第3章 课时6 小结与思考-【培优精练】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

课时6小结与思考 马基础练习 1.(2025春·惠阳区期中)下列各组数据，不是勾股数的是 () A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.1,√2，W5 2.(2024秋·凤翔区期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=1,BC=2,则AB的长是() A.√2 B.√3 C.2 D.√5 算 B D A 絰 E B 第2题 第4题 第5题 第8题 3.(2025春·广州期中)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形 的是 () A.1,2,2 B.1,2,3 C.4,6,8 D.6,8,10 4.(2024秋·邵阳期末)《周髀算经》中记载了“勾三股四弦五”的直角三角形边长关系，即当直 角三角形的两条直角边长分别为3和4时，斜边长为5.受此启发，我们定义：若一个直角三角 形的两条直角边a和6满足号一名-版为正实数)，则称这个直角三角形为“勾股标准形”直 角三角形.现有一个“勾股标准形”直角三角形，若其面积为24，则它的斜边长是 () A.53 B.55 C.10 D.10√2 5.(2025春·长沙期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意 是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天.星期天，小华同学在公园放风筝，如 图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得BC=15m,身高AB=1.7m, AE=12m,BD⊥CE,则风筝离地面的高度为 ( A.9 m B.9.7m C.10.7m D.11.7m 6.(2025·锡山区模拟)△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,则AB边上的中线长为 7.(2023秋·盐都区期末)观察下面几组勾股数，并寻找规律： ①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25； 请你写出以上规律的第④组勾股数： 8.(2024秋·宜兴市期末)如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行， 去本八尺而索尽.问索长几何.译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木 柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木 柱底部8尺(BC=8)处时而绳索用尽.则木柱长为 尺 ·90· 9.(2024秋·信都区期末)在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷.如图是搭建帐篷 的示意图.在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD⊥BC于点 D,经测量得：AB=2m,AD=1.2m,CD=0.9m.按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角 需为直角，请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件 10.(2024秋·房山区期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米.一 架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米.如果保持梯子底端B位 置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米.求此时梯子底端B到右 墙角点E的距离是多少米 11.(2024秋·郑州期末)图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC= 8dm,AB=6dm,两轮中心的距离BC=10dm,滚轮半径r=1dm. (1)判断△ABC的形状，并说明理由. (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13dm,AE=5dm,且AE⊥DE,AE 和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离. )0 图 图2 ·91· 号能力训练 12.(2024秋·广饶县期末)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我 国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间 的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正 方形的面积是169，则小正方形的面积是 A.25 B.36 C.49 D.64 13.(2025春·鼓楼区期中)细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题. 1 04号=(1)2+1=2，S,= A QA8=2+23,S,=号) 0A8=1+3=4,S,23.6 (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变规律：OA= ;Sn= (2)求出OA1o的长， (3)若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？ (4)求出S?+S号+S号十+S。的值. 14.(2024春·济宁期中)当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数. (1)若a,b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a,b,c为勾股数，且a=n十7，c= n十8，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值. (2)当n是大于1的整数时，判断2n,n2一1，n2+1是否是勾股数，并说明理由. 15.(2025春·渝北区期中)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 α，较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为 4×2b十(a一b)2,由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为@，b,斜 边长为c,则a2+b2=c2. 【结论探究】 (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【结论应用】 (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,AB=AC, 由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一 ·92· 个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH= 0.8千米，HB=0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】 (3)△ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,CH⊥AB,垂足为H,请直接写出CH的值. A H e 图1 图2 图3 母拓展提升 16.(2024秋·滨江区期末)为了测量如图墙体是否与地面垂直，即MO是否 垂直PN于点O,在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若 干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解 决方案，其中第一、第二组的设计方案如表. 图1 问题 如何测量墙体是否与地面垂直 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 模仿古埃及人用结绳的方法，在 如图3，在射线OM,ON上分 -条绳子上打13个结，得到12 别取点A,B,放置绳子AB, 条线段，且用叠合法使得这12 对折AB得到相等的两段 条线段都相等，设每一条线段长 AC,BC,放置绳子OC,用叠 测量 为a.如图2放置这总长是12a 合法比较OC与BC的长度， 方案 的绳子，使在OM上的绳子OA 若OC=BC,则墙体与地面 =4a,在ON上的绳子OB=3a, 垂直，即MO⊥PN于点O, 若AB=5a,则AO⊥OB,即MO 否则不垂直. ⊥PN于点O,否则不垂直. M 测量 示意图 -N O B 图2 图3 图4 (1)第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由、 (2)请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案， 并画出测量示意图，然后证明方案的可行性. ·93·M D' 第9题 课时6小结与思考 1.D2.D3.D4.C5.C6.57.9,40,41 8要9帐篷符合要求.理由如下：在R△ACD 中，CD=0.9m,AD=1.2m,.AC= √AD2+CD2=√1.22+0.9=1.5(m),在Rt△ADB 中，AB=2m,AD=1.2m,.BD=√22-1.22= 1.6(m),∴.BC=1.6+0.9=2.5(m).AB2+AC2= 22+1.52=6.25,BC2=2.52=6.25,∴.AB2+AC2= BC2,∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴.帐篷符 合要求.10.设此时梯子底端B到右墙角点E的距离 是x米，则BC为(2.2一x)米，由题意可知，AC=2.4 米，DE=2米，AB=DB,在Rt△ABC和Rt△DBE中， 由勾股定理得：AB2=BC2+AC2,DB2=BE2+DE2, ∴.BC2+AC2=BE2+DE2,即(2.2-x)2十2.42= x2十4，解得：x=1.5,答：此时梯子底端B到右墙角点 E的距离是1.5米.11.(1)△ABC是直角三角形； 理由如下：购物车侧面简化示意图中，支架AC=8dm, AB=6dm,两轮中心的距离BC=10dm,又.'82+ 62=102,即AC2+AB2=BC2,.△ABC是直角三角 形；(2)AD=13dm,AE=5dm,AE⊥DE,在Rt △ADE中，由勾股定理得：DE=√AD-AE= √132-5=12(dm),如图，过点A作AG⊥BC于点 G,由(1)得，△ABC是直角三角形，.S△4= 7AB·AC=号BC·AG,AG=ABAC- BC 8X6=4.8(dm,物车上篮子的左边缘D到地面的 10 距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm).12.C 13.(1)由题意得：OA号=1+（√n-1)2=n,Sm= 受放答案为：m,会；《（②）：04：=，0A 10,∴.OAo=√10（负值已舍去）；(3)若一个三角 形的面积是5，：5-受=5，后=25，n= ·20· (2√5)2=20，∴.它是第20个三角形；(4)S十S2+ s+…+s6=++++…+号 1+2+3牛中10-要14.0a6,6为勾股数c 4 为斜边长，.a2+b2=c2.a=n十7，c=n十8， .(n+7)2+b2=(n+8)2,∴.b2=2n+15,b= √2n十15..n,b都为正整数，.当n=5时，b= √2×5+15=5，.最小的b值为5；(2)，(2m)2= 4n2,(n2-1)2=n4-2n2+1,(n2+1)2=n4+2n2+1, .(2n)2+(n2-1)2=(n2+1)2,.2n,n2-1,n2+1 是勾股数.15.(1)证明：，梯形ABCD的面积可表 示为号(a+6)a+b)=a2+b+号6，也可以表示 为76+6+7c,h+6+号c2- 2a2+ab+b2,整理，得a2+6=c；(②)设AB= AC=x千米，.AH=AB-BH=(x-0.6)千米，在 Rt△ACH中，由勾股定理，得CA2=CH2+AH,即 t=08+-06,解得x=吕，即C4=名千米， :CA-CH=号-0.8动（千米），答：新路CH比原 路CA少30千米；(3)CH=&理由：如图，设AH= y,·AB=21,.BH=21-y.CH⊥AB,垂足为 H,∴.△ACH,△BCH都是直角三角形，在Rt△ACH 中，，AC=10,.由勾股定理，得CH=AC2 AH2=102-y2,在Rt△BCH中，，BC=17,∴.由勾 股定理，得CH=BC2-BH=172-(21-y)2, .102-y2=172-(21-y)2,解得y=6,在Rt△ACH 中，由勾股定理，得CH=√AC2-AH= √102一62=8.16.(1)第一、二小组的方案都可行； 理由如下：方案一：在OM上的绳子OA=4a,在ON上 的绳子OB=3a,若AB=5a,如图1，在△AOB中， B02+A02=(3a)2+(4a)2=25a2,AB2=(5a)2= 25a2,.A02+BO2=AB2,.三角形AOB是直角三 角形，∴.∠AOB=90°，.AO⊥BO,∴.MO⊥PN;方 案二：如图2，：AC=BC,若OC=BC,则AC=OC= CB,∴.∠CAO=∠COA,∠COB=∠CBO, 又.∠CAO+∠COB+∠COA+∠CBO=180°， ∴.∠CAO+∠CBO=∠COA+∠COB=90°，∴.AO⊥ OB,∴.MO⊥PN;(2)第三小组的测量方案是：如图 3,在射线OM,ON,OP上分别取点A,B,C,放置绳子 AB,AC,使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长 度，若OC=OB,则墙体与地面垂直，即MO LPN于点 O,否则不垂直.证明：：AC=AB,∴.△ABC是等腰 三角形，若OC=OB,则OA是等腰△ABC的中线，根 据等腰三角形性质可知AO⊥BC,即MO⊥PN. B(A G H 第11题 第15题 图1 图2 -N PC O B 图3 第16题 第3章测试卷 1.C2.B3.B4.D5.A6.A7.B8.B 9.1510.1211.212.直角13.12,2414.6 15.4816.6017.2118.(1)30(2)如图，过A 作AD⊥BC交BC于点D.设BD=xm,则CD= (14-x)m,在Rt△ABD和Rt△ACD,由勾股定理得 152-x2=132-(14-x)2,解得x=9,在Rt△ABD中， 由勾股定理得AD=√AB2一BD=√I52-92= 12(m,SAAm=号BC·AD=号X14X12= 84(m).19.(1)如图所示：由勾股定理得：AB= √32+42=5，即AB即为所求作的线段.(2)分两种 情况：①当AB为等腰三角形的一腰时，分两种情况： (a)以A为圆心，AB长为半径画弧，有3个格点； (b)以B为圆心，AB长为半径画弧，有2个格点；②当 AB为等腰三角形的底边时，顶角顶点C在AB的垂直 平分线上，交点不在格点处，不合题意.综上所述：满足 条件的点C有5个，如图所示.20.(1)AB⊥BC.理 由如下：由题意可知AB=160m,AC=200m,点C在 点B的正东方120m处，即BC=120m,,AB2+ BC2=1602+1202=2002=AC2,∴.△ABC是直角三 角形，∠ABC=90°，∴.AB⊥BC;(2)由题意可知 BC⊥CD,CD=50m.在Rt△BCD中，由勾股定理， 得：BD=√WBC2+CD2=√1202+502=130(m), .AB+BD=160+130=290(m),而AC+CD= 200+50=250(m),.'290>250,∴.AB+BD>AC+ CD..小亮跑的路线更短.21.(1)，∠C=90°， ∠A=35°，∴.∠ABC=90°-∠A=55°.DE是AB 的垂直平分线，∴.AE=BE,∴.∠EBA=∠A=35, .∠CBE=∠ABC-∠EBA=55°-35°=20°； (2)在Rt△ECB中，∠C=90°，EC=5,BE=AE=13, 由勾股定理得：BC=√BE2-EC2=12.,AE=13, EC=5,∴.AC=AE+EC=13+5=18,.△ABC的 面积是号×BC×AC=108.22.①如图1，当 ∠BQP=90时，则∠BPQ=30°，BP=2BQ.,'BP= 12-3,BQ=112-3=2,解得2=号.②如图2， 当∠QPB=90°时，∠B=60°，∴.∠BQP=30°， ÷BQ=2BP,若0<4，则6=212-30）=号若 4≤6时，则：=23-12)，44放答案为号，号， .1224 头23.连接BD,过点B作DE边上的商BF,则 BF=b-a,:'S五边形ACBED=S△ACB十S△ABE十S△ADE= 号6+6+7b,又：Sa0m=S6a+ 1 Sm十Sae=合ab+22+号a(6-a), +2+h=7b+22+2a6-a 1 1 2b+2{ .a2+b2=c2. ·21·