精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

塘沽一中2026—2027学年度第一学期 高二年级统练数学学科试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线，，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 1或3 D. 0或 4. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，，，，，是与的交点，则（ ） A. B. C. D. 9. 若直线l经过点，且点，到它的距离相等，则l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 从点射出的光线经直线反射后到达点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. C. D. 12. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面上存在定点使得的长度为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 两条平行直线与间的距离是______． 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____． 15. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______. 16. 已知点，直线l过点，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为___________. 17. 已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 __． 18. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 19. 已知定点P（2，3）和直线l：（m∈R），则点P到直线l的距离的最大值为___________，此时直线l的一般式方程为___________． 20. 在棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论正确的是__________． （1）存在点，使得 （2）存在点，使得平面 （3）对任意点，都有平面 （4）对任意点，三棱锥的体积为定值 三、解答题 21. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 22. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 23. 已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）若已知圆与圆：关于直线对称，求直线的方程． 24. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2026—2027学年度第一学期 高二年级统练数学学科试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出斜率，再根据，求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 则，且. 所以. 故选：. 【点睛】本题考查直线斜率的定义，属于基础题. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 3. 已知直线，，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 1或3 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的等价条件列方程，再解方程即可求解. 【详解】因为直线，， 若，则，解得：， 所以实数的值为， 故选：A. 4. 向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直求出，再根据模长公式求解. 【详解】因为//，所以，所以，所以, 因为，所以，所以. 所以，所以， 所以. 故选：C. 5. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若不能构成空间的一个基底，则它们共面. 【详解】因为不能构成空间的一个基底，则它们共面，则， 则， ，解得，D正确. 故选：D 6. 直线与直线在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果． 【详解】直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0不可能平行，故B错误； 当a＞0时，直线ax+y+a＝0是减函数，直线x+ay+a＝0是减函数，故A错误； 当a＜0时，直线ax+y+a＝0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a＝0是增函数，与y轴交于负半轴，故C错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a＝0与直线x+ay+a＝0在同一坐标系中的图象可能是D． 故选D． 【点睛】本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7. 正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为原点，所在射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 不妨设，则，，，. 所以，. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8. 如图，在平行六面体中，，，，，是与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量，表示，再由，，，，通过向量的模求解. 【详解】设 则 则 故选：D 【点睛】方法点睛：利用棱柱的结构特征，结合空间向量求两点间的距离. 9. 若直线l经过点，且点，到它的距离相等，则l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】讨论直线斜率不存在、存在两种情况，利用点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】当直线斜率不存在时，，显然，到它的距离相等，符合题设； 当直线斜率存在时，，即， 根据题设，，即，可得，解得， ∴l的方程为. 综上，l的方程为或. 故选：C 10. 经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围. 【详解】如图所示，，故直线的斜率的取值范围是. 故选：A 11. 从点射出的光线经直线反射后到达点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对称性，可得关于直线的对称点，则计算，可得结果. 【详解】设点关于直线的 对称的点坐标为所以 所以点关于直线的 对称的点坐标为 则光线所经过的路程 . 故选： 【点睛】本题考查点关于直线对称点的求法，属基础题. 12. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面上存在定点使得的长度为定值 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】确定动点的轨迹，结合轨迹判断A、D；结合基本不等式判断B、C. 【详解】由直线方程可得，因为，所以两条动直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆. 由，知圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 对于A：若定点为圆心，则的长度为定长，即圆半径，A正确； 对于B：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：，当且仅当时取等号，C正确； 对于D：点的轨迹是以为直径的圆，所以点到直线的距离的最大值是圆的半径，D错误. 故选：D. 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 两条平行直线与间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】两直线平行，斜率相等，求出参数的值，然后代入平行线距离公式求解即可. 【详解】两直线平行，易知 ，则直线与的距离为. 故答案为：. 14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____． 【答案】 【解析】 【分析】 设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解. 【详解】设向量在向量上的投影向量是， 由题意可得，即，解得， 因此，向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 15. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程即可. 【详解】设圆的标准方程为，由题知： ， 所以标准方程为. 故答案为： 16. 已知点，直线l过点，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，利用空间向量夹角的坐标表示求夹角余弦值，进而得其正弦值，即可求P到直线l的距离. 【详解】由题设，， ∴，故， ∴P到直线l的距离为. 故答案为： 17. 已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】当直线经过原点时，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出． 【详解】解：当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：， 把点代入，解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或． 18. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 19. 已知定点P（2，3）和直线l：（m∈R），则点P到直线l的距离的最大值为___________，此时直线l的一般式方程为___________． 【答案】 ①. 5 ②. 3x+4y+7=0． 【解析】 【分析】由题知直线过定点M（－1，－1），当直线PM与直线l垂直时，点P到直线l的距离取得最大值，即可得解 【详解】∵， ∴m(2x+y+3)－x－y－2=0， 联立，解得x=－1，y=－1， ∴直线l过定点M（－1，－1）， 当直线PM与直线l垂直时，点P到直线l的距离取得最大值，最大值为， klkPM=－1，即，解得， 将代入到原直线l的方程中，可得l：3x+4y+7=0． 故答案为：5，3x+4y+7=0． 20. 在棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论正确的是__________． （1）存在点，使得 （2）存在点，使得平面 （3）对任意点，都有平面 （4）对任意点，三棱锥的体积为定值 【答案】(1)(2)(3) 【解析】 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 对（1），设，. 则，即. 所以，， 由. 所以存在点，使得.故（1）正确； 对（2），因为，，，所以. 又， 当，即点与点重合时，，所以. 此时，，平面，且，所以平面. 所以当点与点重合时，平面.故（2）正确； 对（3），，，设平面的法向量为， 则，取，可得. 由得. 所以对任意点，都有平面.故（3）正确. 对（4），，，. 设平面的法向量为， 则，令，则. 所以点到平面的距离为，随的改变而改变， 又的面积为定值，所以三棱锥，也就是三棱锥的体积不是定值.故（4）错误. 三、解答题 21. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程； （2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得； （3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； 【小问2详解】 设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； 【小问3详解】 直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 22. 如图，正四棱柱中，，点E在上且． （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，， 所以，所以，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示坐标系，求出，再由数量积为零证明两直线垂直即可； （2）求出平面的法向量，代入空间向量的点到面的距离公式求解即可； （3）直接代入空间向量的线面角公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 又， 所以点B到平面的距离为， 【小问3详解】 由（2）可得平面的法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 23. 已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）若已知圆与圆：关于直线对称，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，进而可得，即可求三角形面积； （2）分析可知圆心和半径，进而可得圆的标准方程； （3）可知直线为线段的中垂线，进而可知中点和斜率，即可得直线方程. 【小问1详解】 因为点、在圆上，则圆心在直线上， 且圆的圆心在直线上， 联立方程，可得，即， 所以的面积. 【小问2详解】 由（1）可知：圆心为，则半径， 所以圆的标准方程为. 【小问3详解】 因为圆：的圆心为，半径， 由题意可知：直线为线段的中垂线， 且线段的中点为，，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 24. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $