精品解析：天津市滨海新区塘沽紫云中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试卷

紫云中学2026—2027学年度第一学期高二年级第一次学情检测 数学学科试题 答卷前，考生务必将自己的姓名、班号、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确：答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上、答在试卷上无效. 祝各位考生考试顺利！ 一、单项选择题（每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，即可得到斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线即，则直线的斜率， 所以倾斜角为. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的点关于坐标平面的对称点的特征，即可求解. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为， 所以点关于平面的对称点的坐标为. 故选：D 3. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 4. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角得斜率，再由点斜式直线方程可得. 【详解】由直线倾斜角为，则斜率， 又直线过， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 5. 设，，向量，，且，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线列出方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以解得，，， 所以， 故选：D 6. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：因为，，， 所以， ， 所以， 故选：C 7. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】联立两直线方程，即， 由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为. 故选：D 8. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 9. 设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 11. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 12. 已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C. 直线l的斜率可以等于0 D. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可. 【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为． 当时，直线l过点， 又直线l过点，故直线l的斜率， 故直线l的方程为，即； 当时，直线l的方程为，即， ∴直线l过点， ∴， ∴， ∴直线l的方程为． 综上可知，直线l的方程为或． 故答案为：或. 14. 已知直线，则点关于l的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 可得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 15. 若直线与平行，则与间的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】由与平行得，即，解得或. 排除重合情况： 当时，化简为，与重合，舍去； 当时，整理得，化简为，两直线平行不重合，符合要求. 根据两平行线间的距离公式，代入得. 16. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 17. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据共面向量定理可得，然后将坐标代入可求出的值. 【详解】因为，，共面，所以存在唯一实数，使， 即， 则，解得，，. 故答案为：3 18. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 【答案】 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解. 【详解】空间向量， 则，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 19. 如图，在平行六面体中，，，，，，点M为棱的中点，则线段AM的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出，利用向量数量积求出向量的模，即可求得线段的长 【详解】， 则 ， 故，即线段的长为. 故答案为： 20. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，且满足． 给出下列命题： ①点P可以是棱的中点； ②点P轨迹的长度为； ③点P的轨迹是平行四边形； ④点P轨迹所围成的图形面积为 其中真命题是________． 【答案】④ 【解析】 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结论. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为该正方体的棱长为1，M，N分别为，的中点， 所以，所以， 设，则， 因为， 所以，即， 所以，取，当时，；当时，； 取，连接， 则， 则， ， 所以， 又，且平面，平面， 所以平面，所以当点平面时，， 又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为正三角形，故③错误； 点不可能是棱的中点，故①错误； 正三角形的边长为，点轨迹的长度为，故②错误； 正三角形的面积为，故④正确. 三、解答题.（本大题共4小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 经过点，且满足下列条件的直线的方程： （1）经过点； （2）与直线垂直； （3）方向向量是． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出所求直线的斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线垂直可得所求直线的斜率，再由点斜式即可求得答案； （3）根据方向向量可得所求直线的斜率，再由点斜式即可求得答案. 【小问1详解】 所求直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为直线的斜率为， 则所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即. 【小问3详解】 因为方向向量是， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即. 22. 如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）因为正方体棱长为2， 故以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则有，，，，， ，，. 因为为的中点，所以 ， ，， 所以， 所以，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为异面直线与所成角是锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 【小问3详解】 设平面的法向量是 ，则，， 即， 又，， 所以 令，则，， 所以，又， 所以点到平面的距离. 23. 已知点，直线和 （1）过点作的垂线，求垂足的坐标； （2）过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的位置关系求方程，再联立求解交点坐标， （2）设出点坐标，由中点表示点坐标，分别代入直线方程联立求解． 【小问1详解】 ，即， 则，直线为， 即，联立方程，解得，故． 【小问2详解】 不妨设，则，则， 解得，故直线过点和点， 故直线方程为，即． 24. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为是正方形，所以， 又，，， 平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面 （2） （3）在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据， 证明平面平面，从而得到平面； （2）首先证明，然后建立空间直角坐标系求平面的法向量，求出与夹角的余弦值即可求解； （3）若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，设，利用空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，根据平面与平面的夹角的正切值为求出即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为正方形所在平面与梯形所在平面垂直， 平面平面，平面，所以平面，故，又因为，，所以， 因为，所以，故，故两两垂直，如下图建立空间直角坐标系： 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 设，则，，设直线与平面所成角为， 则，故， 即直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，设，因为，所以， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，因为，， ，所以，令，则， 故，， 设平面与平面的夹角为， 则， 根据题意得，因为，所以， 即，又，故，即， 故在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫云中学2026—2027学年度第一学期高二年级第一次学情检测 数学学科试题 答卷前，考生务必将自己的姓名、班号、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确：答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上、答在试卷上无效. 祝各位考生考试顺利！ 一、单项选择题（每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，向量，，且，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 6. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 8. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（    ）． A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线l恒过点 B. 若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C. 直线l的斜率可以等于0 D. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为_________． 14. 已知直线，则点关于l的对称点的坐标为______． 15. 若直线与平行，则与间的距离为________． 16. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 17. 已知空间向量，，，若，，共面，则______. 18. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______ 19. 如图，在平行六面体中，，，，，，点M为棱的中点，则线段AM的长为_________. 20. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点P在正方体的表面上运动，且满足． 给出下列命题： ①点P可以是棱的中点； ②点P轨迹的长度为； ③点P的轨迹是平行四边形； ④点P轨迹所围成的图形面积为 其中真命题是________． 三、解答题.（本大题共4小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 经过点，且满足下列条件的直线的方程： （1）经过点； （2）与直线垂直； （3）方向向量是． 22. 如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 23. 已知点，直线和 （1）过点作的垂线，求垂足的坐标； （2）过点作分别于交于点，若恰为线段的中点，求直线的方程． 24. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，， （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $