精品解析：广西壮族自治区藤县第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期高二年级阶段测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 2. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 4. 圆与圆外切，则m的值为 A. B. C. 或 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解的值. 【详解】由圆与圆， 得，半径分别为3和2， 因为两圆外切， ，化简得， 或，故选C. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系. 5. 已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，利用平行的距离公式求距离最大值. 【详解】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线， 令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x， 则，，可得， 对于直线，与直线距离为； 对于直线，与直线距离为； 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：A 6. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系性质，结合点到直线距离公式、椭圆内部点的性质进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为直线和圆没有交点， 所以． ， ∴点在椭圆的内部， ∴过点的直线与椭圆的交点有2个. 7. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，由， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于椭圆 ，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为1 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可. 【详解】因为椭圆，所以，，. 长轴长为4 ，故 A正确； 短轴长为，故B 错误； 焦距为，故C正确； ，故 D正确. 故选：ACD. 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C的半径是4 C. 直线l与圆C一定相交 D. 圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可. 【详解】由题意可得直线， 由，解得，则直线l过定点，故A正确； 圆，即， 则圆C的圆心坐标为，半径为2， 故B错误； 因为，则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确； 因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 11. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有4条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出过两个圆心的直线判断B；利用圆上点最值关系判断C. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A正确； 对于B，直线的方程为，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为，C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过三点的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得 故圆的方程为, 故圆的标准方程为. 故答案为： 13. 若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线l是否存在斜率分类讨论，利用圆的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】当直线l不存在斜率时，直线l过点，所以直线l的方程为：， 把代入圆的方程中，得，因为，所以符合题意； 当直线l存在斜率时，设为，因为直线l过点， 所以直线l的方程为：， 因为的半径为5，直线l被圆所截得的弦长是8， 所以圆心到直线l 的距离为：， 即，所以， 故答案为：或 14. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在中，由余弦定理知，因为∠为钝角，所以 ，即 ，化简得，设 ，因为在椭圆上，所以 ，解不等式得： ，所以答案应填：． 考点：1、余弦定理；2、椭圆的简单几何性质；3、解不等式． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆中的关系、椭圆的定义，余弦定理，解不等式，属于难题．利用余弦定理及椭圆的定义知，∠为钝角时，，再由两点间的距离公式代入化简得：，，所以，从而解得：，本题对计算能力要求较高． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设为实数，圆的方程为． （1）若圆和圆的公共弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 【答案】（1）1或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为，结合弦长求得； （2）结合已知条件求出圆的方程，求出圆心和半径，设出圆的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆半径相等即可求解. 【小问1详解】 由题知两圆相交， 将圆与圆相减可得， 即两圆公共弦所在直线方程， 圆心到直线的距离为， 所以，解得或， 所以实数的值为或. 【小问2详解】 将点代入圆，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的圆心为，半径为， 设圆的标准方程为， 因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线， 所以直线的方程为，即， 将点代入得①，又点在圆上， 则，即②， 由①②两式解得，，， 所以圆的标准方程为. 16. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2），或， 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 17. 已知过定点的直线被圆截得的弦长为． （1）求直线的方程． （2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （i）求曲线方程； （ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由； 【答案】（1）或 （2）（i）； （ii） 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为都是圆的切线， 所以， 所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，分直线的斜率是否存在两种情况，再根据点到直线的距离等于半径即可得解； （2）（i）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （ii）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则，所以， 当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得或， 时，直线的方程为， 时，直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 （i）设点， 由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为； （ii）略 18. 古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，，其面积为. （1）求椭圆的方程； （2）分别是椭圆的左，右顶点，分别是椭圆的上、下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据，其面积为 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果； （2）设，可得直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，以及斜率公式将直线的斜率用 表示，消去 即可得结果. 【小问1详解】 椭圆的中心为原点，焦点均在轴上， ，其面积为. 设椭圆， 则， 解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设则即 直线得 直线与直线联立得 因为即代入上式 得 【点睛】方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径. 19. 已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． （1）求圆C的方程． （2）过点的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【小问1详解】 因为圆心C在x轴上且在直线l的右上方，设圆心， 则，即，解得或(舍去). 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 当直线轴时，x轴平分，此时N可以为x轴上任意一点． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，点，，， 由，消去得，经检验， 所以，； 若x轴平分，则，即， 所以， 即，又， ，即， 即，解得， 所以当点N坐标为时，能使得总成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二年级阶段测试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆外切，则m的值为 A. B. C. 或 D. 不确定 5. 已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2 C. 1 D. 0 7. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于椭圆 ，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为1 C. 焦距为 D. 离心率为 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C的半径是4 C. 直线l与圆C一定相交 D. 圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 11. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有4条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过三点的圆的标准方程为______. 13. 若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________. 14. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设为实数，圆的方程为． （1）若圆和圆的公共弦长为，求的值； （2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 16. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 已知过定点的直线被圆截得的弦长为． （1）求直线的方程． （2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （i）求曲线方程； （ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由； 18. 古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，，其面积为. （1）求椭圆的方程； （2）分别是椭圆的左，右顶点，分别是椭圆的上、下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值；若不是，说明理由. 19. 已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． （1）求圆C的方程． （2）过点的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $