精品解析：江苏省常州高级中学、镇江第一中学、南京市第二十九中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试题

2026年10月数学学科调研测试试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，又，则. 2. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 则，. 对于A. 设，则，无解，所以，，三点不共线，A选项错误； 对于B. ，向量与共线且有公共点，所以，，三点共线，B选项正确； 对于C. 设，则，无解，所以，，三点不共线，C选项错误； 对于D. 设，则，无解，所以，，三点不共线，D选项错误. 3. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】由，有，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8． 4. 已知为锐角，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量共线可得，再由二倍角的正切公式及角的范围可得. 【详解】因为，，且， 所以，即. 又，得， 解得或， 又因为为锐角，所以，因此. 5. 在直三棱柱中，已知，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三边关系判断为直角三角形,求出底面外接圆半径,再结合直棱柱外接球半径与柱高的关系求球的表面积. 【详解】由,得,所以是以为斜边的直角三角形,其外接圆半径. 设上、下底面外接圆圆心分别为,则垂直于上、下底面,直三棱柱的外接球球心为的中点,故外接球半径满足. 外接球的表面积为. 6. 若函数是上的单调函数，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析每一段函数的单调性，并结合分段点处函数值的大小关系来确定的取值范围. 【详解】当 ​时，，所以函数在是单调递增函数； 当 ​时，， ， 由题意得 对所有 ​恒成立，即在上恒成立， 所以； 又是上的单调递增函数，所以 ，  即，解得； 综上所述，可得. 7. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简对数式得到自变量，再结合奇函数与轴对称性推出函数周期，将大自变量转化到的已知区间内，代入解析式计算结果. 【详解】， 由，可知. 由是奇函数，得， 由是偶函数，得，即函数关于直线对称， 所以， 因此，即函数周期. ， 因为，所以， 因此 8. 已知函数，其中，为自然对数的底数．若将曲线绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是某函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先进行旋转变换并根据函数的定义得出单调，然后对求导并对k进行分类讨论，得出k大于等于一个函数的最大值，再求出这个函数的最大值即可. 【详解】设原曲线上一点且，射线与x轴正半轴夹角为， 则，点旋转之后为，射线与x轴正半轴夹角为， 则，即， 若两个不同的点旋转之后得出， 即，， 根据，得出，令 故，因为，则， 则原曲线上的两点连线的斜率为1，倾斜角为，旋转之后为， 则存在同一个u对应着两个不同的v，与题意不符， 故当时，，所以在定义域上单调，， 当时，时，， 时，，故有正有负，不单调，故舍去， 当时，时，，且在定义域上单调， 所以，即，，设， 故大于等于的最大值，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取最大值，即，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】以“向量模的平方等于向量自身的平方”为核心，先由差模求出两向量的数量积，再以此为基础逐一验证夹角、和模与垂直关系. 【详解】A 选项，因为 为单位向量，故 ， 对 两边平方，得，即，解得 . A 错误； B 选项，由 ，，得 ， 因为向量的夹角的范围为 ，因此 ，B 正确； C 选项，，故 ，C 正确； D 选项，，故 ，D 正确. 10. 已知函数的极大值为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有个零点 C. 若，则 D. 过点有且仅有条直线与函数的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导并令导数等于零，得或，再根据导数的两个零点的大小分三种情况讨论并由极大值可得，进而可得，从而可判断AB；再由函数单调性可判断C选项；再根据导数的几何意义可得过点的切线方程，进而可判断D正确. 【详解】由函数，得， 令，得或，且. 若，则， 当或时，；当时，. 所以是函数的极大值点，所以， ，，即，解得. 若，则，则，所以函数无极大值，不符合题意，舍去； 若，则， 当或时，；当时，. 所以是函数的极大值点，所以，不符合题意，舍去. 综上，，故A正确； 所以，. 令，得或（重根），所以函数有个零点，B错误； 选项C：因为， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减, 因为，所以，即， 因为函数在上单调递增，所以，C正确； 选项D：设切点，， 切线的斜率， 所以切线方程为， 因为过点，所以，再代入, 得，即， 解得或. 当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为，即. 因此过点有且仅有条直线与函数的图象相切，D正确. 11. 已知三个内角满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若的面积为3，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，然后根据三角函数的性质及基本不等式可得，可判断AC；利用余弦定理可得判断B；利用三角形面积公式判断D. 【详解】设角的对边分别为， 由正弦定理和， 可得，又由余弦定理，可得， 代入得，， 即，整理得， 由于，则， 而，当且仅当，即，即时取等号， 所以， 即，所以，AC正确； 由于，， 由余弦定理，，则得， 故，B正确； 若的面积为3，即，解得， 则，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是函数的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动个单位后为一个偶函数的图象，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】图象上两个极值点，满足，，即函数周期，，，所以， 所以，，函数的所有对称轴为， 当时，，当时，，因为平移后函数为偶函数，故其对称轴为， 因，故最小正数为轴右侧最近的对称轴对应的的值，即的最小值为. 13. 设分别为定义在上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为_________． 【答案】11 【解析】 【分析】利用奇偶性求出两个函数的解析式，再由原点对称性只研究横坐标为正的公共点；按正弦函数的符号分段，将交点方程等价变形后，利用导数和零点存在性逐段确定方程的解的个数． 【详解】由，得， 由为奇函数、为偶函数，得， 与联立，得，． 令，则为奇函数，且，当时，． 因为与均为奇函数，所以非零公共点关于原点成对出现，而原点也是公共点， 只需计算时的公共点个数． 方程的每个解与公共点一一对应． 当且时，，方程无解， 故该方程在内的解只能位于，其中． 在这些区间内，若，由知方程无解； 若，则等价于，两边均为正数，取自然对数，得． 为确定该等价方程的根数，设， 在上述正弦为正的区间内除去的点后，连续，且． 在每个上升半段内，，由得， 所以严格递增，且当从左侧趋近时，趋于． 当时，，故，该上升半段内方程没有解； 当时，，结合连续性与严格递增性， 知这两个上升半段内方程各有且仅有一个解． 在每个下降半段内，，从而， 所以严格递减，且当从右侧趋近时，趋于， 而，故三个下降半段内方程各有且仅有一个解． 因此方程在内共有个解， 对应横坐标在内的5个公共点，结合原点对称性及原点处的公共点，所求公共点个数为． 14. 在棱长为3的正四面体中，是棱上一点，且，过点作平面使得，且平面分别交，，于点，，．若，则四边形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知，设，可得，，结合余弦定理可得，可知四边形为等腰梯形，进而可得高和面积. 【详解】因为平面，平面，平面平面，则， 同理可得，则， 设，则， 可得，，，，， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 则，，，， 可知四边形为等腰梯形，高， 所以四边形的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）由得， 因为，所以， 即，整理得， 即． 因此，或，其中， 即或，其中． 因为不符合条件，所以． 因为，，所以，故． （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合两角和差公式化简，由正弦相等得到角的关系，舍去不合理情况证得； （2）先用二倍角求出，再结合已知求出边长，最后用面积公式计算面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理得，又，， 又，则，解得， 所以， 所以， 因为，所以，得， 因为，所以，得，于是，． 所以的面积． 16. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若的最小值为，求． 【答案】（1）时，取最小值；时，取最大值42. （2）. 【解析】 【分析】（1）先把看成一个整体自变量，转化成二次函数在给定范围内求最值问题即可. （2）先配方，再由二次函数的性质，对范围分两次讨论即可. 【小问1详解】 当时，，即， 因为时，有， 所以当即时，取最小值； 当即时，取最大值42. 【小问2详解】 ． 当时，，又，则， ，故，与的最小值为矛盾； 当时，，从而当，即时， 取最小值，又因为的最小值为， 所以，即， 而为锐角，，则. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，四棱锥的体积为，点在线段（不含端点）上运动． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明：在三棱柱中，，又，所以， 因为平面平面，平面平面，， 且平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由条件平面平面找到两个面的交线，再根据面面垂直性质证明得到线面垂直即可. （2）先利用面面垂直和体积算出高，再建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，设，从而表示出点，再求出两个面法向量，代入二面角公式解得参数即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知平面，，平面， 所以且，又由题设，因此，，，两两垂直， 以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，，所以，，， 设的坐标为（）， 由于， ，所以， 解得， 所以，则， 所以，，， 设，其中，，所以， 设平面的法向量为，，， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量，，， 则，令，则，， 所以， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 因为，所以，所以， 化简得，又，解得，此时． 18. 已知函数，． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）令，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值． （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求导，利用导数分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分、、三种情况讨论，利用分离参数法可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，且， 令得，列表如下： 减 极小值 增 当时，取极小值，无极大值． 【小问2详解】 ． ①当时，则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令得，令得或， 故在、上单调递增，在上单调递减； ③当时，（仅处取等），故在上单调递增； ④当时，令得，令得或， 故在、上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 ， ①当时，对任意的恒成立，符合题意； ②当时，由，可得，即， 令，其中，则， 求导得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，无最小值，此时不合乎题意； ③当时，由，可得，即， 所以，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 19. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线?若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在唯一的实数满足题设条件 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出的值； （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，构造函数，根据题意可得出关于的等式，解之即可； （3）求出曲线在点处的切线方程，，利用导数分析函数的单调性与极小值，然后构造，其中，分析函数的单调性，结合正切函数的值域可得出结论. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 设切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 设， 因为切线为切线，所以有且仅有个零点，所以，解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为． 【小问3详解】 存在，理由如下：因为，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即． 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点． 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为 ， 当时，极小值， 令，其中， 则， 故函数在上单调递减，当时，， 故， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点， 等价于，即有解． 又，注意到的值域为，又图象不间断， 所以存在，使得， 则， 又图象不间断，所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月数学学科调研测试试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 3. 已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 4. 已知为锐角，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，已知，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是上的单调函数，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中，为自然对数的底数．若将曲线绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是某函数的图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的极大值为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数有个零点 C. 若，则 D. 过点有且仅有条直线与函数的图象相切 11. 已知三个内角满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若的面积为3，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是函数的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动个单位后为一个偶函数的图象，则的最小值为________． 13. 设分别为定义在上的奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为_________． 14. 在棱长为3的正四面体中，是棱上一点，且，过点作平面使得，且平面分别交，，于点，，．若，则四边形的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 16. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若的最小值为，求． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，四棱锥的体积为，点在线段（不含端点）上运动． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 18. 已知函数，． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）令，若恒成立，求的取值范围． 19. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线?若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $