陕西省延安中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

延安中学2026—2027学年度第一学期第一次月考试题 高二数学 （全卷150分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷类型信息填涂在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷上． 2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．涂写在本试卷上无效． 3．作答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡统一交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．在中，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．某品牌新能源汽车统计了2026年前5个月销量（单位：万辆），得到了如图所示的折线图，则下列说法错误的是（ ） A．这5个月销量数据的中位数为2.4（万辆） B．这5个月销量的极差为1.2（万辆） C．前3个月销量的方差比后3个月销量的方差大 D．各月与上个月相比，三月份的增长率与二月份的相等 4．若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则且 5．在中，若，且的面积，则（ ） A． B． C． D． 6．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，求直线和夹角的余弦值． A． B． C． D． 7．近年来，延安市聚力打造“红色之城”，持续升级延安革命纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升．经统计发现，游客选择延安革命纪念馆景区的概率为，选择枣园革命旧址景区的概率为．两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列对于概率的说法正确的有（ ） A．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 B．若事件、满足，则 C．若事件与事件相互独立，且，，则 D．小明将一枚质地均匀的硬币掷了次，经统计有次正面向上，则将这枚硬币再掷一次，出现正面朝上的概率是 10．（改编）关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A．向量与向量方向相反 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 11．如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A．四棱锥的外接球体积为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．点到直线的距离的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分． 12．若复数满足，则的最大值为__________． 13．向量，，若，的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：）数据绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计该小学学生的平均身高； （3）若要从样本身高在，，三组内的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在内的学生中应选取多少人？ 16．（本小题满分15分）在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，，，，为的中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分）在平面凸四边形中，，，与相交于点，． （1）若，求； （2）若，，求． 18．（本小题满分17分）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率： （3）一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 19．（本小题满分17分）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $