微专题10 数列求和问题 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第2章 · 数列 · 大单元4 等差数列与等比数列 高中数学二轮复习专题讲义 10微专题10数列求和问题  数列求和考的不是“公式背得全”，而是“看见结构就知道该拆、该裂，还是该错位”。二轮要把三件事练成条件反射——分组并项、裂项相消、错位相减——再共用一个收尾动作：数项数、验首项、定符号。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近两届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 数列求和很少单独成题，它总是“挂”在一个结构上：或挂在等差、等比的基本量后面，或挂在函数、导数的和函数后面，或挂在新定义的分组规则后面。因此命题重心已从“套公式”转向“先识别结构，再选工具”：2026 年两道题都在“分组”上做文章，2025 年则把错位相减藏进了函数求导之后。 下面先讲清本专题的题目取舍，再给出考情表。 表内取舍说明：本讲只收“求和”落点明确的题。2026 年全国Ⅰ卷第 7 题（塔群两两分组，组和成等差）与第 14 题（由 反推项的结构）进表；2024 年新课标Ⅰ卷第 19 题的“可分数列”本质是分组构等差，收进训练 B6 作迁移。2025 年新课标Ⅰ卷第 16 题的第 (2) 问是“错位相减 + 导数”的典范，2023 年新课标Ⅰ卷第 20 题的第 (2) 问含 的求和运算，这两题整题已在微专题 9 的考情表中认领，本讲不重复列行，只把前者第 (2) 问编成例题 3。 表 1: 数列求和考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 7 分组并项：12 个数两两分组，组和构成等差数列（求公差） 2026 全国Ⅰ卷 14 分组求和：由 反推项的结构（填空） 2024 新课标Ⅰ卷 19 新定义“可分数列”：删去两项后分组，每组四个数成等差 三条命题线索如下。其一，“分组”从技巧升格为通法：2026 年两题都不给现成通项，要先按位置或按奇偶分开，再对每一块套等差、等比的求和公式，而且“组和”本身也常常成等差。其二，“错位相减”不再明写“等差 等比”，而是藏在 这类和函数里——先由第 (1) 问的等差结构读出 ，再对 赋值相减。其三，“裂项”在大题里多以“证明和小于某常数”的放缩形态出现（如微专题 9 训练 B6），本讲把它当独立工具练透，落到两因子、隔项、三因子三种分母形态。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺公式，先给三题型的速查表，再给三条结论清单；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 数列求和三题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 分组并项 通项是“两块拼起来”（等差 + 等比、奇 + 偶、正 + 负）；或给出总和、部分和，反求分组后的参数 先找“分组前后不变的那个量”，再拆块套公式；符号交替就两两配对 例 1、变 1-1、1-2 二 · 裂项相消 通项是分式，分母两（三）个因子之差为常数，或分母是两根式之和 量出差 ，补系数 ，展开后首尾之外成对消去 例 2、变 2-1、2-2 三 · 错位相减 通项是“等差 等比”，含 的交错型也属此列 两边乘公比错位，相减后中间成等比，整理成 例 3、变 3-1、3-2 结论一 · 求和先过“结构三问” 第一问：通项能不能拆成两个各自能求和的块（等差 + 等比、奇 + 偶）？能，走分组。第二问：相邻两项（或隔项）相减，中间能不能大面积消掉？能，走裂项。第三问：通项是不是“等差 等比”（含 的交错）？是，走错位相减。三问都否，再考虑并项、倒序相加。顺序不能反：先看结构，再定工具，最后才动笔算。 结论二 · 裂项的五个母式 ；；；；。用法固定：先量“两因子之差 ”，拆完在括号外补 ；展开始终写成“头两项加尾两项”，中间的相反项成对划掉。 结论三 · 错位相减的结果形态与验算 设 ，其中 等差、 等比且公比 。乘 错位后两式相减，中间必成等比数列，结果一定能整理成 的形态——这个形态就是最好的验算器：代 各验一次。 时公式退化，必须先分类； 时 的符号随 的奇偶翻转，末项的负号不能提前并进系数。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与两道变式，每题统一按四步展开：认结构 → 定拆法 → 核心推演 → 回检定论。第四步“回检定论”专管三件事——项数与首末项是否对齐、 时是否等于 、符号与分类是否交代完整。 （一）题型一：分组并项 题型识别。题面出现“两类对象拼在一起”（等差 + 等比、奇数项 + 偶数项、正项 + 负项），或者给出总和、部分和，要求反求分组后的某个参数。共同点是：单个通项不好直接求和，但按位置切开以后，每一块都能套公式。 通法模型。第一步认结构：找出“按什么分组”（按位置、按奇偶、按符号）；第二步定拆法：分组就拆成两块分别求和，并项就“两两配一对”，奇偶不同就分堆编号；第三步核心推演：套等差、等比求和公式，盯住每块的项数是 还是 ；第四步回检定论：末组是否落单、 是否吻合。 例题 1（题型一·组和成等差） 一百零八塔是宁夏青铜峡市的著名古塔群，共 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行。将第 行中塔的座数记为 （），其中 ，，，且 是首项为 7、公差为 2 的等差数列。将 分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的 2 个数之和构成一个项数为 6、公差为 （）的等差数列，则 （　　） A．2　　B．4　　C．6　　D．8 第 1 步 · 认结构： 个个已知，六组的组和未知，但六组之和等于 12 个数之和。动机：分组题的入口永远是先找“分组前后不变的那个量”——总和、项数或平均值，把未知的组和与已知的塔数连起来，题目就从“拆塔”变成“解一元方程”。 第 2 步 · 定拆法：按位置把 12 个数分成两段求和：前 5 个 1,3,3,5,5 之和为 17；后 7 个是首项 7、公差 2 的等差数列，和为 。故 。动机：后 7 项是标准等差数列，用求和公式比逐项相加又快又不易错；前后两段分别算，也顺带检查了“塔数 108”这个已知量。 第 3 步 · 核心推演：设 6 个组和构成首项为 、公差为 的等差数列。分组不改变总和，故 ，即 。又 12 个数全是奇数，两奇数之和为偶数，所以 与 都必须为偶数。逐一检验： 得 （奇数，舍）； 得 （合乎要求）； 得 （奇数，舍）； 时 （舍）。动机： 的奇偶性被“两奇数之和”锁死，先锁奇偶再解方程，四个选项可以一次排掉三个。 第 4 步 · 回检定论： 真的能分出来吗？取分组 8=1+7，12=3+9，16=5+11，20=3+17，24=5+19，28=13+15，恰好用尽 12 个数，组和依次为 8,12,16,20,24,28，公差为 4。故 ，选 B。动机：解出参数只完成一半，构造出具体分组方案才说明“存在性”过关——这正是分组题与普通方程题的分水岭。 方法点睛 · 分组题的“不变量” 分组、并项、拆项，第一步都是找“分组前后不变的那个量”：总和、项数或平均值。找到它，未知的组和就被已知的塔数锁住；再补一句奇偶、范围之类的“存在性约束”，剩下的只是一元方程。最后别忘了把分组方案写出来验证一次。 图 1: 六组组和落在一条直线上（每组都是两个奇数之和） 变式 1-1（题型一·符号交替并项） 已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。 解析 第 1 步 · 认结构： 让符号正负交替，去掉符号后 是等差数列——“符号交替 + 等差”是并项的信号。动机：这类题逐项算必乱，先判断“相邻两项配成一对”能不能把和变简单。 第 2 步 · 定拆法：相邻两项配成一对：。动机：一对之和是常数 −2， 项就有 对，求和立刻降级为乘法。 第 3 步 · 核心推演：当 时，；当 时，前 项配成 对，再加上落单的末项 ，得 。动机：奇数项时最后一对“落单”，必须单独补，不能硬套“对数 对和”。 第 4 步 · 回检定论：故 。代 得 ，代 得 ，均吻合。 方法点睛 · 并项三步 “算一对、数对数、补落单”：算一对得到常数，数对数得到偶数项的和，落单项按符号直接补上。三步都写出来，奇数项的和就不会算错；只写“配成若干对”是考场最常见的扣分点。 变式 1-2（题型一·平方型并项） 已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。 解析 第 1 步 · 认结构： 同样是符号交替，配对后要用平方差。动机：先看一对之和是什么形态——，是一次式，说明“平方和”能通过并项降成“等差和”。 第 2 步 · 定拆法： 时， 对之和为 。动机： 是等差数列，直接套公式，不必把每一项展开再合并。 第 3 步 · 核心推演：，即 时 ；当 时，，即 。动机：奇数项的和用“偶数项的和减末项”最快，比重新配对少一次讨论。 第 4 步 · 回检定论：故 。代 得 ，代 得 ，均吻合。 易错微警 · 两个分支必须合成一个式子 奇偶两段算出的是两个表达式，交付前要合并成一个带 的统一式，并明确写出判断依据；分两段写时，区间端点既不能重复也不能漏（ 与 恰好覆盖全部正整数）。 （二）题型二：裂项相消 题型识别。通项是分式，分母能写成两个（或三个）因子之积，且相邻因子之差是常数；或分母是两根式之和。分子通常是常数；若分子含 ，先做除法或拆项再裂。 通法模型。一量（量出两因子之差 ）、二拆（在括号外补 ）、三展（写出前三项与后两项，中间的相反项划掉）、四数（数清剩下几项）。 例题 2（题型二·两因子裂项） 已知数列 的前 项和 ，数列 满足 。(1) 求 的通项公式；(2) 求 的前 项和 ，并证明 。 解析 第 1 步 · 认结构：第 (1) 问是“由 求 ”的基本动作；第 (2) 问的分母是 ，即“两个相邻奇数之积”，两因子之差为 2——裂项的典型长相。动机：先把 求出来， 的两个因子才看得见；结构题都是“先化简、再识别”。 第 2 步 · 定拆法： 时 ； 时 ，且 也满足，故 。于是 ，两因子之差 ，补系数 ，得 。动机：系数先写在括号外，后面展开始终只处理括号内的差式，不会漏乘。 第 3 步 · 核心推演：写三行——第一行写通项拆开，第二行把和式展开，第三行把划剩的项相减： 动机：括号里除首尾之外全部成对消去，只剩 1 与 两项；中间项根本不用算，只需数清“剩几项”。 第 4 步 · 回检定论：，，均吻合。又 ，故 ，结论成立。 方法点睛 · 裂项“三行法” 第一行通项拆开，第二行和式展开到首尾，第三行把划剩的项相减。关键在第二行：中间的相反项一划，剩下的项数一目了然，比在脑子里对消可靠得多。最后用 检验一次，漏项当场现形。 图 2: 裂项后相邻两项的相反数成对消去（以 为例） 变式 2-1（题型二·隔项裂项） 已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。 解析 第 1 步 · 认结构：分母两个因子之差为 2，且中间隔了一项——“隔项裂项”，消去以后头和尾各剩两项。动机：先量出“隔了几项”，就知道最后要保留几项。 第 2 步 · 定拆法：。动机：系数照旧由两因子之差决定，与“隔项”无关。 第 3 步 · 核心推演：。中间的正负项成对消去，剩下 。动机：这里最容易只留“首尾各一项”，所以要把前三项、后两项都写出来，看清哪几项没被消掉。 第 4 步 · 回检定论：。代 得 ，吻合。 易错微警 · “隔项”就意味着首尾各留两项 两因子之差为 2（隔一项）时，展开后漏掉正数侧的第二项 或负数侧的第二项 都会出错；用 （此时只剩两项）检验，能立刻发现漏项。 变式 2-2（题型二·三因子裂项） 已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。 解析 第 1 步 · 认结构：三因子没有现成母式。动机：先做一次“减法反推”——，系数 2 就藏在这个差里。 第 2 步 · 定拆法：。动机：把三因子降到二因子，再用熟悉的消去规律。 第 3 步 · 核心推演：。动机：括号内是两个“二因子项”，只首尾各留一个，直接相减即可。 第 4 步 · 回检定论：，吻合；且 ，可作为放缩的常用结论。 方法点睛 · 三因子裂项的系数靠“反推” 三因子裂项的系数是 而不是 1；与其死记，不如每次先写一次“相邻两项之差”，看分母上多出来的那个常数是几，系数就取它的倒数。这条“反推”对 这种变式同样管用。 （三）题型三：错位相减 题型识别。通项是“等差 等比”；或和式里出现 这类“系数带 ”的结构；含 的交错型同样归此，只是公比为负。 通法模型。一设（写出 ）、二乘（两边乘公比 ，整体错一位）、三减（两式相减，中间成等比）、四整（用等比求和公式整理成 ）、五验（代 验算）。 例题 3（题型三·交错型错位相减） 设数列 满足 ，。 (1) 证明： 为等差数列； (2) 设 ，求 。 解析 第 1 步 · 认结构：第 (2) 问要的是 在 处的值，即 。系数 恰好由第 (1) 问的等差数列给出——这是“等差 等比（公比 −2）”的伪装。动机：导数题里出现和函数，先把它翻译成“系数 幂次”，求和模型立刻显形。 第 2 步 · 定拆法：第 (1) 问两边同乘 ，得 ，即 ，故 是首项为 3、公差为 1 的等差数列，从而 。于是 ，。动机：把 先换成 ，被求和的对象就变成“一次式 等比”，正是错位相减的标准靶子。 第 3 步 · 核心推演：记 ，则 两式相减，左端为 ，右端除首项与末项外同列系数之差都是 1： 故 。动机：中间那段共 项，逐项写成 (−2) 的幂后按等比求和；末项 单独抄出来，负号跟着走。 第 4 步 · 回检定论：代 ：，而此时 ，吻合；代 ：，而此时 ，，吻合。故 。 方法点睛 · 错位相减盯住“三处符号” 一是公比的正负：本题 ，每乘一次公比符号翻转一次；二是相减后的末项：它永远单独成一项，别混进中间等比；三是中间等比的项数：两式重叠那一段是 项，不是 项。三处各看一眼，答案就不会差一个符号或一项。 图 3: 两式错位相减：同列相消，只剩首尾两项 变式 3-1（题型三·正公比） 求数列 的前 项和 。 解析 第 1 步 · 认结构：，等差 等比，公比 。动机：先确认公比为正，符号不会翻，相减后的末项只需盯系数。 第 2 步 · 定拆法：，两边乘 2 得 。动机：乘公比以后整体错一位，才能与原来的每一项对齐。 第 3 步 · 核心推演：两式相减： 其中 ，代入得 ，故 。动机：中间的等比按“首项 、末项 、共 项”求和，项数少一项是这里最容易出错的地方。 第 4 步 · 回检定论：代 ：；代 ：，均吻合。 变式 3-2（题型三·分式型与放缩） 已知 ，求 ，并证明 。 解析 第 1 步 · 认结构：，等差 等比，公比 。动机：分式型只是把公比写成 ，结构没有变，仍走错位。 第 2 步 · 定拆法：，两边乘 得 。动机：公比为 时相减得到的是 ，最后要乘 2 还原，别把结果当成 。 第 3 步 · 核心推演：两式相减： 括号内共 项，和为 ，故 ，即 。 第 4 步 · 回检定论：代 得 ，代 得 ，均与逐项相加一致；又 ，故 成立，且 随 增大趋近于 5。 方法点睛 · 公比为分数时先“减”再“还原” 公比是 这类分数时，相减直接给出的是 或 ，一定要写清左端是什么，再乘回去。中间等比的项数按“两式重叠的那一段”数：本题重叠 项，和是 。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“流程与项数”和“结构识别与检验”两件事上，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（流程与项数类） 错误表现 错因 正确做法 裂项时漏写括号外的系数 只记住 这一种母式，没把“两因子之差”当作变量 先量出差 ，拆完在括号外补 ，拆后回乘检验一次 隔项裂项只留首尾各一项 把“差为 1”的结论照搬到“差为 2”上 差为 2 时首尾各留两项，写出前三项与后两项圈出未消项 错位相减后中间等比的项数算成 项 把末项也当成了等比中的一项 重叠段是 项，末项单独抄，符号跟着走 公比 时照套等比求和公式 默认 ，分母为零 先看公比是否为 1： 时退化为等差求和 表 4: 高频错误及其纠正（结构与检验类） 错误表现 错因 正确做法 见到“等差 等比”仍按等差求和 没认出“乘公比错位”的结构 通项含 因子就用错位：先乘 ，再相减 并项时不分奇偶，直接乘“对数” 为奇数时最后一对落单 先写 与 两种，再用 补落单项 分组后漏掉“末组” 按周期分组， 不是周期整数倍时余项忘加 写成 ：前 组套公式，余下的 项逐项加 结果不验算 只求答案，不代 每道求和题最后代 （应等于 ）与 （应等于 ）各一次 动笔前的三句自查 通项的结构认准了吗（分组、裂项还是错位）？括号外的系数、中间等比的项数数对了吗？ 验算过了吗？——三句都答“是”，再把答案写进答题卡。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（分组并项 3 题、裂项 2 题、错位相减 1 题），B 组练迁移与综合，其中 B1 为含参讨论、B6 为新定义压轴。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知数列 的通项公式为 ，则其前 项和 （　　） A．　　B． C．　　D． A2 数列 的前 项和为（　　） A．　　B．　　C．　　D． A3 已知数列 的前 项和为 ，则 （　　） A．　　B． C．　　D． A4 数列 的前 项和为 ，则（　　） A． 为偶数时 ， 为奇数时 B． 为偶数时 ， 为奇数时 C．　　D． A5 （多选）下列关于数列求和的结论中，正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D． A6 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 求数列 的前 项和 （ 为实数）。 B2 已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 ，并求 的值。 B3 （多选）下列结论中，正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 B4 已知数列 满足： 为奇数时 ， 为偶数时 。求其前 项和 。 B5 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ______（在① ，；② ， 中任选一个填入）。求 的通项公式与前 项和 ，并求数列 的前 项和 。 B6 设 是正整数，数列 是公差不为零的等差数列。若从中删去两项 和 （）后，剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称该数列是 -可分数列。 (1) 当 时，写出所有满足条件的 （）； (2) 当 时，证明：数列 是 (2,13)-可分数列。 B7 已知数列 满足 ，（）。(1) 证明： 是等比数列；(2) 求 的前 项和 。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】B 【解析】把通项拆成两块：。等差块 ，等比块 ，故 ，选 B。 【母题溯源】对应例题 1 的分组思想：通项由两块拼成，分别套等差、等比求和公式再相加。 A2　　【答案】A 【解析】两因子之差为 2，故 ，前 项和 ，选 A。（B 是漏掉系数 的错解。） 【母题溯源】对应例题 2：两因子裂项，系数由“两因子之差”决定。 A3　　【答案】A 【解析】设 ，乘 2 错位得 ，相减得 ，故 ，选 A。 【母题溯源】对应例题 3：等差 等比的标准错位相减，末项单独抄。 A4　　【答案】A 【解析】两两配对：。当 时 ；当 时，。故选 A。C、D 都想用一个含 的式子把两段合并，但各在一个分支上失效：C 在 时给出 ，真值为 2；D 在 时给出 ，真值为 −1。 【母题溯源】对应变式 1-1：符号交替并项。 A5　　【答案】ACD 【解析】A 项：，正确。B 项：，故 ，比选项少一个 −2，错误。C 项即 A3 的结论，正确。D 项：，正确。故选 ACD。 【母题溯源】对应结论二（裂项母式）与例题 3（错位相减的结果形态）。 A6　　【答案】 【解析】通项 ，取 （末项分母 对应 ，即 ），故和为 。 【母题溯源】对应例题 2：裂项后只留首尾两项，注意先数清项数。 （二）B 组 B1　　【答案】 时 ； 时 【解析】当 时，数列为 ，。当 时，设 ，两边乘 得 ，相减得 。其中 ，整理得 ，故 。 【母题溯源】对应例题 3 与结论三：公比含参时必须先讨论 的退化情形。 B2　　【答案】； 【解析】分母有理化：，故 。取 得 。 【母题溯源】对应结论二的根式母式：消去后只剩首尾两个根式。 B3　　【答案】ABC 【解析】A 项：（错位相减可得），代 得 ，正确。B 项：，，正确。C 项：，，，正确。D 项： 时 ，而选项给的是 ，错误。故选 ABC。 【母题溯源】对应例题 2、例题 3 与变式 1-1：三把工具各考一条，D 项的错点在“并项后奇偶两段要分开算”。 B4　　【答案】 【解析】前 项中含 个奇数项与 个偶数项。奇数项为 ，是以 1 为首项、4 为公差的等差数列，和为 ；偶数项为 ，和为 。故 。 【母题溯源】对应例题 1（分组）与变式 1-2（奇偶分堆）：奇偶两块各自成等差、等比。 B5　　【答案】，，；两个条件均可 【解析】选①：，得 ，故 。选②：，，两式相减得 ，即 ，，同样 。两个条件指向同一数列。于是 ；，故 。 【母题溯源】对应例题 2：结构不良的实质仍是“先求通项，再裂项”，条件不同不影响工具选择。 B6　　【答案】(1) (1,2)、(1,6)、(5,6)；(2) 证明见解析 【解析】(1) 公差不为零时，四个数构成等差数列等价于它们的下标成等差数列。 时共 6 项，删去两项后剩下四个下标必须成等差，只有 {1,2,3,4}、{2,3,4,5}、{3,4,5,6} 三种四元等差子集，对应删去 (5,6)、(1,6)、(1,2)。 (2) 删去 与 后，剩下的下标为 ，共 个。按下标分组： {1,4,7,10}, {3,6,9,12}, {5,8,11,14}, 这三组每组四个下标成公差为 3 的等差数列；其余下标 依次连续，自 15 起每四个一组： 每组四个下标成公差为 1 的等差数列（ 时这一段为空）。前 3 组加上后面的 组恰为 组，且用尽了全部 项，故该数列是 (2,13)-可分数列。 【母题溯源】对应例题 1：把“分组”从数值搬到下标上——分组题的共同动作都是“先找分组规则，再验证不重不漏”。 B7　　【答案】(1) 证明见解析；(2) 【解析】(1) 由 得 ，又 ，故 是首项为 2、公比为 3 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，即 。于是 。 【母题溯源】对应例题 1（分组）：先用“构造等比”求出通项（微专题 11 的主题），再把通项拆成等比块与常数块分别求和。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $