四川省南充高级中学2026-2027学年九年级第二次学情自测数学试卷

南充高中初2024级第五学期第二次月考 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．一元二次方程的根是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．根据下列表格的对应值： 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（ ） A．3.125 B．3.234 C．3.242 D．3.253 3．对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线与轴有两个交点 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标是 4．关于的一元二次方程的一个根是2，则另一根为（ ） A． B．5 C． D．3 5．在同一坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．将二次函数的图象向右平移1个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 8．已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．已知实数，满足，则代数式的最小值是（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：其中正确结论有（ ）个． ①；②；③；④； ⑤；⑥当关于的方程（为常数，）有整数解时，的值仅有两个． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则_________． 12．某市百货商场服装专柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“双十一”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，求每件童装应降价多少元．设每件童装降价元，则依题意可列方程为_________． 13．已知二次函数，则当时，的取值范围是_________． 14．抛物线顶点在直线上，则的值为_________． 15．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式_________． 16．我们定义一种新函数形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组通过探究“鹊桥”函数（为常数且）的图象，有下列结论： ①该函数图象与轴交于点，，随的增大而增大；③若在函数图象上，则也在函数图象上；④若方程有三个实数根，则；⑤若，直线与该函数图象有4个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论是_________（填写序号）． 三、解答题（共86分） 17．（8分）解方程：（1）． （2）． 18．（8分）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）求这个二次函数的解析式； （2）方程的根为_________； （3）当时，的取值范围是_________； （4）当时，的取值范围是_________． 19．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若两个实数根分别是，，且，求的值． 20．（10分）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21．（10分）现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“DeepSeek”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 DeepSeek 92 97 “DeepSeek”得分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 22．（10分）掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用AI摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.4米时，即可得满分20分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 23．（10分）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点． （1）求函数的零点值； （2）已知二次函数． ①若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； ②若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值． 24．（10分）根据题意解答下列问题： （1）【基础探究】如图1，已知，连接并延长至点，我们把这一基本图形称为“共顶点三等腰”．设，，请直接写出与之间的数量关系_________； （2）【深入应用】如图2，正方形中，是上一点，沿着翻折后点落在点处，连接，、的延长线交于点，过点作于，求证：； （3）【拓展延伸】如图3，在第（2）问条件下，与相交于点，若为的中点，已知，直接写出的长度_________． 25．（12分）已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点，与x轴交于点、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点，，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； （3）如图2，不经过点的直线交抛物线于，两点．若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $