精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期高二年级阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算圆关于轴对称的圆为，的最小值为 ，计算得到答案. 【详解】圆关于轴对称的圆为圆 则的最小值为. 故选 【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2. 已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】圆C：可化为， 则圆心，半径为， 由可得， 联立，解得， 直线l：恒过定点， 点在圆C内， 的最大值为， 当直线时，取得最小值，此时， ， 故线段AB长度的取值范围是. 故选：A. 3. 棱长为2的正方体，是棱的中点，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求解长度，即可由余弦定理求解余弦值，利用同角关系可得，即可由面积公式求解面积，利用等体积法即可求解. 【详解】由于正方体的棱长为2，所以， 由余弦定理可得 ， 故, , 设点到平面的距离为，则由等体积可得， 即， 故选：C 4. 若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离． 【详解】由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为， 所求距离为． 故选：D. 【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算． 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 6. 已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围. 【详解】由圆，设圆心且半径， 由圆，设圆心且半径，由， 所以时，两圆相交，则， 故选：C. 7. 设平面α的法向量为，直线l的方向向量为，那么“〈，〉＝60°”是“直线l与平面α夹角为30°”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设直线与平面的夹角为，，向量与的夹角为，， 由线面角的向量公式得． 若，则，所以，充分性成立． 若，则，所以或，不能推出，必要性不成立． 因此，“”是“直线与平面夹角为”的充分不必要条件． 8. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论． 【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示， ∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角． 在△OEH中，，HE＝，OH＝． 由余弦定理，可得cos∠OEH＝． 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面 的一个法向量 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用数量积逐项分析. 【详解】由题意可知 都是非零向量， 对于A， ，正确； 对于B， ，正确； 对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确； 对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误； 故选：ABC. 10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 若为的中点，则直线平面 C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是 D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体的体积公式可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于选项A，在正四棱柱中，，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以，，为定值，故A正确； 对于选项B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设. 则，，，，，， 因为为的中点，则，则，， 所以，所以与不垂直， 故当为的中点时，直线与平面不垂直，故B错误； 对于选项C，，， 则， ， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，设平面的法向量为，，， 则，取，可得，此时，， 设. ， 设直线与平面所成的角为, 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为，故D正确. 11. 下面四个结论正确的是（    ） A. 若三个非零空间向量满足，则有 B. 若空间四个点，，则三点共线． C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确； 对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 动点在圆上移动，它与点连线的中点轨迹方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆上动点的坐标和连线中点的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标和常数表示，然后把表示后的的坐标代入圆即可． 【详解】解：设圆上动点，中点是，又， 则，得：． 由于点在圆上， 则，即． 整理得. 故答案为：. 13. 直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【解析】 【分析】联立直线与圆的方程，得到一元二次方程，根据判别式即可判断. 【详解】联立直线l与圆C的方程，可得方程组，消去y，得． ∵，∴方程无实数解，即方程组无实数解， 故直线l与圆C相离． 故答案为：相离. 14. 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为____ 【答案】. 【解析】 【分析】利用数形结合的数学思想分析可知，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为． 【详解】将圆的方程变形为， 可知圆心，半径． 圆心到直线的距离， 由图可知，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为线段的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）取中点，连接，， 三棱柱为直三棱柱，平面. 平面，. 又，且为的中点，. 又，平面，平面， 且，，平面. 为中点，F为中点，，且， 为中点，，且，四边形为平行四边形， ，且平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，先证明平面，再证明四边形为平行四边形，进而可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法计算面面角，再由面面角的余弦值可得所求棱的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，为直角，即，则. 又因为直三棱柱，平面，平面， 所以，因此两两互相垂直. 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系：如图: 设，则， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，. 因为平面在坐标平面内，取平面的一个法向量为. 二面角的余弦值为，， 平方化简得，即，且，解得， 因此的长为. 16. 已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点的距离的比值为k,求此曲线的方程，并判定曲线的形状. 【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】设曲线上一点为，根据题意得到，整理可得.当时，可得，对于形如的方程要注意，当时，才为圆的方程．此时，可判断此方程为圆的方程；当时，原方程可化为，即表示线段OA的垂直平分线. 【详解】解：设点是已知曲线上任意一点，由题意得，化简得，当，即或时， ，所以，因为，所以方程表示以为圆心，以为半径的圆. 当时，原方程可化为，即表示线段OA的垂直平分线. 【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，此题在求解中需注意：①与前系数需考虑是否为0；②对于形如，要注意当隐含条件时，此方程才是圆的方程． 17. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】（1） 直线方程可化为， 由可得， 所以直线恒过定点． （2） 【解析】 【分析】（1）直线方程写成，即可求解定点； （2）首先求点到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 化为， 圆心，半径． 当时，直线． 圆心到直线的距离． 所以直线被圆截得的弦长为． 18. 如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为、的中点，. （1）求证：平面 （2）以为原点，射线、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. ①求平面的一个法向量； ②求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图，连接. 在正四棱柱中， 底面四边形为正方形，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面， 又E、分别为、的中点，则, 所以平面； （2）①(答案不唯一)；② 【解析】 【分析】（1）利用线面判定定理与垂直性质定理证明； （2）①利用向量垂直数量积为求解法向量；②利用法向量求解点面距，再求体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接. ①在坐标系中，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为.(答案不唯一) ②连接.，则，且. ， 则点到平面的距离. 因为为等腰三角形，所以. 故三棱锥的体积. 19. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，底面，是的中点． （1）求证：平面. （2）若平面， ①求异面直线与所成的角的余弦值； ②求二面角的余弦值． 【答案】（1）设，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 平面的一个法向量为 所以. 因为平面，所以平面． （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用直线的方向向量与平面的法向量垂直即可证明； （2）利用空间向量法求角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，即. 因为， 所以，即． ①， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为； ②， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，即. 平面的一个法向量为； 设二面角为，由图可得为锐角. 所以. 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二年级阶段性测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 棱长为2的正方体，是棱的中点，点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设平面α的法向量为，直线l的方向向量为，那么“〈，〉＝60°”是“直线l与平面α夹角为30°”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是平面 的一个法向量 D. 10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为定值 B. 若为的中点，则直线平面 C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正弦值是 D. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 11. 下面四个结论正确的是（    ） A. 若三个非零空间向量满足，则有 B. 若空间四个点，，则三点共线． C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知向量，，若，则为钝角． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 动点在圆上移动，它与点连线的中点轨迹方程是______． 13. 直线与圆的位置关系是________． 14. 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为线段的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长. 16. 已知某曲线上的点到定点O(0,0)与到定点的距离的比值为k,求此曲线的方程，并判定曲线的形状. 17. 已知圆，直线． （1）求证：直线恒过定点； （2）当时，求直线被圆截得的弦长． 18. 如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为、的中点，. （1）求证：平面 （2）以为原点，射线、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. ①求平面的一个法向量； ②求三棱锥的体积. 19. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，底面，是的中点． （1）求证：平面. （2）若平面， ①求异面直线与所成的角的余弦值； ②求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $