第三章 勾股定理（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材苏科版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章勾股定理·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是() A.15 B.8 C.6 D.4 2.若Rt△ABC的两直角边ab与斜边c,满足：a+b=8,c=6,则ab=() A.20 B.15 C.12 D.14 3.若，n是正整数且m>n,由，n的值可确定勾股数a,b,c,其中a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, 则下列勾股数不能由，n确定的是() A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边，向外作四个正方 形，面积分别为S,S2,S,S4,若S,=8,S2=11,S3=15,则S4的值是() A.18 B.19 C.26 D.34 B S S C 第4题 第5题 5.如图，点P是等腰直角△ABC斜边BC上一点（不与点B、C重合），AP=√2，则BP2+CP2等于() A.1 B.2 C.4 D.不能确定 6.我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明如图，从图1变换到图2，可以用下 列式子来表示的是() e 图1 图2 1/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a2+b2+4x-ab=c2+4x-ab 2 B.4x-ab+(b-a)2=c2 2 2 C.j(@a+b-2xjab+3o 22 D.a+br=2xgb+e 7.国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B,则门口A到 藏宝点B的直线距离是() A.20km B.14km C.11km D.10km B 6 M B D 8 第7题 第8题 8.如图，点A,B,C,D,M,P,Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）.若将点M分别与点A, B,C,D连接，则下列选项正确的是() A.AM⊥PQ B.BM⊥PQ C.CM⊥Pg D.DM⊥Pg 9.如图，在AABC中，∠ACB=90°，点E在AB边上，将边AC沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D 处，再将BC折叠，使其落在直线CD上，点B落在点B处，折痕为CF,若CE=3,B'F=1,则BC=() A.35 B.6 c.52 D.5 A E B B 第9题 第10题 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3,BC=2,D为其内部一动点，AD=AB,E为AD的中 点，连接CD,BD,BE,下列结论一定正确的是() A.BE=AE B.DE= 2 C.BE+CD的最小值为3-5 D.BE+CD的最小值为V2团 2 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点.若AB=12,BD=6.5,则BC的长为 第11题 第13题 12.定义：若三个正整数a,b,c满足a<b,a2+b2=c2,且c-b=1,则称(a,b,c)为邻近”勾股数组.例 如：(3,4,5)，(5,12,13)都是“邻近勾股数组，将a从小到大排列，分别记为4，a2,4,…,an（n为正 整数)，若n=3时，a的值为；若n=20时，ao的值为_· 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,若正方形 ABDE的面积为74，则CE的长为一 14.如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3，水平放置的 4个正方形的面积分别是S,S2,S3,S4.按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1， S+s2+3++..+99+S10o= 15.如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形围成的大正方形.如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是DE的中点，AD=5, 则阴影部分的面积为 图① 图② 第15题 第16题 16.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12,BC-AD=5.沿EF,FG,GH剪三刀，将其分 割为4块，可以再拼成两个正方形，则aBGF的面积为 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（共9小题，共72分） 17.（本题6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,AB=10cm,AD平分∠BAC,交BC于点D,过 点D作DE⊥AB于点E. (I)求证：△ACD2△AED: (2)求CD的长. B D 18.(本题8分)如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角 三角形的面积之间的关系. 6 19.(本题8分)某台风沿东西方向路线AB由A向B移动，C是沿海一处气象观测站.己知观测站C与直 线上A、B两点的距离分别为AC=150km、BC=200km、AB=250km.气象预报：距离台风中心130km及 以内的区域会受到台风影响. (1)气象观测站C会不会受到台风的影响？请说明理由， (2)若台风中心移动速度为20k每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ B 4/8 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(本题8分)如图，某试验基地有一块四边形试验田ABCD,基地管理处计划修一条A到C的小路，经 测量，∠D=90°，AD=7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m E B D (I)求这块试验田ABCD的面积： (2)基地现计划在AB上建立一个观测点E,要求点E在AC的垂直平分线上，请你计算出点E到点B的距离 21.(本题8分)教材呈现：如图1，一架长为2.5的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙 面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m. D B 图1 图2 (1)如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m,那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少m？求出梯子会沿墙AO下滑的 距离AC的长度： 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB,货架项部安装一个高5m的装卸平台AC,现需对该 平台进行设备检修.一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m)刚好接触到装卸 平台底部A点，叉车向货架方向行驶多少m后，其长25的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？请通 5/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过计算后说明理由， 22.(本题8分)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程的正整数解a,b,c通 常叫作勾股数组，可以记作(a,b,c).毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构 造出如下勾股数组：(3,4,5)；(5,12,13)；（7,24,25)；… 分析这些勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将a2+b2=c2移项并因式分解得a2=c2-b2=(c+b)(c-b),请写出满足上述规律的第n个勾股数组 (用含n的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若(x,x+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值， 23.(本题8分)【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立 相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想。 ● ●●● ●●●●●● 图1 图2 图3 图4 (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为α，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两 种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2= (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为项点，把n边形剪成若干个三角形，设最多 可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7. ①当n=4,m=2时，如图4，y= ；当n=5,m= 时，y=9: ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y= (用含m,n的代数式表 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立 24.(本题8分)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=6. D E D D P 4- B 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长： (2)如图②，将AABD沿BD翻折，若AB交CD于点E,求ABDE的面积： (3)如图③，P为AD边上的一点，将AABP沿BP翻折得到△ABP,'B,AP分别交CD边于点E,F,且 DF=A'F,求CE的长. 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(本题10分)如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边 作等腰直角△PCQ,其中∠PCQ-90°，探究并解决下列问题： B B P 图1 图2 图3 (1)如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA,PB2,PQ三者之间的数量关系_： (2)如图2，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的PA,PB2,PQ三者之间的数量关系仍然成立， 请利用图2进行证明： (3)若动点P满足 -子，天的值（请利用图3进行探求）， AC 8/8可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章勾股定理培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2 3 6 7 8 9 10 D 0 B A C B 0 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.5 12.7 41 13.13 14.2500 15.15 16.7.5 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(本题6分) 【详解】(1)(1)证明：，AD平分∠BAC,∠C=90°即DC⊥AC,DE⊥AB, .DC=DE,l分 在RtAACD和Rt△AED中， AD=AD DC=DE, Rt△ACD≌Rt△AED(HL) 3分 (2)解：，△ACD≌△AED E ∴.AE=AC=6cm, BE=AB-AE =10-6=4cm,........... D C ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,AB=10cm, 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC=V4B2-A4C2-10-6=8cm ,…5分 设CD=xcm,则DE=xcm,BD=BC-CD=(8-x)cm 在Rt△BDE中，，DE2+BE2=BD2, :+4=(8- 解得x=3, .CD的长为3cm.…6分 18.(本题8分) 【详解】设RtAABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c, 根据勾股定理可得：Q2+b2=c2.…l分 对于任意一个以长度为m的线段为斜边的等腰直角三角形，设它的直角边长为x, 由勾股定理得x2+x2=m2 …2分 即2x2=m2, 因此它的面积为： 八—1x21-22 224,…3分 42 b2 c2 S。= S.= 三个向外作的等腰直角三角形面积分别为： , 4, 4 6分 结合勾股定理a2+b2=c2, a2b2 c2 两边同时除以4可得：444..7分 也就是+8= …8分 19.(本题8分) 【详解】(1)气象观测站C受台风影响， 过点C作CD⊥AB于点D, 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C .AC=150km BC=200km AB=250km. ..AC2+BC2=AB2 ,∴△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°， C:C-CD-48 2 ∴.150×200=CD×250, .CD=120km, :以台风中心为圆心周围l30km以内为受影响区域， .气象观测站C受台风影响；4分 (2)解：如图：距离台风中心130km及以内的地区会受到影响， .FC=130km,EC=130km时，正好影响C气象站， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：ED=√EC2-CD=1302-1202=50(km）】 CE=CF,CD⊥EF, .EF=2ED=100km .100÷20=5(小时). 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时.…8分 20.(本题8分) 【详解】(1)解：∠D=90°，AD=7m,DC=24m, ·AC=VAD+DC2=√72+242=25(m) 又AB=20m,CB=15m,152+202=625=252, BC2+AB2=AC2,即AB⊥BC, 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SEm=5c+5Ac-)AD-DC+)AB-BC=)×7×24+×20×15=234(m2）, 2 答：这块试验田ABCD的面积为234m2;…4分 (2)解：连接CE, E B 在 的垂直平分线上， C.E AC AE=CE」 设BE=x,则AE=CE=20-x, 由(1)知AB⊥BC, BE2+BC2=CE2,即+15=(20-x 解得r3的 8’ 35 答：点E到点g的距离为8m.8分 21.(本题8分) 【详解】(1)解：由题意可得，AB=CD=2.5m,BO=0.7m, :.0A=VAB2-0B=V2.52-0.72=2.4(m) ,梯子底端沿OB向外移动0.8m, .OD=OB+BD=0.7+0.8=1.5(m) :C0=CD2-0D=v2.52-1.5=2m) 、AC=0A-0C=2.4-2=0.4(m) 答：梯子会沿墙A0下滑的距离AC的长度为0.4m,…4分 (2)解：叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点.理由如下： 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点D作DE⊥AB于点E, D D E力- M 由题意可得，CD'=AD=25m,AB=17m,AC=5m, ,叉车高2m, .'BE 2m, .AE=AB-BE=17-2=15m. :ED=VAD2-AE2-V252-15=20m .CE=AE+AC=15+5=20m, :ED'=VCD2-CE-V2s2-202=15m .DD'=ED-ED'=20m-15m=5m, ∴.叉车向货架方向行驶5m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点.…8分 22.(本题8分) 4=1×(3+1)12=2×(5+1)24=3×(7+1) 40=4×(9+1) 【详解】(1)由 的规律可知：下一个等式是 则对应的勾股数组是(940,4刊 …2分 (2)第n个勾股数组为 2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1) 证明：由题意可知：第n个勾股数组的最小数字（第一个数字）是2n+1, 令a=2m+.b=2nn+1),c=2n(n+1）+1 c+b=2n(n+1)+1+2n(n+1)=4n2+4n+1 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c-b=2n(n+1)+1-2n(n+1)=1 则c2-b2=(c+b)(c-b)=4n2+4n+1×1=2n+12=a2, 即a2+b2=c2, 所以(2n+2n(a+,2n(n+1)+) 是满足上述规律的第n个勾股数组.…5分 (3)因为+7，x+m） 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令x=2n+1,则 +7=2n(n+1),x+m=2n(n+1)+1 :（x+7)-x=2n(a+)-(2n+l)(+m）-(x+7)=2n(+1)+1-2n(n+1)=1 .7=2n2+2n-2n-1,m-7=1, 解得：n=2(负值舍去)，m=8, .x=2n+1=5,x+7=12,x+m=13」 此时+(+7八=5+12=13=(+m,符合腿意 所以，x的值为5.…8分 23.(本题8分) 1 【详解】(1)解：有三个直角三角形，其面积分别为2b,2 直角梯形的面积为(a+b)(a+b), 由图形可知：a+oe+b)-b+ab+c, 2 2 2 (a+b)2=2ab+c2 ..a2+b2+2ab=2ab+c2, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2+b2=c2 “直角边长分别为4，b,斜边长为c的直角三角形中， a2+b2=c2 ;…2分 (2)解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n, 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1,3,5,7，…，2n-1, 则n2=1+3+5+7+..+2n-1:5分 (3)解：①如图，当n=4,m=2时，y=6: 如图，当n=5,m=3时，y=9: ②”+2(m-1) 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为180°y, 在边形内画m个点，内角和为n边形内角和与l个周角的和， 即180°-(n-2）+360m 80°.y=180°(n-2)+360°.m 可得 故少=n+2(m-) …8分 24.(本题8分) 【详解】(1)解：根据折叠的性质，得AF=CF ,四边形ABCD是长方形， 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=90° 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=I0-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, 片+6=00-x 解得r16 5, BF=16 …2分 (2)解：四边形ABCD是长方形， .∠A=∠C=90° 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，AD=A'D 又：BC=AD AD=CB,∠A=∠C ,A'B交CD于点E, ∴∠AED=∠CEB, 片△A'ED≌aCEB(AAS) .ED=EB. 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在Rt△BCE中，CE2+BC2=BE2, :广+62=10-y 16 解得y= 5, 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=10-16_34 55· 5.o06-x DEXBC=1x34x6-102 1 ×6= 2 25 5,5分 (3)解：四边形ABCD是长方形， .∠A=∠D=90° 由折叠的性质， 得∠A=∠A=90,AP=AP,AB=A'B=10, .∠D=∠A'=90°」 又：DF=A'F,LDFP=∠A'FE, △DFP≌△A'FE(ASA) .DP=A'E,PF =EF, .DE=PA」 又：AD=BC=6, 设PA=m, DP=A'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m, :EC=10-mBE=10-(6-m）=44m 在RIAECB (4+m)2=62+(10-m)2 中， 解得m30 7 CE=10-30、40 77。…8分 25.(本题10分) PB2+PA2=PO 【详解】(1)解：结论： ,理由如下： 如图，连接BQ, 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 :△ABC、△PCO均为等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°， ..CA=CB,CP=CO, ,·∠ACP+∠PCB=∠PCB+∠BCQ=-90° .∠ACP=∠BCQ, 在△CAP和△CB 和 中， CA=CB ∠ACP=∠BCQ CP=CO 、ACAP≌△CBQ(SAS) .PA=B0,∠CAP=∠CBQ=45°， :∠PBO=∠ABC+∠CBQ=90°， 在Rt△PBO中， :PB+B02-P0 PB2+PA2=PO2 …3分 PB2+PA2=PO (2)解：结论： ,理由如下： 如图，连接BQ, 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 :aABC、△PCO均为等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°， ..CA=CB,CP=CO, :∠ACB+∠PCB=∠PCB+∠PCQ, .∠ACP=∠BCQ, 在△CAP和△CB 和 中， CA=CB ∠ACP=∠BCQ CP=CO ,△CAP≌△CBQ(SAS) :PA=B0,∠CAP=∠CB0=45, ∠AB0=∠ABC+∠CB0=90°，即：∠PB0=90°， 在Rt△PBO中， PB+B0-P0 PB2+PA2=PO2 …6分 (3)解：如图③：过点C作CD⊥AB,垂足为D. 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P2 C 〉Y0 B ①当点P位于点处时. PA 2 PB3· PA-ABDC, 5 5 .PD=4D-AP-DC-DC-DC, 51 5 在R△CPD中，由勾股定理得：CP=VDc+PD=Dc+? -26c 2 5 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AC=AD2+DC2=2DC 6DC3 PC 5 …8分 4C= 2DC ②当点P位于点处时. PA_2 .PB 3 .PA=2AB=4DC.PD=5CD. 在RtACPD中，由勾股定理得：CP=VDC+PD=VDC2+(5DC}=V26DC 在RtACD中，由勾股定理得：AC=VAD+DC=V2DC， 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PC 26DC=13 .AC 2DC PC 3 综上所述，AC的比值为5或V3.…l0分 13/13 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章 勾股定理·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 2．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】需结合勾股定理与完全平方公式的变形，整体求解的值． 【详解】解：∵中为斜边，， ∴， ∵， ∴， 将代入上式，得， ∴． 3．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 5．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 6．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 7．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 8．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将线段进行平移，平移以后利用勾股定理求出三角形的各个边，利用勾股定理的逆定理进行判断求解． 【详解】解：如图所示， A、由方格纸知：可平移到与重合，此时：，， ∴与不垂直，不符合题意； B、可平移至与重合，此时与不垂直，不符合题意； C、可平移至与重合，此时： ， ， ∴，符合题意； D、可平移至与重合， ∴，与题意不符． 9．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】利用折叠性质推导角度，得出，同时得到垂直关系与线段相等，先求出，最后在中借助勾股定理求出． 【详解】解：由折叠性质：， ， 即， ∴， 沿折叠，落在处， ， 即，． 在中：，， 是等腰直角三角形，． 由第二次折叠得：， ， 在中，，，， ∴． 10．如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】结合勾股定理可得，取的中点F，连接，则，证明，可得，从而得到当点C，D，F在同一条直线上时，取最小值，此时最小值为的长，即可求解． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴无法确定与的大小关系，故选项A不正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴，∴选项B不正确； 如图，取的中点F，连接，则， ∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，D，F在同一条直线上时，取最小值，此时最小值为的长． ∵， 即的最小值为，故D选项正确，C选项不正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，D是的中点，， ， 根据勾股定理可得． 12．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 【答案】 7 41 【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可． 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 13．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 14．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 【答案】 【分析】证明，得到，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，得到，同理得到，，，再计算即可． 【详解】解：如图， 图中的四边形为正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ，，， ， 同理可得，，...，， ． 15．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 16．如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键． 过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为，则， 根据拼图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 【分析】（）由角平分线的性质定理得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，由勾股定理得，设，则，，再利用勾股定理列出方程解答即可求解． 【详解】(1)证明：∵平分，即，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴的长为． 18．（本题8分）如图，以的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 【分析】先设的直角边为、，斜边为，因为是直角三角形，所以可结合勾股定理得到三边的数量关系．推导以直角三角形三边为斜边的等腰直角三角形的面积公式，因为等腰直角三角形的斜边已知，所以可通过等腰直角三角形的边长关系，用斜边表示出对应面积．将勾股定理的三边关系代入三个面积的表达式中，即可得到三个面积之间的关系． 【详解】设中，，，，， 根据勾股定理可得： ． 对于任意一个以长度为的线段为斜边的等腰直角三角形，设它的直角边长为， 由勾股定理得， 即， 因此它的面积为： ． 三个向外作的等腰直角三角形面积分别为： ，，． 结合勾股定理， 两边同时除以4可得： ． 也就是． 19．（本题8分）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，过点C作于点D，利用三角形面积得出的长，进而得出气象观测站受台风影响， （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该气象站持续的时间． 【详解】（1）气象观测站受台风影响， 过点C作于点D， 、、 ， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 气象观测站受台风影响； （2）解：如图：距离台风中心及以内的地区会受到影响， 时，正好影响C气象站， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵，， （小时）． 答：受影响，台风影响该气象站持续的时间为5小时． 20．（本题8分）如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解： （2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：，，， ， 又，，， ，即， ， 答：这块试验田的面积为； （2）解：连接， 在的垂直平分线上， ， 设，则， 由（1）知， ，即， 解得， 答：点到点的距离为． 21．（本题8分）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 22．（本题8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 23．（本题8分）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【详解】（1）解：有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ， ， ． 直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，； （2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，， 则； （3）解： ①如图，当，时，； 如图，当，时，； ②； 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即， 可得， 故． 24．（本题8分）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 25．（本题10分）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系 ； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明； (3)若动点P满足，求的值（请利用图3进行探求）． 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （3）分点P在线段上和线段的延长线上，分别利用可找到和的关系，从而可找到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别找到、和的关系，从而可求得的值． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴； （2）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即：， 在中， ∵， ∴； （3）解：如图③：过点C作，垂足为D． ①当点P位于点处时． ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得：， ； ②当点P位于点处时． ， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， ， 综上所述，的比值为或． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 o 第三章勾股定理·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 斯 1.一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是() A.15 B.8 C.6 D.4 2.若Rt△ABC的两直角边a、b与斜边c,满足：a+b=8,c=6,则ab=() A.20 B.15 C.12 D.14 3.若m,n是正整数且m>n,由m,n的值可确定勾股数a,b,c,其中a=m2+n2,b=2mn,c=m2-n2, : 则下列勾股数不能由m,n确定的是() : A.5,12,13 B.9,12,15 C.8,15,17 D.7,24,25 4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边，向外作四个正 : 方形，面积分别为S,S2,S,S4,若S,=8,S2=11,S=15,则S4的值是() A.18 B.19 C.26 D.34 O B S B : : 第4题 第5题 5.如图，点P是等腰直角△ABC斜边BC上一点（不与点B、C重合），AP=√2，则BP2+CP2等于() A.1 B.2 C.4 D.不能确定 .: 6.我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明如图，从图1变换到图2，可以用 下列式子来表示的是() : : ·: b 0 o 图1 图2 : 试题第1页（共6页） : 学科网·上好课 A.a2+b2+4 26=c2+4xa6 B.4x-ab+(b-ay=c a+=2x+ c. 2a+9=2x2b+r] D. 7.国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B,则门口A 到藏宝点B的直线距离是() A.20km B.14km C.11km D.10km 6 8 第7题 第8题 8.如图，点A,B,C,D,M,P,Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）.若将点M分别与点A, B,C,D连接，则下列选项正确的是() A.AM⊥PQ B.BM⊥PO C.CM⊥PQ D.DM⊥PQ 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB边上，将边AC沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D 处，再将BC折叠，使其落在直线CD上，点B落在点B处，折痕为CF,若CE=3,B'F=1,则BC=() A.3V5 B.6 c.52 D.5 E〉 第9题 第10题 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3,BC=2,D为其内部一动点，AD=AB,E为AD的 中点，连接CD,BD,BE,下列结论一定正确的是() A.BE=AE B.DE= 2 C.BE+CD的最小值为3-5 D.BE+CD的最小值为② 2 试题第2页（共6页） 学科网·上好课 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点.若AB=12,BD=6.5,则BC的长为 第11题 第13题 12.定义：若三个正整数a,b,c满足a<b,a2+b2=c2,且c-b=1,则称(a,b,c)为"邻近"勾股数组.例 如：(3,4,5)，(5,12,13)都是“邻近"勾股数组，将a从小到大排列，分别记为4,42，a,…,an(n为正 整数)，若n=3时，a3的值为-；若n=20时，ao的值为一· 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,若正方 形ABDE的面积为74，则CE的长为 14.如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,3，水平放置 的4个正方形的面积分别是S,,S2,S,S4.按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加 1,则S1+S2+S3+S4+.+S9+So=】 S 7S, 15.如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形围成的大正方形.如图②是“赵爽弦图"经修饰后的图形，若H是DE的中点，AD=5, 则阴影部分的面积为 图① 图② BG M 第15题 第16题 16.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12,BC-AD=5.沿EF,FG,GH剪三刀，将其 分割为4块，可以再拼成两个正方形，则△BGF的面积为 试题第3页（共6页） 三、解答题（共9小题，共72分） : 17.(本题6分)在RIAABC中，∠C=90°，AC=6cm,AB=10cm,AD平分∠BAC,交BC于点D,过 : 点D作DE⊥AB于点E. : (1)求证：△ACD≌△AED; : (2)求CD的长. ☑ A 兵 : E 张 B C 18.(本题8分)如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直 江 角三角形的面积之间的关系. 样 游 B S 19.(本题8分)某台风沿东西方向路线AB由A向B移动，C是沿海一处气象观测站.己知观测站C与直 线上A、B两点的距离分别为AC=150km、BC=200km、AB=250km.气象预报：距离台风中心130km 及以内的区域会受到台风影响， (1)气象观测站C会不会受到台风的影响？请说明理由 世 (2)若台风中心移动速度为20k每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ : : 试题第4页（共6页) 20.(本题8分)如图，某试验基地有一块四边形试验田ABCD,基地管理处计划修一条A到C的小路， O 经测量，∠D=90°，AD=7m,DC=24m,AB=20m,CB=15m (1)求这块试验田ABCD的面积； (2)基地现计划在AB上建立一个观测点E,要求点E在AC的垂直平分线上，请你计算出点E到点B的距离. : : 尽 : .: 21.（本题8分)教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于 O O 墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m, … : C : B O 图1 图2 .: (1)如果将梯子底端沿OB向外移动0.8，那么梯子顶端会沿墙AO下滑多少m？求出梯子会沿墙AO下滑 的距离AC的长度； : 亦 解决问题： K (2)如图2，某物流公司仓库内有一座17m的货架AB,货架顶部安装一个高5m的装卸平台AC,现需对该 平台进行设备检修.一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m)刚好接触到装卸 平台底部A点.叉车向货架方向行驶多少m后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台项部C点？请通 过计算后说明理由， : 试题第5页（共6页） 耐学科网·上好课 22.(本题8分)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程的正整数解a,b,c通 常叫作勾股数组，可以记作(a,b,c).毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构 造出如下勾股数组：(3,4,5)：（5,12,13)；（7,24,25)； 分析这些勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组： (2)小红将a2+b2=c2移项并因式分解得a2=c2-b2=(c+b)(c-b),请写出满足上述规律的第n个勾股数组 (用含n的式子表示)，并尝试用小红的方法证明： (3)若(x,x+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值. 23.(本题8分)【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立 相等关系，我们把这一思想称为“"算两次”.“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想 ●●●●●：● ● ●●● ●●085● 图1 图2 图3 图4 (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两 种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理： (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=_ (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多 可以剪得y个这样的三角形.当=3，m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7. ①当n=4,m=2时，如图4，y=；当n=5,m= 时，y=9； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y= (用含m,n的代数式 表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立. 试题第6页（共6页） 可学科网·上好课 24,(本题8分)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=6. D' D D B B 图① 图② 图③ (1)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D处，求BF的长； (2)如图②，将AABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求ABDE的面积： (3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△ABP,AB,AP分别交CD边于点E,F,且 DF=AF,求CE的长. 试题第7页（共6页） 25.(本题10分)如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边 : 作等腰直角△PCQ,其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： ● C 兵 : 图1 图2 图3 张 (1)如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2,PB2,PQ三者之间的数量关系_： (2)如图2，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的PA2,PB2,PQ三者之间的数量关系仍然成立， 加 请利用图2进行证明： 游 B片动点P清足语子*C的位<待利用肉3进行摆求)。 游 AC S 世 ..0 试题第8页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章 勾股定理·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 2．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 3．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（ ） A．18 B．19 C．26 D．34 第4题 第5题 5．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 6．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 7．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ） A． B．6 C． D．5 第9题 第10题 10．如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 第11题 第13题 12．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 13．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 14．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 15．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 第15题 第16题 16．如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 18．（本题8分）如图，以的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 19．（本题8分）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 20．（本题8分）如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 21．（本题8分）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 22．（本题8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 23．（本题8分）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 24．（本题8分）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 25．（本题10分）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系 ； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明； (3)若动点P满足，求的值（请利用图3进行探求）． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第三章 勾股定理·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 2．若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（     ） A．20 B．15 C．12 D．14 3．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 4．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（ ） A．18 B．19 C．26 D．34 第4题 第5题 5．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 6．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 7．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ） A． B．6 C． D．5 第9题 第10题 10．如图，在中，，，，D为其内部一动点，，E为的中点，连接，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 第11题 第13题 12．定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 13．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 14．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 15．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 第15题 第16题 16．如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（本题6分）在中，，，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)求的长． 18．（本题8分）如图，以的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 19．（本题8分）某台风沿东西方向路线由向移动，是沿海一处气象观测站．已知观测站与直线上、两点的距离分别为、、．气象预报：距离台风中心及以内的区域会受到台风影响． (1)气象观测站会不会受到台风的影响？请说明理由． (2)若台风中心移动速度为每小时，求该观测站受台风影响的持续时间？ 20．（本题8分）如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 21．（本题8分）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 22．（本题8分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 23．（本题8分）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 24．（本题8分）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 25．（本题10分）如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系 ； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明； (3)若动点P满足，求的值（请利用图3进行探求）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $