26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第1课时）课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章二次函数·26.2二次函数的图象和性质 26.2.2二次函数y=ax2+k的图象和性质 (第1课时) 学习目标 掌握二次函数y=Qx2+k的图象特征和性质； 理解二次函数y=ax2+k与y=x2图象之间的平移关 2 系； 3 通过类比y=Qx2的性质研究y=ax2+k的性质，体会类 比和从特殊到一般的数学思想 目录 复习引入 布置作业 合作探究 课堂小结 典例分析 当堂检测 巩固练习 01 复习引入 彩 复习引入 1.说一说二次函数y=x2的图象与性质. 二次函数 =a2（a≤0） y=ax2(a>0） 形状 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 图 开口大小 a越大，开口越小 a越小，开口越小 象 对称轴 y轴 y轴 性 顶点 (0, (0, 最值 当0时，9取得最小值0 当0时，9敏得最大值0 当x<0时，y随x的增大而 增减性 当x<0时，y随x的增大而 减小当>0时，y随x的增 增大当>0时，y随x的增 大而增大 大而减小 新课引入 回顾 1.二次函数y=ax2的图象是什么形状？ 2.它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 3.当a>0和a<0时，函数的增减性和最值分别是怎样的？ 开口方向 8 图象 抛物线 a>0时，开口向上 对称轴 y轴 a=0.4 a<0时，开口向下 顶点坐标 -4-2024 (0,0) 增减性 a> 0:x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大； x=0时，y有最小值0. a<0时与上诉情况相反， 复习引入 2.谈一谈研究二次函数的图象与性质的一般方法. 解析 描点法 图自 性 形位开 顶 增对最 状置 口 点 减称值 方 性性 向 在研究了y=心2的图象和性质之后，我们进一步探讨当b,C不全为 0时，二次函数y=x2+bx+c的图象和性质.如何研究呢？能否将 y=ax2+bx+c转化为类似y=x2的简单形式？ 02 合作探究·新知探 究 彩 新课引入 衣探究 在研究了y=x2的图象和性质之后，我们进一步探讨当b，,c不全为0时， 二次函数y=ax2+bx十c的图象和性质. 一元二次方程ax2+bx+c=0 突想一想及 ax2 bx c 如何研究呢？ 能否将y 配方 ax2+bx+c转化为类似 a(x -h)2 +k ax2的简单形式？ 这样，当分别讨论h,k的取值时， 就可以建立起 =ax2+bx+c与y=ax2的联系了. 下面先来讨论当h=0,k≠0时，二次函数y=ax2+k的图象和性质 合作探究 思考回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程x2+bx+=0 的？由此，你得到了什么启发？ 将方程二次项系数化成 b x2+ x+二=0 b 移项 a a b b 配方 x2+ -x+ +()2 2 2a 化为c+n)2=p(n,p是常数，p≥0)的形 b b2-4ac 式 x+ 2a 4a2 -b±Vb2-4ac 用直接开平方法求得方程的解 2a 合作探究 思考你能将y=x2+bx+c转化为类似y=wx2的简单形式吗？ 提取a,将二次项系数化成 b 1 =a(x2+-x)+c a 括号内加、减一次 b b2b2 配方 项系数一半的平方 =a(x2+二x a 4a2 4a2+c b 4ac-b2 化为y=ac-)+k的形式 =a(x+ )2+ 2a 4a 用0，b,C表示，这里的和k分别是 ,1 b 4ac-b2 什么9 2a 4a 合作探究 当分别讨论，k的取值时，就可以 二次函数y=x2+bx+c 建立起y=2+br+e与y=2的联系了 配方 h=0, 二次函数y=x2 =0 h=0, 二次函数y=x2+k 二次函数y=-)2+k 0 h0, 二次函数y=a(x-h)2 k=0 特殊到一般 h0, 二次函数=a(x-h)2+k 0 新深究 特殊二次函数y=x2+2和y=x2-2的图象 探究1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=x2+2,y=x2-2的图象， 并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点： ①列表 X X 1 x 新知深究 ②描点 ③连线 y=号x2+2 y=x2-2 9 10 x 0 ①开口向上 绘制过程— 动态演示 ②对称轴是y轴 ③顶点坐标分别是(0,2)、(0， 合作探究 探究①在同一平面直角坐标系中，画出二次函数之242，之2-2的 图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点 1.列表： 10 8 10 6.5 4 2.5 2 2.5 46.5 10 1 -2 y=x2+2 6 2.50-1.5 -2-1.50 2.5 6 描片： 3.连线： 新á深究 符思考 刚刚绘制出的地物线y=x2+2,y=x2-2与抛物线y=x2有什么关 系？ 我们可以从形状和开口方向、对称轴、顶，点坐标、 位置关系四个角度来分析它们的关系 个 x2+2 10 8 ①形状和开口方向：三条抛物线的形状相同， 6 开口方向都向上（因为a=>0) ②对称轴：都是y轴（直线x=0) 新和探究 ③坐标：y=x2的顶，点是0,0 2 y= x2+2的顶点是0,2 1 1 y=x2-2的顶，点是0，-2 2 2+2 10 ④位置关系：把抛物线y=x2向上平移2个单位长度， -x2 8 就得到抛物线y=x2+2 6 72- 4 把抛物线y=x2向下平移2个单位长度，就得到抛 物线y=x2-2。 ●合作探究 探究在同一平面直角坐标系中，画出二次函数之+2，J之2-2的 图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点 二次函数 y=2+2 V=2-2 10 8 开口方向 向上 向上 2-2 图象与性质 对称轴 y轴 y轴 顶点 (0, （0, 2) -2) 合作探究 探究(2)抛物线+2，之2-2与抛物线之2有什么关系？ 位置 0 10 北抛物钱受0向上平移2个单位长度， 8 6 就得到抛物线2242： 把抛物线2向下平移2个单位长度， 就得到抛物线，2-2. 新a深究 二次函数y=x2+k的图象平移规律 探究2 观察动态演示：改变k的值，察函数y=-x2+k的图象与y=-X2图象有 什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的形状相 24 10 同，开口方向相同。 8 规律：把抛物线y=ax2向上(k>0)或向下(k<0) 平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k。 平移规律可简记为：上加下减 动态演示器 提示：放映状态下点击图象 合作探究 信息技术 2+2 10 10 随着k的变化，二次函数 6 8 =x2+k y=x2+k的图象在向上或向下平 6 -2-2 6 移，即把抛物线y=2向下 k=-5.7 k=7.0 (k>0)线向(k<0)平移 个单位长度，就得到抛物线 6 y=ax2+k. 10 1☑ 22 新探完 y=ax2+k的性质 探究3 你能归纳出二次函数y=x2+k的图象特征和性质吗？与同学交流一下. 可以类比y=ax2的性质进行归纳总结 函数y=ax2+k V=- 2+2 10 1.开口方向： 8 6 a>0时，开口向上； a<0时，开口向下 2.对称轴直线x=0y轴) 3.顶点坐标(0，k) 新a深究 4.增减性与最值 y=x2+1 24 24 k=1.5 5x2 a>0时，y有最小值k a<0时，y有最大值k 在对称轴左侧（区<O),y随X的增 在对称轴左侧（区<0），y随X的 大而减小； 增大而增大； 在对称轴右侧（区>0），y随x的增 在对称轴右侧（区>0），y随X的 大而增大 增大而减小 合作探究 思考你能归纳出二次函数y=2+k的图象特征和性质吗？与同学交流一 二次函数 y=ax2+k（a>0) V=aoc2+k(a<0） 形状 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 图 开口大小 a越大，开口越小 a越小，开口越小 对称轴 y轴 y轴 与性 顶点 (0, (0, 最值 当0时，取得最小值k 当0时，取得最大值飞 当x<0时，y随x的增大而 当x<0时，y随x的增大而 增减性 减小当>0时，y随x的增 增大当>0时，y随x的增 4之当 03 典例分析 彩 典例分析 例在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x2,Jy=x2+1,y=x2-1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和 顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 典例分析 y=x2+1 位置 8 =x2 7 把抛物线y=x向上平移 个单 6 y=x2-1 5 位长度， 4 就得到抛物线y=平+1；2 3 2 把抛物线y=x向平移个单 位长度， -4-3-2 234x 就得到抛物线，y=x2-1. 典例分析 9 =x2+1 二次函数 yc2+1 1r2 /=x2-1 8 =x2 7 开口方向 向上 6 y=x2-1 图象 对称轴 y轴 5 4 顶点 (0, (0, (0, 性质 当0时，脸x的增大而成 1) 3 0) 2 增减性 小当>0时，y随x的增大而 增大 -4-3-2 234X ©y=ax2+k的平移问题 将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位长度可以得到一个新的抛物 线.●请你写出这个新抛物线的函数表达式. 【分析】根据二次 解：根据二次函数的平移规律可得： 函数的平移规律： “左加右减，上加 y=x2的图象向下平移3个单位长度后得 下减”，即可得解 到的新抛物线 解析式为y=x2-3. 04 巩固练习 彩 巩固练习 1抛物线y=x2-4的顶点坐标是C) A.(-4,0) B.(-2,0) C.(0,-4) D.(0,4) 巩固练习 2,已知抛物线y=x2-1过A(-2，y),B(0，y2),C(1,y3)三点， 则，2，⅓大小关系是( A·y1y2y3 B.y2yy3 C.yy;y2 D.y;y2y 巩固练习 3。函数y=ax与y=x2+a（0)在同一直角坐标系中的大致图 象可能是() B D 巩固练习 4,函抛物线y=x2+c与y=-3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶 点 Jy=3x2+2 坐标是(0,2)，则该抛物线的函数解析式是 分析：.抛物线y=x2+c与y=-3x2的形状相同，开口方向相反， .=3, 顶点坐标是（0,2)， .∴.y=3x2+2. g=+é的性质 抛物线y=x2-6可由抛物线y=x2沿y轴向下平移 5 6个单位得到， 它的开口向上，顶，点坐标是(0，-6)对称轴轴， 有最低点· 【分析】根据抛物 解：抛物线y=x2-6的顶点坐标为(0，-6)， 线y=ax2+k的 而抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)， 性质解答即可 ∴.平移方法为向下平移6个单位 :a=>0,它的开口向上，顶，点坐标为(0， 6),对称轴为y轴，有最低，点： 二次品数y=x2十k的基本性质 若抛物线y=(m-1)x2一2的开口向上，则m的取值范围是 m>1 【分析】根据抛物线 解：.∵抛物线y=(m-1)x2-2的开口向上， 的开口向上，得到m 1>0,进行求解即 ∴.m-1>0, 可 ∴.m>1; 故答案为：m>1. 二次品数y=ax2+k的基本性质 变式题 下列二次函数中，最大值为1的是（) A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2-1 D.y=-x2+1 解：A、y=x2+1,1>0,开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、y=x2-1,1>0,开口方向向上，有最小值，且为-1，不符合题意； C、y=-x2-1,-1<0,开口方向向下，有最大值，且为-1，不符合题 意； D、y=-x2+1,-1<0,开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； 猴层二次画数y=x2+k的增减性 若点(0，y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2+1图象上，则( A.y1<y2<y3 解：二次函数y=x2+1, B.y2<y3<y1 C.y3<y1<y2 ∴二次函数图象开口向上，对称轴为 D.y2<y1<y3 y轴， ∴在y轴右侧，y随x的增大而增大， 【分析】根据二次函数 :0<1<2, 解析式可得在y轴右侧， y随x的增大而增大，即 y1<y2<y3, 可得到答案. 故选：A 国猴2二次画数y=x2+北的增减性 变式题 点Ax1y1),B(x2y2)是抛物线y=-x2+3上的点，且x1>x2l,则y1 与y2大小关系为（) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1-y2 D.无法确定 解：由l区1l>lx2 得A(X1,y1)到y轴的距离大于B(X2,y2)到y轴的距离 由抛物线y=-x2+3的对称轴为y轴，开口向下 得y1<y2 故选：B 猴二次函数y=ax2+k的图象问题 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+(a≠0，k>0)的图象可能是下 图中的（) 10. 解：二次函数y=ax2+k(a≠0，>0 【分析】根据二次函数 的顶点坐标为(0，k) y=ax2+k(a≠0，k> 选项C、D错误. 0)的顶点坐标为(0，k, 对称轴为y轴，它的开口方向向下，选 判断即可 项B错误 故选：A 族二次函数y=ax2十k的图象问题 变式题 拋抛物线y=ax+c(a丰0)一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确 的是() A.a>0且c<0 B.a<0且c≤0 C.a>0且c≤0 D.a<0且c≥0 解：.∵抛物线y=ax2+c(a≠0)一定不经过第一、二象限， ∴.抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴a<0,可排除选项A,C; ∴.抛物线与y的交点在负半轴，或过原点， .∴.C≤0，可排除D 05 中考演练·当堂检 测 彩 典例分析 中考演练 （2023安徽)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是 (D A·y=x2+1 B.y=-x2+1 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 中考演练（2023江苏镇江)二次函数y=-2x2+9的最大值为9 当堂检测 1下列对二次函数y=x2-1的图象的描述，正确的是B A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 当堂检测 2,将抛物线2241绕原点0旋转180°， 1 则旋转后的抛物线的解析式为 (D) A.y=-2x2+1 B.y=-2x2-1 1 C.J241 D.J-22-1 当堂检测 3二次函数y=-2x2+3在-1≤≤4内的最小值是29 分析：.函数y=-2x2+3的二次项系数=-2<0，对称轴为y轴， .x<0时，y随x的增大而增大；当>0时，y随x的增大而 减小； 当x=0时，函数的最大值为y=3; 当x=-1时，y=-2×(-1)2+3=1;当x=4时， y=-2×42+3=-29. 06 课堂小结 彩 课堂小结 1.说一说二次函数y=x2+k的图象与性质. 2.谈一谈二次函数y=x2+k与二次函数y=x2的关 系. 当k>0时， 把抛物线y=x2向上平移k个单位，就得到抛物线y=x+k; 当k<0时， 把抛物线y=x2向下平移个单位，就得到抛物线y=x+k. 课堂总结 {本节课你学到了什么？ 与y=ax2关系：形状、开口方向完全相同 平移方向：飞>0向上平移；k<0向下平移 图象平移规律 平移距离：个单位长度 口诀：上加下减 开口方对称轴与y=ax2一致 二次函数y=ax2十k 图象基本特征 顶点坐标：(0，) 增减性 增减性与y=ax2一致 a>0:x=0时，y有最小值k 最值 a<0:x=0时，y有最大值及 07 布置作业 彩 布置作业 ● 习题26.2：第2(1)题. 请你借鉴今天的学习经历设计“探究二次函数=ax-h)(a、h是常数， h0)的图象与性质”的方案. 函数 二次函数=axh)P(a、h是常数，0 图象与性质 感谢聆听！ 26.2.2二次函数y=ax2+k的图象和性质（第1课时）