精品解析：2025—2026学年八年级上数学第一次月考

福建省厦门集美中学附属滨水学校 2025-2026学年第一学期八年级数学第一次限时练习 本试卷共5页，满分150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 三角形的三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴只需验证较短两边之和大于最长边即可． ∵A选项中， ∴符合要求． ∵B，C，D选项中较短两边之和均小于或等于最长边， ∴不符合要求． 2. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴只有B选项中的图形具有稳定性． 3. 求图，中的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理列出关于的方程． 【详解】解：根据三角形内角和定理，得， 合并同类项，得， 解得． 4. 如图，在中，，平分，若，则（　　） A. 10 B. 12 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 故选：A． 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 6. 如图，下列角中是的外角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【详解】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 7. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】判定两个三角形全等需至少一组对应边相等，仅角相等无法判定全等． 【详解】解：∵一锐角和斜边对应相等，且两直角三角形的直角相等， ∴可由判定两个直角三角形全等，A不符合题意； ∵两条直角边对应相等，且两直角三角形的直角相等， ∴可由判定两个直角三角形全等，B不符合题意； ∵斜边和一直角边对应相等， ∴可由判定两个直角三角形全等，C不符合题意； ∵两个锐角对应相等，无对应边相等， ∴不能判定两个直角三角形全等，D符合题意． 8. 如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再定出的垂线，使，，在一条直线上，可以证明，得到，因此测得的长就是的长（如图），判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直定义得出，结合对顶角及已知，利用全等三角形判定定理分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，在一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，、相交于点E． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，根据题意画出辅助线构建全等三角形． 10. 如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识点．根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，最后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∵平分， ， ， ∴平分，故①正确； 如图：在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ，即②不正确，④正确； ∵，， ， ， ∴，即③正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在中，，， ∴． 12. 如图，线段AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12，则BC的长是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键． 13. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠的度数是 ． 【答案】165°． 【解析】 【分析】根据三角板中角的大小和外角的性质求出与∠α相邻的角的度数，然后进行计算. 【详解】解：给图中标上∠1、∠2，如图所示． ∵∠1+45°+90°=180°， ∴∠1=45°， ∵∠1=∠2+30°， ∴∠2=15°． 又∵∠2+∠α=180°， ∴∠α=165°． 故答案为： 165°． 14. 已知图中两个三角形全等，则的度数是________． 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，确定对应的是左图中边 a与边 c的夹角，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：左边那幅图中，a、c两条边的夹角的度数为， 由全等三角形的性质可得，右边那幅图中，a、c两条边的夹角的度数为，即． 15. 把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的底边长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当腰长比底边长的2倍少时，当底边比腰长的2倍少时，分别建立方程求出底边长，进而求出腰长，再根据三角形三边的关系验证即可． 【详解】解：设该三角形的底边长为， 当腰长比底边长的2倍少时，则， 解得， ∴， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边比腰长的2倍少时，则， 解得， ∴， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该三角形的底边长为或． 16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 已知：如图，在中，，垂足是，是线段上的点，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，只需证明即可． 【详解】略 18. 如图，在中，是的角平分线，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形外角的性质求出的度数，再由角平分线的性质可求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的平分线， ∴， 在中，． 19. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质证出． 根据平行线的性质得出，再根据证明，从而得出． 【详解】略 20. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 【答案】 证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 【解析】 【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 【答案】（1）∠ACE=45°; (2)证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=15°， ∵∠CDF=75°， ∴∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°， ∴△CFD是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）先根据内角和定理求得∠ACB=90°，再由角平分线性质可得答案； （2）根据CD⊥AB知∠BCD=90°-∠B=30°，∠FCD=∠ECB-∠BCD=15°，结合∠CDF=75°可得∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°，即可得证． 【详解】解：（1）∵∠A=30°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°； （2）略 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理． 22. 沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等．相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 【答案】16米 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定与性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵相邻两平行线间的距离相等，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 答：标语的长度为16米． 23. 探究不同情境，回答下面问题． （1）如图，①已知．利用尺规作图，作，使．（不写作法，保留作图痕迹） ②根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由． （2）如图，在中，，，是边上的点． ①用尺规作图：过点作，与边交于点．（保留作图痕迹） ②求的度数． 【答案】（1）① ②由作法知，，由即可得； （2）①② 【解析】 【分析】（1）①分别作即可；②根据判定全等三角形； （2）①按照作一个角等于已知角的方法即可完成； ②由作图及平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①按照作一条线段等于已知线段的方法作出，即得到；作图略； ②略； 【小问2详解】 解：①作即可；作图略； ②∵，， ∴， 由作图知，即， ∴． 24. “截长补短”是一个汉语成语，也是一种几何证明中常用的辅助线添加方法．在几何问题中，“截长”是指在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段，构造全等三角形等条件来解题．例如，已知线段较长，较短，要证明一些和这两条线段相关的结论时，可以在上截取．“补短”与之相反，是将较短的线段延长，使延长后的长度等于较长的线段，然后利用全等或其他几何关系来求解问题，比如延长，使． （1）【理解运用】在中，，平分交于点．求证：． 方法一：如图1，在上截取，使，连接． 方法二：如图2，延长至点，使，连接． 选择一种方法证明（写出证明过程）． 选择方法 ． （2）【拓展运用】如图3，在中，，垂足为，，求证：． 【答案】（1）方法一：证明：如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，且， ∴； 方法二：证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴． 将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，且，， ∴． 【解析】 【分析】（1）截长法在上截取，结合角平分线条件由证，再利用倍角与外角性质推，代换得证；补短法延长使，同理证全等与等腰，通过线段和代换完成证明； （2）在上截取，由，通过可证，得到、；再结合与三角形外角性质，推导，将拆分为，经等量代换后完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. (1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D. E证明：DE=BD+CE. (2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A. E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，请问结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请你给证明：若不存在，请说明理由． (3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，D. A. E三点都在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，只出现m与BC的延长线交于点F，若BD=5，DE=7，EF=2CE，求△ABD与△ABF的面积之比． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵CE⊥直线m ∴∠ACE+∠CAE=90° ∴∠BAD=∠ACE 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE （2）结论DE=BD+CE成立 证明：∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠BAD， ∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE ∴DE= AE+ AD =BD+CE （3）2：9 【解析】 【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明即可； （2）根据三角形内角和定理证明∠CAE=∠ABD，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明即可； （3）根据（2）的结论求出AE、AD、EF，根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得，△ABD≌△CAE ∴AE=BD=5， ∴AD=DE﹣AE=2 ∴EF=2CE=4 ∴△ABD与△ABF的面积之比=AD：AF=2：9 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，属于经典题，难度适中，熟练掌握全等三角形的判定及性质定理是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门集美中学附属滨水学校 2025-2026学年第一学期八年级数学第一次限时练习 本试卷共5页，满分150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 三角形的三边长可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 求图，中的值（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，平分，若，则（　　） A. 10 B. 12 C. 5 D. 6 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列角中是的外角的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等 8. 如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，先在的垂线上取两点，，使，再定出的垂线，使，，在一条直线上，可以证明，得到，因此测得的长就是的长（如图），判定的理由是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，在中，，则的度数是________． 12. 如图，线段AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12，则BC的长是________ 13. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠的度数是 ． 14. 已知图中两个三角形全等，则的度数是________． 15. 把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的底边长为________． 16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 已知：如图，在中，，垂足是，是线段上的点，且，．求证：． 18. 如图，在中，是的角平分线，．求的度数． 19. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，，，．求证：． 20. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 21. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CF平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数． （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF=75°，求证：△CFD是直角三角形． 22. 沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等．相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度． 23. 探究不同情境，回答下面问题． （1）如图，①已知．利用尺规作图，作，使．（不写作法，保留作图痕迹） ②根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由． （2）如图，在中，，，是边上的点． ①用尺规作图：过点作，与边交于点．（保留作图痕迹） ②求的度数． 24. “截长补短”是一个汉语成语，也是一种几何证明中常用的辅助线添加方法．在几何问题中，“截长”是指在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段，构造全等三角形等条件来解题．例如，已知线段较长，较短，要证明一些和这两条线段相关的结论时，可以在上截取．“补短”与之相反，是将较短的线段延长，使延长后的长度等于较长的线段，然后利用全等或其他几何关系来求解问题，比如延长，使． （1）【理解运用】在中，，平分交于点．求证：． 方法一：如图1，在上截取，使，连接． 方法二：如图2，延长至点，使，连接． 选择一种方法证明（写出证明过程）． 选择方法 ． （2）【拓展运用】如图3，在中，，垂足为，，求证：． 25. (1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D. E证明：DE=BD+CE. (2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A. E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC，请问结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请你给证明：若不存在，请说明理由． (3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，D. A. E三点都在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，只出现m与BC的延长线交于点F，若BD=5，DE=7，EF=2CE，求△ABD与△ABF的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $