微专题19 线面位置关系中的探究与开放性问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第4章 · 立体几何与空间向量 · 大单元9 空间点、线、面的位置关系 高中数学二轮复习专题讲义 19微专题19线面位置关系中的 探究与开放性问题  探究题不给结论，只给目标：棱上找点、条件补全、位置判断。本讲只练一条流程——把“要什么关系”翻译成判定定理用得上的前提，再回检存在、唯一与范围。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 线面位置关系的探究与开放题在高考中“位置稳、问法活”：解答题第一问几乎固定是平行或垂直的探索性证明，选填则把动点、二面角与位置判断压进多选和填空。二轮不重背定理，练的是三件事——把“是否存在”转成“先定位置再证明”，把“补哪个条件”转成“哪条前提能让定理生效”，把“多选判断”转成“能不能举出反例”。 表前交代取舍。只收真正把位置关系拿出来探索的题。2026 年全国Ⅰ卷第 15 题第 (2) 问、2025 年全国Ⅰ卷第 17 题第 (2) 问②、2022 年全国乙卷第 18 题的求角部分都要算角、算距离收尾，那套流程归微专题 21，本讲只取“先定位置”的一步；截面与轨迹归微专题 17，接切与截归微专题 18，翻折归微专题 20。2022 年全国甲卷第 18 题收进训练 A4；2024 年全国Ⅰ卷第 17 题各来源对第 (1) 问待证结论的记法不一致（平行、垂直两说），按真题纪律整题弃用；2026 年全国Ⅱ卷第 16 题流传版本的第 (2) 问数据互有出入，本讲只取不依赖数据的第 (1) 问；2023 年全国Ⅱ卷第 15 题“写出一个满足条件的 ”是开放填空的典型问法，但载体是直线与圆，归微专题 22。 表 1: 线面位置关系探究与开放题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 10 动点到定直线的距离与二面角，判断线面垂直、线段最小值（多选） 2026 全国Ⅱ卷 16 三棱锥棱上一点，由两条线线垂直推出线面垂直 2025 全国Ⅰ卷 17 四棱锥证面面垂直；探究球心是否落在底面内 2023 全国Ⅰ卷 18 正四棱柱棱上动点，由二面角反求线段长（两解归一） 2022 新高考Ⅱ卷 20 三棱锥的高与中点，构造面面平行证线面平行 2022 全国乙卷 18 四面体证面面垂直；面积最小时定动点位置 三条线索。其一，“是否存在”“何位置”正取代直白的“证明平行”：2023 年全国Ⅰ卷第 18 题让动点自己去满足二面角，2025 年全国Ⅰ卷第 17 题把球心位置写成待探究的对象。其二，开放性判断由选填承担：2026 年全国Ⅰ卷第 10 题四个选项里两个是逆向条件，考的就是能否把自由度锁死。其三，方程意识进入立体几何：面积最小、二面角给定、到两点等距都要翻成等式，但书写仍必须是定理语言。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺棱柱、棱锥的概念，直接给速查表与三条结论；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。定理本身不再罗列——本专题的失分从来不在记不住定理，而在用错前提。 表 2: 线面位置关系探究题速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 棱上找点（平行探索） 问“棱上是否存在一点，使某条线与某平面平行”，线的一端已固定 在面内找（或造）一条与它平行的线：中位线、平行四边形、交线定向 例 1、变 1-1、变 1-2 二 · 垂直链与定点位置 给出两组线线垂直，或给结论反求位置（面积最小、球心在面内） 把垂直归拢到过同一点的两条相交直线，先证线面垂直再取所需结论 例 2、变 2-1、变 2-2 三 · 条件开放与补全 “从①②③中选一个使…成立”“写出一个满足…的条件”、位置关系多选 把结论倒推成定理所需的最低前提，再看哪个条件补得上缺口 例 3、变 3-1、变 3-2 结论一 · 探索性证明的三步走 第一步特殊位置先试：中点、端点、三等分点挨个代一遍，猜中之后就是常规证明。第二步一般位置验证：把验证写成定理认得的前提（线在面外、两线相交、点在棱上）。第三步回检：比值是否属于 [0,1]、垂足是否落在棱内、满足条件的位置是否唯一。先猜后证不丢分，漏掉回检才是零分。 结论二 · 线面平行的四条路 ①中位线：见两个中点先试它。②平行四边形：把待证线平移进面内，需“一组对边平行且相等”，长度比由题面给定。③面面平行：待证线与面内两条相交线都有关时，先证它所在的整个平面平行于目标平面。④交线定向：动点所在棱与目标平面同落在一个侧面内时，平行只能沿两面的交线方向实现。四条路都要补一句“待证直线不在平面内”。 结论三 · 垂直链的三个来源与交轨法定位 线面垂直需要“垂直于平面内两条相交直线”，两条线的来源只有三类：算出来的垂直（勾股定理逆定理、菱形对角线、直径所对的圆周角）、等腰三角形三线合一、由“某线已垂直于某平面”推出的垂直（最常被漏写）。找同时满足两个等量关系的点用交轨法：到两点等距在中垂面内，到两平行平面等距在中平行面内；两条轨迹相交得直线或点，再用第三个等量关系锁定。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 转目标 → 核心推演 → 回检定论。第二步“转目标”是本专题的心脏——把“是否存在”“选哪个条件”翻译成定理能直接处理的平行或垂直链。 （一）题型一：棱上找点的平行探索 题型识别。题面问“棱（线段）上是否存在一点，使某直线与某平面平行”，直线一端是定点或已知中点；问“使两平面平行”“使四点共面”本质相同，仍归本题型。 通法模型。认模型：看动点在哪条棱上、待证线在哪个面外。转目标：线面平行只能由线线平行或面面平行实现，于是目标变成“在面内找一条线”或“造一个平行面”。核心推演：猜位置再证明，逐条写出定理前提。回检定论：比值落在棱内、位置唯一、动点与定点都不在目标平面内。 例题 1（题型一·直三棱柱中棱上找点） 如图，在直三棱柱 中，，，， 分别为 ， 的中点。 (1) 证明： 平面 ； (2) 棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并证明；若不存在，说明理由。 图 1: 中位线 与竖起的 都平行于侧面 解析 第 1 步 · 认模型：、 是两个中点，第 (1) 问是标准中位线；第 (2) 问 固定、 在棱 上滑动，属棱上找点。目标平面是三棱柱的侧面， 在它外面。 第 2 步 · 转目标：线面平行要落到线线平行上，第 (1) 问先猜面内哪条线与 平行——连 。第 (2) 问反过来更省事：与其找线，不如过 造一个平行于侧面的平面，它与棱 的交点就是 ，“找点”于是变成“找交点”。 第 3 步 · 核心推演：(1) 连接 。、 分别为 、 的中点，故 是 的中位线，。又 平面 ， 平面 ，由判定定理得 平面 。 (2) 取 为 的中点。在矩形 中 、 分别为上下两边的中点，故 ；由 平面 、 该平面得 平面 。结合 (1)， 且两面内直线都在平面 内，所以平面 平面 ，再由 平面 得 平面 。 第 4 步 · 定论收束：唯一性：满足 平面 的 必落在过 且平行于该侧面的平面内，这样的平面只有一个，它与棱 至多一个交点，故 是中点且唯一。另外， 与 在两问中都没用到——它们只在“求直线到平面的距离”那类后续计算里才起作用。 方法点睛 · 猜位置有依据，证明只用定理语言 棱上找点的“猜”不是蒙：先试中点，再试三等分点与端点，高考答案绝大多数是这两类。猜中之后的全部工作是把 、 写成中位线、矩形对边，再补齐“线在面外”“两线相交”。若位置与棱长无关（本题即是），背后必有平行截面，别急着设未知数解方程。 变式 1-1（题型一·三棱锥的高与棱上找点） 如图，在三棱锥 中， 是三棱锥的高，，。棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由。 图 2: 延长 交 于 ， 是中位线 解析 第 1 步 · 认模型： 由“高”确定，不是中点，中位线不能直接用；待证关系仍是线面平行，按本题型走。 第 2 步 · 转目标：把 放进平面 （延长 交 于 ，连 ）里看： 与 同在这样一个平面内，只要 就有 平面 。于是“找点”降成“在平面 内过 作 的平行线交 ”。 第 3 步 · 核心推演： 是高，故 、；又 、 公共，得 ，所以 。因 ，在直角三角形 中有 、，结合 得 ，故 ，即 是斜边 的中点。取 为 的中点，则 是 的中位线，；又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。 第 4 步 · 定论收束：存在，。唯一性：平面 内过 平行于 的直线只有一条，与 只交于中点。再补前提检查： 平面 ——若 在该面内，则由 在底面内知 ，而 使 上每一点 都满足 ，与 矛盾。 易错微警 · 答“存在”要交三份东西 点的位置（比值）、平行关系的证明、以及“线不在平面内”的前提说明，三者缺一就被扣分。只写“取 为中点即可”而不交代 在不在平面 内，判定定理的前提是空的。 变式 1-2（题型一·定比不是中点） 在四棱锥 中，底面 是梯形，，，，点 在棱 上且 。棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由。 解析 第 1 步 · 认模型：这次比值不是中点，中位线失效；但 、 都在侧面 内，而该侧面与目标平面 相交——用“交线定向”那条路。 第 2 步 · 转目标：设平面 与平面 的交线为 。因 平面 且 平面 ，由线面平行的性质定理得 。又 、 平面 、 平面 ，故 平面 ，于是 ：空间问题彻底压成平面 内的一条平行线。 第 3 步 · 核心推演：在 中由 得 ，即 。 第 4 步 · 定论收束：回检 ， 确在棱 上； 而 与平面 只交于 ，故 平面 ， 平面 。所求比值为 ，且由平行线唯一性知 唯一。 方法点睛 · 动点与目标平面同在一个侧面时先找交线 “ 平面 ”里若 、 都在某个与 相交的平面 内，那么 只有一个可能的方向—— 与 的交线。把动点问题压到交线方向上，位置比就由平面几何的比例直接给出，不必再猜。 （二）题型二：垂直链与定点位置 题型识别。题面给出两组线线垂直（或全等、等腰等可推出垂直的条件），要证的却是面面垂直；或把结论反过来说——“面积最小时”“球心在底面内”“二面角为某角”，要求先确定某点的位置。 通法模型。认模型：分清是“由垂直证垂直”还是“由最值、等量关系定位置”。转目标：面面垂直一律转成线面垂直，而线面垂直要归拢到过同一点的两条相交直线；定位置一律转成“距离最小”或“到若干点等距”。核心推演：先把图里看得见的长度算出来，用勾股逆定理把垂直钉实。回检定论：取等条件、垂足是否落在棱上、位置是否唯一。 例题 2（题型二·四面体中由面积最小定动点） 如图，在四面体 中，，，， 为 的中点。 (1) 证明：平面 平面 ； (2) 设 ，，点 在棱 上。当 的面积最小时，确定点 的位置，并求出此时 的长。 图 3: 线面垂直： 垂直平面 ，高就是 解析 第 1 步 · 认模型： 与 都是等量，指向全等与等腰；第 (2) 问是动点定位置， 在棱 上滑动。 第 2 步 · 转目标：第 (1) 问要在平面 内找一条线垂直于平面 ，候选只有 ，于是转为证 且 。第 (2) 问里 是定长，， 是 到直线 的距离——只有把 变成图里的一条实线段，最值才可算。 第 3 步 · 核心推演：(1) 由 、 为 中点得 。在 与 中 、、 公共，故两三角形全等，；又 为中点，得 。由 、、 平面 得 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 。 (2) 由 、 知 为正三角形，结合 得 、。由 、、 得 是等腰直角三角形，。于是 ，由勾股定理的逆定理得 。由 (1) 知 平面 ，而 在 上使 平面 ，故 ，即 正是 边上的高，。在 中 是定点 到直线 上动点的距离，故 ，当且仅当 取等。此时 ，即 ，面积最小值为 。 第 4 步 · 定论收束： 中 ，从直角顶点向斜边作垂线，垂足必在斜边内部，故 落在棱 上、 成立；垂足唯一故 唯一。原题第 (2) 问还要算 与平面 所成角的正弦值，那是算角流程，归微专题 21；本讲的任务到把 钉在 上为止。 方法点睛 · 定高才能谈最值 面积最值题里若有一条边是定线段，最值就转成“动点到这条定直线的距离”；而这个距离要算得出来，必须先有“定直线垂直于动点所在平面”——它往往正是上一问刚证完的面面垂直。所以“转目标”不是走过场：先证 平面 ， 才升格为高。 变式 2-1（题型二·交轨法判断球心位置） 在四棱锥 中， 底面 ，，，，，。若 ，，， 四点在同一个球面上，问该球的球心 是否落在底面 内？说明理由。 图 4: 球心 落在底面内的直线 上 解析 第 1 步 · 认模型：“球心在不在底面内”不算角、不算距离，是交轨法找点：球心就是到 、、、 等距的点。 第 2 步 · 转目标：与其设球心在空间里再证它的“高”为 0，不如直接在底面内造一个到四点等距的点——四点共球时球心唯一，造出的点只要四距相等就必须是球心。目标转成三条等量关系：、、。 第 3 步 · 核心推演：第一条轨迹： 底面，故对直线 上任一点 有 ；又 得 。由 知 对 上所有点成立——直线 就是“到 、 等距”的轨迹。第二条轨迹：在 上设 ，由 得 ，整理得 ，解得 ，记该点为 。第三条验证：过 作 于 ，则 、、，于是 ；而 ，，，四距全等于 。 第 4 步 · 定论收束： 在直线 上且到四点等距，它就是球心，而 底面，故球心落在底面 内。 由“ 上到 、 等距”这一方程定出，方程一次、解唯一。 易错微警 · 判断位置要交付“它就是” 问“某点是否在某平面内”，正确路径是先构造该点（在已知直线上取点、解一个方程定位置），再验证它满足全部等量关系，从而“它就是球心”。只写“设球心 ，解得 ”而不验证 ，等于默认球心存在却没交付可核对的位置，按未完成处理。 变式 2-2（题型二·垂直链与删条件追问） 在三棱锥 中，点 在棱 上，，，且 。 (1) 判断直线 与 的位置关系，并证明； (2) 若删去条件“”，(1) 的结论是否仍然成立？用一个具体图形说明。 解析 第 1 步 · 认模型：两个“”共用顶点 ，而 、 是底面 内两条相交直线——先把线面垂直立起来。 第 2 步 · 转目标：要证 ，把“谁垂直谁”换边：转为证 平面 ，因为 平面 。 第 3 步 · 核心推演：由 、、 得 平面 ；因 平面 ，故 。又 ，且 、、 都在平面 内（ 在棱 上），所以 平面 ，从而 。 第 4 步 · 定论收束：(1) 的结论是 与 垂直，且二者是异面直线，垂直指所成角为 。(2) 不成立。把等价关系摆清楚：在 平面 的前提下 恒成立，于是 平面 （、 是平面 内相交于 的两条线） （、 相交于 ）。可见删掉“”后结论全押在 上，而题面并不保证它。反例：取 、、，再作 平面 ，则 、 都满足，但 与 不垂直，故 与 也不垂直——这一条条件不可删。 方法点睛 · 删条件追问只有两种答法 要么给出仍成立的证明，要么造一个满足其余条件却让结论失败的图形。造反例时把已确立的垂直（这里是 底面）固定不动，只改底面里那个自由度（这里是 ），反例自然出来；答“不一定”却拿不出图，等于没答。 （三）题型三：条件开放与补全 题型识别。三选一的“结构不良”题、“写出一个满足……”的开放填空、给动点与二面角判断位置关系的多选题。共同特征是题面把条件的取舍权交给考生。 通法模型。认模型：判断结论需要的最低前提是什么。转目标：把结论倒推成定理的三条前提，逐个看哪个候选条件能补缺口。核心推演：能补的写证明，不能补的指出破绽（点已在面内、直线与平面相交等）。回检定论：开放题只须交付一个正确答案，但交付前必须验前提齐不齐。 例题 3（题型三·二面角与动点的多选判断） 在空间中，， 为两个定点，动点 到直线 的距离为 2，动点 到直线 的距离为 1。若二面角 为 ，则（　　） A．　　B． C．当 时， 平面 　　D．当 平面 时， 图 5: 过点 作 的两条垂线张成二面角 解析 第 1 步 · 认模型：“到定直线距离为定值”在空间里是圆柱面，、 分别在半径为 2 与 1 的同轴圆柱面上；四个选项里两个带逆向条件，属判断题。 第 2 步 · 转目标：分别过 、 作 、，垂足为 、，则 、，把 沿 平移到 处后，两条半径在同一垂面内的夹角就是二面角的平面角 。于是图形压成两块：垂面内一个两边为 2、1 且夹角 的角，加上两垂足沿 滑动的距离 。四个选项都只依赖这两样东西。 第 3 步 · 核心推演：A 项：让 、 沿平行于 的方向同时滑到无穷远，即 ，此时射线 、 都趋于与 平行，，A 错。B 项：把 沿 平移 落到 所在垂面内，记为 ，则 、，由余弦定理 ；又 在该垂面内故垂直 ，于是 ，即 ，当 时取等，B 正确。C 项： 恰说明 ，记公共垂足为 。在 中 、、，由余弦定理 ，而 ，由勾股定理的逆定理得 ；又 ，，、 平面 ，所以 平面 ，C 正确。D 项： 平面 给出 、，即 ，此时 正是二面角 的平面角，等于 ，故 与 不垂直，D 错。 第 4 步 · 定论收束：选 BC。回检：B 的等号要求 ，此时 、、 仍在同一垂面内且 ，可取到；C 用了 平面 ，依据是 在 上、 是平面 内的点。D 的教训相反：线面垂直把自由度锁死时，二面角的平面角就是已知的 ，别当成 。 方法点睛 · 判断题先固定一个截面 含动点的多选题有两个死法：把“可以”读成“一定”（A 项），漏掉逆向条件锁死的自由度（C、D 项）。做法是先取一个垂直于定直线的截面，把三维自由度砍成一个“沿轴滑动量”：要么只剩一个三角形（可算），要么只剩一个变量（可趋于无穷，用来出反例）。 变式 3-1（题型三·三选一的结构不良） 在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是棱 的中点。从条件“① 为 的中点”、“② 为 的中点”、“③ 为 的中点”中选出能使 平面 成立的条件，对选出的条件给出证明，并说明其余条件为什么不行。 解析 第 1 步 · 认模型：三选一，先写结论的最低前提： 平行于平面内某条直线，且 本身不在该平面内。 第 2 步 · 转目标：后一条前提正是筛选项的尺子——若 已在平面 内而 不在，直线 与该平面交于 ，怎么算都不可能平行。 第 3 步 · 核心推演：选①。、 分别为 、 的中点， 是 的中位线，；底面是平行四边形故 ，于是 。又 平面 ，而直线 与平面 只交于 ，，故 平面 、 平面 ，由判定定理得 平面 。选②： 是 的中点，在平面 内， 不在，直线 与该面交于 ，不平行。选③： 在棱 上，更在面内，同样不平行。 第 4 步 · 定论收束：只有①可行，此时 。本题实质不是计算，而是“点是否在面内”的一次筛查——筛完再证，省掉一半书写。 易错微警 · 别为“好算”而选条件 结构不良题的三个条件常常不是难度不同而是真假不同：有的根本推不出结论。动笔前用一句“这个点在不在所求平面内”“这条线与平面有没有公共点”筛一遍；选定后仍要把另一条路为什么走不通写两三行，那也是得分点。 变式 3-2（题型三·开放性填空） 在棱长为 2 的正方体 中，写出一个经过正方体三个顶点、且与直线 平行的平面：。（写出一个即可） 解析 第 1 步 · 认模型：开放填空，答案不唯一；要同时做到“过三个顶点的面”与“平行于已知直线”。 第 2 步 · 转目标：先在正方体里造一条与 平行的线，再让它落在三个顶点决定的面内。 第 3 步 · 核心推演：因 且 ，所以 是平行四边形，。含 且由顶点组成的平面有三处：侧面 、截面 、截面 。取平面 ： 平面 ， 平面 ，故 平面 。 第 4 步 · 定论收束：填平面 （平面 、平面 同样正确）。回检“线不在面内”：若 、 有一个落在平面 内，则 、、、 四点共面，与它们是平行四边形的四个顶点矛盾。 方法点睛 · 开放题“造答案”的固定套路 写一个满足条件的对象，套路永远是先在目标对象里造出定理需要的那条线（平行四边形最省事），再验原直线不在面内。能造几个写几个，判卷只认你交付的那一个是否充分正确。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分集中在两处：判定定理的前提没写全，以及探索流程少了回检。分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（定理前提类） 错误表现 错因 正确做法 由 、 直接写 漏了 可能在平面内 补一句“”，否则只能说“平行或在面内” 线面垂直用了平面内两条平行直线 判定定理要求两条相交直线 挑相交线，并写出交点，如“” 面面垂直写成“两个面都过同一条直线” 混淆交线与垂线的作用 在一个面内找出垂直于另一个面的那条线，再用判定定理 表 4: 高频错误及其纠正（探索流程类） 错误表现 错因 正确做法 答“存在”却不说明位置唯一 只完成“猜中”，没完成“找全” 用“过一点只有一条平行线”“平行平面唯一”补一句 解出的比值使点落在棱的延长线上照写不误 忘了动点的范围约束 回检比值是否属于 [0,1]，越界就答“不存在” 多选把“可以是”当成“一定是” 没区分存在性与恒成立 每个选项都问一遍“能否举反例”，滑到无穷远是常用手段 动笔前的三句自查 我要用的定理前提齐了吗（线在面外、两线相交、点在棱上）？这题的目标是定位置还是定关系，该转成哪一条平行或垂直链？取等条件与唯一性打算写在哪一句？——三句都答出来再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与三个题型一一对应：A 组 7 题练基本动作——平行探索 A1、A2、A3，垂直链 A4，条件开放与概念判断 A5、A6、A7；B 组 7 题练迁移与综合，其中 B5、B6、B7 偏难。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 设 ， 是两条异面直线，则过 且与 平行的平面（　　） A．有且只有一个　　B．至少有两个　　C．恰有两个　　D．不存在 A2 在三棱锥 中，， 分别为 ， 的中点。判断直线 与平面 的位置关系，并证明。 A3 在四棱锥 中，底面 是平行四边形，对角线 与 交于点 。棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出 的位置并证明；若不存在，说明理由。 A4 在四棱锥 中， 底面 ，，，。证明：。 A5 在四棱锥 中， 底面 。从条件“①底面 是菱形”、“②底面 是矩形”、“③ 且 ”中选出能使 平面 成立的条件，写出所有符合要求的序号并说明理由；对选出的条件再判断平面 与平面 的位置关系。 A6 已知直线 平面 ，平面 经过 且 。写出所有正确命题的序号：①；②平面 内有无数条直线与 平行；③直线 与平面 内的任意一条直线都不相交；④平面 与直线 有且只有一个公共点。 A7 （多选）设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 （二）能力提升（B 组） B1 在四棱锥 中，底面 是梯形，，。棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由。 B2 （多选）空间中 为定直线，， 是 上两点。动点 到 的距离为 1，动点 到 的距离为 2，二面角 为 ，则（　　） A．　　B． C．存在 ， 使得 　　D．直线 与 一定异面 B3 在四棱锥 中， 底面 ，底面是矩形，，，。求底面 内（含边界）到点 与点 距离相等的点的轨迹，并求该轨迹的长度。 B4 在正四棱柱 中，，。点 ，， 分别在棱 ，， 上，，，。棱 上是否存在点 ，使得 ，，， 四点共面？若存在，求 的长并判断四边形 的形状；若不存在，说明理由。 B5 在四棱锥 中， 底面 ，底面是边长为 2 的正方形，。棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由。 B6 在四面体 中，，。证明：，并说明点 在平面 内的射影是 的什么特殊点。 B7 在四棱锥 中， 底面 ，底面是矩形，，。棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，指出 的位置，并判断此时平面 与平面 是否垂直；若不存在，说明理由。再把 改为 ，重新判断一次。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】A 【解析】在 上任取一点 ，过 作 ，则 与 相交于 ，确定唯一平面 ；由 、、 得 。唯一性：若过 的平面 也满足 ，则在 内过 作 ， 与 都过 且平行于 ，由平行公理 ，故 含 与 ，。选 A。 【母题溯源】对应例题 1 第 (2) 问：存在性靠造平行线，唯一性靠“过一点只有一条平行线”。 A2　　【答案】 平面 【解析】在 中 、 为 、 的中点，故 是中位线，；又 平面 ， 平面 ，所以 平面 。结论只能写“平行”——漏掉“ 不在平面内”，判定前提就不全。 【母题溯源】对应例题 1 第 (1) 问：见两个中点先想中位线。 A3　　【答案】存在， 为 的中点 【解析】平行四边形对角线互相平分，故 是 的中点。取 为 的中点，则 是 的中位线，；由 平面 、 平面 得 平面 。唯一性：、、 确定平面 ，它与平面 的交线是 ，要使 平面 必须 ，而过 平行于 的直线唯一，它与 交于中点。 【母题溯源】对应例题 1 与变式 1-2：动点与定点同在某个与目标平面相交的平面内时，先把问题压到交线方向。 A4　　【答案】证明见解析 【解析】在等腰梯形 中作 于 ，则 ，，于是 。检验 ，由勾股定理的逆定理得 。又 底面、 底面，故 ；由 得 平面 ，而 平面 ，所以 。 【母题溯源】对应例题 2 第 (1) 问的“算出来的垂直”：先用长度把垂直钉实，再凑两条相交线。 A5　　【答案】①③；此时平面 平面 【解析】 底面、 底面，故 恒成立。要使 平面 ，面内除 外只需再一条与 相交的线，取 ：缺口恰好归结为 。①菱形对角线互相垂直，成立；③ 且 时 、 都在 的中垂线上，故 ，成立；②矩形的对角线相等而不垂直（仅正方形才垂直），存在使 与 不垂直的底面，此时 与平面 内的直线 相交不垂直， 不可能垂直该平面，②不能选。对①③，由 平面 且 平面 ，得平面 平面 。 【母题溯源】对应变式 3-1：结构不良题先倒推结论所需的最低前提（这里只差 ），再逐条筛条件。 A6　　【答案】①②③ 【解析】①对：、、，由线面平行的性质定理得 。②对： 内所有与 平行的直线都与 平行，共无数条。③对： 说明 与 无公共点，故 与 内任何直线都没有公共点——它们与 要么平行、要么异面，但都不相交。④错：平行是零个公共点。 【母题溯源】对应例题 3 与“定理前提类”易错表：把“不相交”与“不平行”分开看，是概念题唯一的突破口。 A7　　【答案】BD 【解析】A 错： 可能在 内，正确结论是“ 或 ”。B 对： 且 ，由面面垂直的判定定理得 。C 错： 且 只能推出 平行于 或在 内。D 对：垂直于同一平面的两条直线平行，这是线面垂直的性质定理。选 BD。 【母题溯源】对应例题 3：判断类题目先在脑内配一个正方体，能画出反例的选项一律否掉。 （二）B 组 B1　　【答案】存在， 【解析】设 。在棱 上取 使 ，则在 中 且 。要使 平面 ，只需让 与面内的 平行，即需 为平行四边形： 由 保证，只再添 。由 得 ，，即 。此时 且 ，故 ；又 平面 、 平面 ，所以 平面 。回检 ， 确在棱 上。唯一性：过 平行于平面 的平面只有一个，满足条件的 必在其中，而它与直线 至多一个交点。 【母题溯源】对应变式 1-2 与例题 1：比值不是中点时，用平行四边形或交线定向把空间问题降成平面比例。 B2　　【答案】BCD 【解析】把 当轴，、 分别在半径为 1、2 的同轴圆柱面上；过 、 作 的垂线，垂足为 、，两垂线在垂面内夹角为 。A 错：让 、 沿 同向滑到无穷远，。B 对：把 平移到 所在垂面内得 ，，故 （），。C 对：以 为原点、 为 轴，取 、，则 ，即存在 。D 对：若 与 共面于 ，则 、 都在 内且都垂直 ，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，二面角就成了 或 ，与 矛盾，故 与 恒异面。 【母题溯源】对应例题 3：固定一个垂面把自由度砍成“沿轴滑动量”，再逐个选项问“能不能反例”。 B3　　【答案】轨迹是与 平行、交 于点 （）的一条线段，长度为 1 【解析】在底面内取点 ，设它沿 、 方向的距离分别为 、。因 底面，；又 。令两者相等得 ，，与 无关。故满足条件的点是直线 与矩形的公共部分：一条平行于 （从而垂直 ）的线段，长为 。几何解释：到 、 等距的点都在 的中垂面内，该面与底面的交线就是它。 【母题溯源】对应变式 2-1：交轨法——先把“到两点等距”翻译成一条轨迹，再用所在平面切出实际范围。 B4　　【答案】存在，，四边形 是平行四边形 【解析】设 。平面 平面 。若四点共面于 ，则 截这两个平行平面所得交线 与 平行。在两个侧面里分别看： 沿 方向走 2、竖直上升 3−2=1； 沿 方向走 2、上升 。由 且侧棱同向，两线平行只可能是 ，。反向验证： 时比较 （沿 走 2、上升 1）与 （沿 走 2、上升 3−2=1），两者平行且相等，故 是平行四边形，四点共面。回检 ， 为 的中点，方程一次故唯一。 【母题溯源】对应例题 1 第 (2) 问的“造平行平面”与变式 3-1 的先筛后证；该题原问的二面角计算归微专题 21。 B5　　【答案】不存在 【解析】先找必要条件。若 平面 ，则 。因 、 平面 ，有 平面 ，故 只能是直角三角形 中从 向斜边 所作垂线的垂足，位置唯一（此时 ，）。再验另一条前提：还需 。若它成立，结合 底面给出的 ，而 与 是平面 内相交于 的两条直线，就得 平面 ，从而 ；但边长为 2 的正方形中 与 的夹角是 ，矛盾。故棱 上不存在使 平面 的点 。 【母题溯源】对应例题 2 的回检习惯：先把动点逼到唯一位置，再检查其余前提能否同时成立——“不存在”也是完整答案。 B6　　【答案】证明见解析；射影是 的垂心 【解析】作 平面 于 ，连 、、。由 平面 得 ；又已知 ，且 ，所以 平面 ，故 ，即 是 中过 的高。同理由 与 得 平面 ，故 ，即 是过 的高。两条高交于 ，所以 是 的垂心，于是 。再由 与 、 得 平面 ，故 ，即 ；同时点 在平面 内的射影 是 的垂心。 【母题溯源】对应变式 2-2 与例题 2：把线线垂直通过一条已得的线面垂直归拢到过同一点的两条相交直线，是垂直链的通用做法。 B7　　【答案】 时存在且唯一， 为 的中点，此时平面 平面 ； 时不存在 【解析】设 （），则 ，。 等价于 ，代入得 ，化简为 。当 时即 ，，点 存在且唯一，是 的中点。此时 底面、 底面得 ，又 ，且 、、 平面 ，所以 平面 ；由 平面 得平面 平面 。当 时判别式 ，无实根，棱 上不存在这样的点。几何解释： 即 在以 为直径的圆上， 时圆与 相切（切点是中点）， 时相离；存在与否只看 与 的大小。 【母题溯源】对应变式 2-1、例题 2 与 B5：先由面面垂直倒推“只差一条垂直”，再把存在性落成平面几何的交点问题，最后回检 是否落在棱内。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $