）设，由菱形的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，进而证明； （2）由平行可判定和，进而得到，因此命题得证． 【详解】（1）略 （2）略 23．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 【答案】(1)平均增长率为， (2)①；②分钟 【分析】（1）设平均增长率为，利用增长率模型建立一元二次方程，求解出，再求出的值； （2）①先计算出分钟的学习效率，再乘以学习时间即可； ②设作业时间为分钟，先用的代数式表示出学习效率，再建立方程，求解并舍去不符合题意的根即可． 【详解】（1）解：设分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为， 由题意可知，， 解得，（负值舍去）， ∴平均增长率为， ∴； （2）解：①， ， ∴学习时间为分钟的学习效能为； ②设作业时间为分钟， 由题意可知，学习效率为， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 答：小明同学当晚的作业时间是分钟． 24．根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】(1)解：， ， ， ， ． (2)小陈同学还要测量； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为． （3）解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $