微专题11 数列的递推关系 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第2章 · 数列 · 大单元5 数列及其综合运用 高中数学二轮复习专题讲义 11微专题11数列的递推关系  递推关系是数列的“生成规则”：给首项、给规则，整列数就长出来了。二轮不背题型，只练一件事——看递推式的形状，决定第一步变形往哪里去：差是 的式子就累加，比是 的式子就累乘，一次型与指数型就同除或配方构造， 与 混在一起就先消元再互化。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近四届把递推放在哪一类题上；再照“模型速查表”对号入座，把每种形状与第一步动作绑死；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时做完课后分层训练，错题回对应例题重走一遍流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 递推关系在近四届高考里呈“小题压轴考综合、大题开门考变形”两条线：填空压轴把 与 的互化和等比条件绑在一起考（2026 年Ⅰ卷第 14 题），解答题第 17、18 题则几乎年年给出一个含 的递推式，第一问只求通项，第二问接到求和上去。二轮要练的不是“见过多少种递推”，而是拿到递推式前三十秒的判断链：形状识别、变形方向、首项检验。 表前先把题目取舍说清楚。2025 年新课标Ⅰ卷第 16 题（ 成等差）与 2022 年新高考Ⅰ卷第 17 题（ 成等差）以基本量与判定为主线，已由微专题 9 收录，本讲只在“同除构造”“互化累乘”两处借用其流程；2024 年新课标Ⅰ卷第 19 题是可分数列的新定义题，归微专题 16；2023 年新课标Ⅱ卷第 18 题的第 (2) 问比较 与 ，求和归微专题 10，本讲取它奇偶分段求通项的第 (1) 问收进训练 B1；2023 年、2024 年全国甲卷理科第 17、18 题的第 (2) 问（裂项、错位相减）同样归微专题 10，本讲只取其第 (1) 问的互化变形。另有两道题不在近五年窗口内，但母题价值太高，本讲按同构题呈现：2021 年全国乙卷理科第 19 题（ 的前 项积）作为例题 3，2021 年新高考Ⅰ卷第 17 题（奇偶分项递推）作为变式 2-2。 三条命题线索。其一，递推式越来越“不像课本”：系数带 、右边带 、条件里同时出现 与 ，一律要先做一步“翻译”才能落到等差、等比上；其二，首项检验被写成显性得分点：凡由 作差得到的通项， 能不能并入必须说清楚，2024 年全国甲卷第 18 题的公比还是负的，分段与符号一起考；其三，递推与函数、方程交叉：填空压轴把“存在连续 9 项成等比”写成关于 的约束，本质是把递推信息按块拆解后比较大小。 表 1: 数列递推关系考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 新课标Ⅰ卷 14 由 分块互化，连续 9 项成等比求公比最大值 2024 全国甲卷（理） 18 ：作差互化得等比（公比为负） 2023 新课标Ⅱ卷 18 奇偶分段的复合数列 ：先求 通项 2023 全国甲卷（理） 17 ：作差后累乘求通项 ▶ 二、知识与方法必备 本栏只放“看到什么形状、第一步做什么”的模型卡片，不再重铺等差、等比的定义。速查表“一眼认出它的样子”一列写的是题面特征，不是解法名词；先认形状，再动笔。 表 2: 递推求通项四模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 累加 递推式已写成 ，右边是含 的分式、指数或一次式 从 到 列出 个差式相加，中间项对消后补 例题 1、变式 1-2 二 · 累乘 递推式写成 ，各项非零 从 到 列出比式相乘，分子分母交叉对消，补乘 变式 1-1、变式 3-2 三 · 构造新数列 、、、奇偶分段 待定系数配常数、同除 、取倒数、隔项看，把它变成等差或等比 例题 2、变式 2-1、变式 2-2 四 · 与 互化 条件里 与 （或 的积）同时出现，单看某一项推不动 用 （）消去一个量，回到前三类模型 例题 3、变式 3-1 结论一 · 待定系数配常数 形如 （，）的递推，设 ，展开比较常数项得 ，于是 是首项为 、公比为 的等比数列。若 ，则数列从第一项起就是常数列 ，此时不必再写等比。取 时它退化成累加型。 结论二 · 同除与取倒数两条路 型：两边同除 ，记 ，得 。当 时右边是常数， 为等差；当 时 用累加。 型：两边取倒数得 ，化为等差；取倒数前必须先说明 。 结论三 · 互化的三条纪律 第一条， 只在 成立， 一律回到 或原式代 ；第二条，两式相减后如果出现 、 这类含 的因子做除数，必须单独讨论它为零的那一项；第三条，作差得到的通项要回代检验 ，能并入就合并，不能并入就写成分段形式，不检验直接合并是本专题最大的失分源。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，全篇统一按四步展开：认模型 → 列递推 → 核心推演 → 回检定论。第二步“列递推”是把题面翻译成只含一个数列的标准式子，第四步“回检定论”专管三件事—— 的检验、除法合法性（含 的因子是否为零）、结论是否要分段。 （一）题型一：累加与累乘 题型识别。递推式已经把相邻两项的差或商单独拎出来，且差（商）是只含 的式子： 或 。这时不必构造任何东西，把 个式子叠起来对消就是答案。 通法模型。认模型：看右边是“差”还是“商”；列递推：把 依次换成 写出 个式子；核心推演：相加或相乘做对消，注意求和对象能不能裂项、能不能用等比求和；回检定论：补上 ，再用 与递推式各验一次。 例题 1（题型一·分式差累加） 已知数列 满足 ，（）。求 的通项公式。 图 1: 累加型图象：增量越来越小，点列贴着上界生长 例题 1 解析 第 1 步 · 认模型：条件就是 ，差是只含 的分式，走累加。之所以不构造新数列，是因为右边没有 这项，叠起来中间项会自动消失。 第 2 步 · 列递推：把 依次取 ，得 个式子 项数账必须先算：目标是 ，最后一个差式的下标是 ，所以一共 个式子，不是 个。 第 3 步 · 核心推演：两两相加，左边只剩 。右边用裂项 ： 故 （）。 第 4 步 · 回检定论： 时 ，公式可并入，故对一切 ，。再验递推：，与条件一致。顺带读出图象信息： 且单调递增，极限位置是 2。 方法点睛 · 累加的“项数账” 累加、累乘错的人不多，错的位置高度集中：上限写成 而不是 ，或者对消完忘了补 （累乘是忘了补乘 ）。稳妥写法是先把首、末两个差式都写出来，再在 上方标上限，最后单独一行“补上 ”。 变式 1-1（题型一·比值型累乘） 已知数列 满足 ，（）。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：变形为 ，商是只含 的分式，走累乘。除法合法的依据：，且递推式右边系数为正，逐项非零。 第 2 步 · 列递推： 取 ，得 第 3 步 · 核心推演：相乘，分子 与分母 交叉对消，只剩首尾 第 4 步 · 回检定论： 时 ，可并入，故 。检验 ：递推给 ，公式给 ，一致。 易错微警 · 累乘只剩“首尾各一项” 对消后分子剩 2、分母剩 ，中间项全部成对消掉。同学常犯的是多留一个 或把分母写成 。检查方法：代 手工算一次，与公式对得上才继续。 变式 1-2（题型一·差为等比型） 已知数列 满足 ，（）。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型： 是累加型，只是右边的和不再是裂项，而是等比数列求和。 第 2 步 · 列递推：，，，，共 个式子。 第 3 步 · 核心推演：相加得 ，故 （）。 第 4 步 · 回检定论： 时 ，可并入，故 。这一步的等比求和是“微专题 10 的工具在本专题先借用”，认出 到 是 项、首项 3、公比 3，项数与首项不能错。 方法点睛 · 累加之后还有一道“求和关” 累加把递推题变成求和题：右边是 就裂项，是 就等比求和，是 就直接用公式。所以做累加型时，第一步就要问“右边的和我会不会算”，不会就先补那一块，别急着往下推。 （二）题型二：构造新数列 题型识别。递推式右边还带着 ：，或分式型 ，或按 的奇偶分两段。这类题一步对消不掉，要先做一次“化妆”，把它变成一个熟悉的等差或等比数列。 通法模型。认模型：看 是常数、指数式还是分段；列递推：选定除数（同除 ）或补的常数（待定系数 ），把新数列 写出来；核心推演：对 求通项；回检定论：还原 并代 ，同时说明变形过程没有丢项、没有除以零。 例题 2（题型二·同除构造等差） 已知数列 满足 ，（）。求 的通项公式。 图 2: 同除 ：指数型点列被拉回直线 例题 2 解析 第 1 步 · 认模型： 是 型，且 。待定系数配常数在这里配不出来（ 不是常数），正确的第一步是同除，把增长过快的 压掉。 第 2 步 · 列递推：两边同除 （除数取 ，是为了让左边正好变成 ，即新数列的第 项）： 记 ，则 ，且 。 第 3 步 · 核心推演： 是首项 、公差 的等差数列，故 第 4 步 · 回检定论：还原 。检验 ：；检验 ：递推给 ，公式给 ，一致。故 。 方法点睛 · 除数为什么要跟着下标走 同除的目标是“左边的分母指数跟下标同步”。除 时左边是 ，它不是 ，递推式就没化成 的形式。除完之后一定要重读一遍：左边是不是 ，右边是不是只含 与一个可求和的余项。 变式 2-1（题型二·取倒数构造等差） 已知数列 满足 ，（）。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：分式型 ，分子是 的一次、分母是 的一次，标准动作是取倒数。 第 2 步 · 列递推：先说明除法合法：，若 ，则 ，故各项为正、各项非零。两边取倒数： 第 3 步 · 核心推演：记 ，则 是首项 、公差 2 的等差数列，。 第 4 步 · 回检定论：还原 。检验：；，而 ，一致。故 。 易错微警 · 取倒数前先问“各项为零吗” 取倒数是除法，必须交代 。本题靠“正项”一句话解决；若首项为 0，则 ，数列根本不能取倒数，得单独作为一类讨论。 变式 2-2（题型二·奇偶分段的隔项构造） 已知数列 满足 ，且当 为奇数时 ，当 为偶数时 。记 ，写出 ，，并求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：递推式按 的奇偶给了两条规则，一步走不到 。但“偶数项看偶数项”是封闭的：从 到 恰好走“奇数步 +1、偶数步 +2”各一次，所以隔项构造 。 第 2 步 · 列递推：（ 为奇数），（ 为偶数），。于是 ，。一般地 第 3 步 · 核心推演： 是首项 2、公差 3 的等差数列，故 。 第 4 步 · 回检定论：， 与手算一致。再由“奇数项比它后面那个偶数项小 1”得 ，于是 只能分段写：偶数项为 ，奇数项为 （）。分别验一个：，，与递推 一致。本题的原型第 (2) 问“求 的前 20 项和”以奇偶分组求和为主，归微专题 10 展开。 方法点睛 · 奇偶分段就“隔项看” 两条规则交替出现时，把两步并成一步： 的增量是两条规则之和（本题 2+1=3），于是 是等差数列。同理，若规则是相乘的，隔项看得到等比。写出分段通项后，务必分别代一个奇数、一个偶数验证。 （三）题型三： 与 互化 题型识别。条件里同时出现 （或 的积、商）与 ，单看某一项推不下去；或者给出的是 的方程而不含 。标志词：“记 为数列 的前 项和，已知……”。 通法模型。认模型：分清是“消 ”还是“消 ”；列递推： 不变的那条式子与 版本相减，用 （）把混合式降成单一数列的递推；核心推演：回到题型一、二；回检定论：单独处理 ，检查含 的除数是否为零，决定合并还是分段。 例题 3（题型三·前n项和与前n项积混合） 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 。 (1) 证明：数列 是等差数列； (2) 求 的通项公式。 图 3: 互化后两问的图象： 收敛， 首项孤立 例题 3 解析 第 1 步 · 认模型：条件把 与 的积 绑在一个等式里，既不能直接解出 ，也不能直接看出 的形状。突破口是利用“前 项积”的定义把 用 表示，先消掉 。 第 2 步 · 列递推：由 ，（），得 。先定首项： 时 ，代入条件 ，得 ，即 ，且各项 、。 第 3 步 · 核心推演：把 代回条件（）： 故 是首项 、公差 的等差数列，。第 (1) 问得证。 第 4 步 · 回检定论：由 （），。当 时 逐一检验边界： 时 ，而 ，公式在 也成立； 时 不满足该式。故 这是本讲最典型的结果：中间过程再漂亮，首项不并入就必须分段写。 方法点睛 · 混合式先消元再互化 与“ 的积（或商）”混合时，先用 消掉 ，把条件变成只含 的递推；反过来，只含 的条件就用 消 。消元的方向只有一个判据：消完只剩一种量。 变式 3-1（题型三·作差得负公比等比） 记 为数列 的前 项和，已知 。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：条件只有 与 的一次关系，标准互化：原式与 版本相减。 第 2 步 · 列递推： 时 ，得 。当 时，，与原式相减： 第 3 步 · 核心推演： 是首项 4、公比 −3 的等比数列，故 。 第 4 步 · 回检定论：检验 ：递推给 ；由 得 ，解得 ，一致。公比为负，数列为摆动数列 ，写通项时负号与指数位置都不能错。 易错微警 · 负公比不是“错题” 看到 就怀疑自己算错，是本题最常见的心理失分。检验办法：把前两项代回原式 各验一次，两个都对就说明递推成立。后续若要求 的和或带 的积，需按奇偶分类，那部分见微专题 10。 变式 3-2（题型三·作差后除数带项号） 记 为数列 的前 项和，已知 ，。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型： 与 的系数都带 ，作差后会出现含 的因子，属于“互化 → 累乘”的两步题。 第 2 步 · 列递推：当 时 ，与原式相减得 此处必须先停下： 时左边系数为 0，不能除，得单独回到原式处理。 第 3 步 · 核心推演：先救被除数抹掉的那一项。 时上式左边系数为零，得 ；这与直接代 到原式（，即 ）所得完全一致，两处相互印证。当 时 ，可作比 从 到 列出比式相乘，分子为 ，分母为 ，对消后只剩 ： 第 4 步 · 回检定论： 得 与条件一致； 时公式给 ，与第 3 步求得的首项一致，故可合并写成 （）。最后回代原式：，成立。 方法点睛 · 除数带项号时先找零点 作差整理出 后，第一步不是约分，而是解 ，看它在不在 的取值范围里。在，就必须把那一项单独代回原式求值；不在，才能放心作比。这一步写出来就是过程分，跳过去往往整题失分。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在两处：对消时的“项数账”，以及互化后的“首项归属”。分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（累加、累乘与构造类） 错误表现 错因 正确做法 累加时把 的上限写成 ，或多补一次 没数清“从 到 共 个式子” 先写首、末两个差式再写 ，上限固定为 ，最后单独一行补 由 直接作比，未说明 把除法当成恒等变形 递推前先判定各项非零（正项、首项非零且系数非零），一句话写出来 同除时除 而不是 ，化不出 除数选取没有跟下标对齐 除数取 ，使左边恰为 求出 就直接当答案交卷 只做了变形，忘了还原 收尾固定两步：由 反解 ，再代 检验 动笔前的三句自查 这是差型还是比型？除数（配常数）取对了没有？ 代回原式检验了吗？——三句都答上来，再往下写。 表 4: 高频错误及其纠正（互化与分段类） 错误表现 错因 正确做法 由 相减得 后直接除 含 的因子可能为零， 被抹掉 先解 ，把 单独代回原式求 ，再从 作比 由 一步断言 是公比 3 的等比数列 首项不满足作差得到的比值 作差只对 成立，验 与 的比，不成立就分段 分段的通项漏写 那一格 认为“ 不重要” 分段形式必须把每一项的范围都写全，缺格即扣分 化简 时把 换成 又忘了同步 两处代换不同步，符号错位 统一以“写下 版与 版，再相减”为固定动作，不心算 ▶ 五、课后分层训练 训练与例题一一对应：A 组练四个模型的基本动作（累加 2 题、累乘 1 题、构造 2 题、互化 2 题），B 组练迁移与综合，其中 B5、B6、B7 为难题，B4 为结构不良题，A5 为多选题。建议 A 组限时 25 分钟，B 组限时 40 分钟；先独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知数列 满足 ，，则 的通项公式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． A2 已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． A3 已知数列 满足 ，，则 ______。 A4 已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． A5 （多选）已知数列 满足 ，，则（　　） A．数列 是等比数列 B． C．数列 是递增数列 D． A6 已知数列 的前 项和 ，则 ______。 A7 已知数列 满足 ，（），则 的通项公式为（　　） A．　　B．，（） C．　　D．，（） （二）能力提升（B 组） B1 已知数列 是等差数列。数列 满足：当 为奇数时 ，当 为偶数时 。记 ， 分别为数列 ， 的前 项和，且 ，。求 的通项公式。 B2 已知数列 满足 ，，则 ______。 B3 已知数列 满足 ，，则 ______。 B4 （结构不良）已知数列 满足 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的通项公式，并指出它属于本讲哪一个模型。 条件①：；条件②：；条件③：（其中 为前 项和）。 B5 已知数列 满足 ，（）。求 的通项公式。 B6 设实数 满足：存在数列 ，使得对任意 ，均有 ，且 中有某连续 9 项 是公比为 的等比数列。则 的最大值为 ______。 B7 已知数列 的前 项和为 ，且 （）。求 的通项公式。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】A 【解析】，累加（ 个差式）得 。代 得 1，可并入，故选 A。 【母题溯源】例题 1：认成差型后用累加，先数项数。 A2【答案】B 【解析】由 （各项非零）累乘：。 时 ，可并入，故 ，选 B。 【母题溯源】变式 1-1：累乘只剩首尾，注意本题对消后分子剩 1、分母剩 ，再乘 。 A3【答案】 【解析】一次型递推，用待定系数配常数：设 ，展开得 ，故 是首项 、公比 2 的等比数列，，即 。检验：，，一致。 【母题溯源】结论一与例题 2：右边是常数时用配常数，是 时用同除。 A4【答案】B 【解析】各项为正，取倒数得 ，故 是首项 1、公差 3 的等差数列，，，，选 B。 【母题溯源】变式 2-1：分式型取倒数，先交代 。 A5【答案】ABC 【解析】由 A3 知 ，故 B 正确；， 是公比 2 的等比数列，A 正确；，数列递增，C 正确；，D 错误。故选 ABC。 【母题溯源】例题 2 与结论一：多选题把“构造—通项—单调—求值”串成一条链，逐项验算即可。 A6【答案】 【解析】 时 ； 时 。 时 ，可并入，故 （这也是一个公差为 2 的等差数列）。 【母题溯源】例题 3 第 4 步：互化的“分段加检验”流程。 A7【答案】B 【解析】。当 时， 与 相减得 ，即 ，故从第 2 项起是公比 2 的等比数列，（）。而 ，不能并入，故 ，（），选 B。检验：，，一致。 【母题溯源】例题 3 第 4 步与易错表第二行： 型必须验首项，首项不并入就分段。 （二）B 组 B1【答案】 【解析】设 。由 得 。又 ，，，故 即 。联立 与 ，解得 ，，故 。检验：，，均符合。 【母题溯源】变式 2-2：奇偶分段先按奇偶各取若干项列方程；本题 只是“外壳”，实质仍是等差数列的基本量方程（详见微专题 9）。 B2【答案】 【解析】由 累乘：。 时指数为 0，，可并入。检验：，，一致。注意指数是 1 到 的和，不要多算 。 【母题溯源】变式 1-1 与 A1：累乘的对消骨架，右边指数型时先数指数之和。 B3【答案】 【解析】，两边同除 ：，记 ，则 ，，故 ，。检验：，递推给 ，一致。 【母题溯源】例题 2：同除 使左边恰为 。 B4【答案】选①或②均得 ；选③得 【解析】选①：，配常数得 首项 2、公比 2 的等比数列，（模型：构造新数列）。选②：，累加得 ， 时也成立（模型：累加）。选③：；当 时与 相减得 ，而 亦成立，故 是首项 1、公比 2 的等比数列，（模型： 与 互化）。三种选择的通项并不相同，但都要走完“认模型—列递推—推演—回检”，结构不良题考的是选定路径后的完整书写。 【母题溯源】分别对应 A3（例题 2 型）、A1（例题 1 型）、A7（例题 3 型），注意③中 恰能并入、与 A7 不同。 B5【答案】 【解析】 中 既非常数也非指数，配常数失效。两边同除 ：，，故 由 （错位相减，详见微专题 10），得 ，取 ： 检验：；；，均一致。 【母题溯源】例题 2 与变式 1-2：同除后化为累加，累加里再借一次求和工具。 B6【答案】 【解析】把 按每三项分块：记 ，则 时 ， 时 ，故一切 都有 。设连续 9 项为 （，且 恒成立，以下除法均合法），按起始位置分三种情形。 情形一：9 项恰占三个整块（从 起）。三组和分别为 ，，，而等比数列连续三项的和依次为 ，，，需 ，即 ，矛盾，此情形不存在。 情形二：从 起。第 3,4,5 项恰为整块 ，第 6,7,8 项恰为整块 ，故 两式相除得 （）。 情形三：从 起。第 2,3,4 项与第 5,6,7 项各为一整块，同理得 。 故 。取 、、，则 成等比，块 2 与块 3 的和分别为 4、6；再取 ，，其余块任取和为 的三项，即满足全部条件。所以 的最大值为 。 【母题溯源】例题 3 的分块互化 + 变式 2-2 的“按位置分类”：新高考填空压轴的常见套路是把递推信息藏在“整块”里，比大小只需比块的序号。 B7【答案】 【解析】 时 ，得 。当 时， 与 相减得 ，即 。配常数：设 ，比较得 ，故 是首项 、公比 的等比数列，，即 。检验：；，，成立。 【母题溯源】例题 3（互化）+ 结论一（配常数）：本题 由原式单独定出，作差所得递推对一切 成立，且首项恰好并入，故不分段。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $