精品解析：江苏常州市第一中学2026-2027学年高三第一学期10月阶段调研数学试题

2026-2027学年高三第一学期阶段调研 高三数学试题10月 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合包含关系及集合元素互异性进行判断即可. 【详解】 当时，，，显然满足，即充分性成立； 若，则可得或， 由解得或， 当时，集合中元素的互异性矛盾，故， 经检验，与均满足，即时，不一定等于3，即必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解. 【详解】因为, 所以, 则. 故答案为：C. 3. 在中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算列方程组计算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，解得，故. 4. 下列命题中错误的是（　　） A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于，设平面∩平面=直线a, 设直线，直线平面，且ba, 根据线面平行的判定定理可得直线b， 故正确； 对于B，如果内存在直线与垂直， 则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面， 与已知矛盾，故正确； 对于C，设平面α平面γ，平面β平面γ, 在内作直线， 由面面垂直的性质定理可得， 又∵直线,∴, 又∵α∩β＝l，∴为相交直线， 又∵平面，∴l⊥平面γ， 故C正确； 平面α⊥平面β，设平面α∩平面β， 在平面α内与平行的直线都不与平面垂直， 故 D项错误． 故选:D. 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对等式进行变形，运用二倍角公式化简即可求值. 【详解】当时，等式两边不成立，故， 对等式进行变形可得， 因为在和上单调递增， 故， 故选：A. 6. 已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过点作，垂足为，于，连接， 如图： ，，，又，， 、平面，平面，又平面， ，为二面角的平面角，故. 由最小角定理可知，当为与所成线面角时，最小， 此时共线，取得最小值， 在直角中，，，所以， 在直角中，，， 所以， 在直角中，. 即的最小值为. 7. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，，半球与圆柱的体积分别为，，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用几何关系建立半球半径、圆柱底面半径与高的等式，将体积比转化为单变量函数，通过导数求最值得到参数关系，再代入面积比计算结果. 【详解】设半球的半径为，圆柱的底面半径为，高为， 由圆柱上底面圆周在半球球面上，结合勾股定理得，其中， 所以半球底面圆面积，圆柱侧面积，故； 半球体积，圆柱体积，故， 将代入体积比， 令即 ，得：， 设， 求导得：， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当，即时，有最小值，此时， 代入，化简可得： . 8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ，，，，下列不等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B. 【详解】选项A：令，，，满足， 但是，， 得到：，选项A错误； 选项B：，选项B正确； 选项C：令，则，选项C错误； 选项D：当，选项D中不等式无意义，选项D错误. 故不恒成立的选项为ACD. 10. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，，直线与曲线交于，，且，，下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 与的面积相等 D. 若的周长等于的周长的3倍，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作出图象，作出直线与曲线关于轴对称的图象，可发现其与直线及曲线关于直线对称，则交点也是对称的，从而得到坐标之间的等量关系.利用发现的对称性和等量关系，针对各个选项进行计算即可作出判断. 【详解】根据题意可作出图象，    因为直线与曲线交于， 如图作直线关于轴的对称直线， 作曲线关于轴的对称曲线， 则直线与曲线的交点为. 又因为直线与直线关于直线对称， 曲线与曲线也关于直线对称， 所以点和点分别与点和点关于直线对称， 则有 对于A，， 同理，. 即，所以，故A正确； 对于B，当直线与曲线相切时，设切点为， 则有，解得， 由图象可知，直线与曲线有两个不同的交点，则必有，故B错误； 对于C，，， 根据对称性可知，， 所以，又，所以，故C正确； 对于D，若的周长等于的周长的3倍，由A项可得， 即有，由可得， 两边取对数，可得，则，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分． 12. 命题“，，有”的否定是__________________． 【答案】，使得 【解析】 【详解】命题“，有”中，“”是全称量词，结论为“”. 全称量词命题的否定是存在量词命题：把全称量词“”改为存在量词“”，并把结论“”否定为“”. 所以该命题的否定为“，使得”. 13. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】函数的定义域为，且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以， 解得， 故答案为：． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由 得， 令，解得， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 将代入得：， 由可得， . 16. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 【答案】（1） 证明：因为在中，, 由正弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，所以， 在中，， 所以，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，从而可得，，在中，由勾股定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明平面平面； （2）利用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）可知平面，又因为，所以平面， 平面，所以， 所以以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以， 设， 所以， 则， 又因为, 所以直线的距离 ， 又因为， 所以， 解得或(舍)， 所以， 因为，， 设平面的法向量为， 则有， 取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为，所以， 所以直线与平面所成的角为. 17. 定义在R上的奇函数和偶函数满足． （1）求和的解析式； （2）若函数在上单调递增，求实数k的取值范围； （3）若函数在上的最大值为3，求实数m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用奇偶函数性质，将原式中替换为得到新等式，再联立两个方程，用加减消元求出与． （2）写出表达式并求导，根据函数单调递增等价于导数恒大于等于0列式；再换元令，保证不等式对所有正数t成立，最后解出k的取值． （3）先化简，再换元令，转化为二次函数；接着对参数分类讨论，利用函数性质求出参数m． 【小问1详解】 因为是奇函数， 是偶函数， 所以，． 由题意得， 则， 解得． 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令， 则， 故， 所以实数k的取值范围． 【小问3详解】 依题意． 令则， 记． ①当时，在上单调递减， 则，故不合题意． ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 解得，又，故． 18. 在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 ． （1）证明：； （2）若，求的值； （3）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】（1）已知 由正弦定理得， 又由余弦定理， 代入得， 即 （2） （3）为定值2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边后，根据余弦定理表示，代入即可证得结论； （2）在中利用余弦定理求解； （3）在中利用余弦定理表示，在中根据余弦定理表示，再根据代入中得到，进一步求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，即，又， 所以，所以； 在中，由余弦定理得. 【小问3详解】 由题意得，代入得 在中，，， 由余弦定理得 即 在中，由余弦定理得， 所以， 因此，所以， 即为定值2. 19. 对于定义在区间上的函数，定义集合 ．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，，求的值及函数的解析式； 【答案】（1）属于集合， （2）的值为 2 或；函数的解析式为或 【解析】 【分析】（1）根据集合定义，将变形整理，再根据得到，即函数属于集合； 根据定义求出最大值和最小值后代入即可求解. （2）根据可得存在满足，根据可得， 即可得到，再根据求；利用以及列不等式组求函数的解析式. 【小问1详解】 对任意，， 因为，故，所以函数属于集合. 由可知，故. 【小问2详解】 由可知，存在满足； 又，故必有. 因此必有，即， 又，，因此或. 当时，由题意，对任意，即， ，即，故； 因此. 当时，由题意，对任意，即， ，即，故； 因此. 综上，的值为 2 或；函数的解析式为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三第一学期阶段调研 高三数学试题10月 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 下列命题中错误的是（　　） A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知二面角的大小为，，，且，为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，，半球与圆柱的体积分别为，，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. ，，，，下列不等式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 11. 在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，，直线与曲线交于，，且，，下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 与的面积相等 D. 若的周长等于的周长的3倍，则 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分． 12. 命题“，，有”的否定是__________________． 13. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为___________． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值． 16. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 17. 定义在R上的奇函数和偶函数满足． （1）求和的解析式； （2）若函数在上单调递增，求实数k的取值范围； （3）若函数在上的最大值为3，求实数m的值． 18. 在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 ． （1）证明：； （2）若，求的值； （3）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 19. 对于定义在区间上的函数，定义集合 ．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，，求的值及函数的解析式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $