微专题7 平面向量数量积的范围与最值问题 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元3 平面向量及其应用 高中数学二轮复习专题讲义 07微专题7平面向量数量积 的范围与最值问题  数量积的范围与最值，只有一件事在变：动点走了，投影跟着变。二轮不做定义复述，只练三条通路——能用投影就别建系，能建系就把范围交给三角函数，图形拆不开就分解到公共起点，再用夹角收口。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确全国卷把数量积考到哪一步；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读三道母题，独立完成三道变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。范围题的失分几乎全在“开闭区间”和“取等点不在轨迹上”，训练时把这两处写成检查清单。 ▶ 一、考情与命题趋势 数量积在全国卷里是“小题必有一题”的稳定考点：近五年的真题把落点放在坐标运算、垂直与模上，一步数量积就能收口；真正把动点、圆弧与区域结合起来考范围与最值的，是新高考卷的地方形态与各地模拟卷。命题的两个走向很清楚——轨迹从线段扩展到圆弧和封闭区域，问法从“求定值”升级为“求范围，并说清在哪里取到”。 表内只收本讲三个模型真正派上用场的题。2022 年新高考Ⅱ卷第 4 题（由两对向量夹角相等求参数）已由先交付的微专题 8 收进考情表，本讲不再列它，只在结论一里沿用它的夹角公式动作；变式 3-1 的“圆上动点加定弦”形态与微专题 8 的极化恒等式同源，本讲只用共起点分解与垂径定理，中线形式一律留给微专题 8，两边不重复。2026 年全国Ⅰ卷第 2 题（ 定系数）考平面向量基本定理与共线判断，归微专题 6，不进本表；2025 年全国Ⅱ卷第 12 题只到“垂直求模”这一步，作为坐标化的最小动作，在本讲只出现在结论二与训练 A3 的第一步里。例题 1 的原型是 2020 年新高考Ⅰ卷第 7 题（边长为 2 的正六边形内动点求 的范围），例题 2 的多选形态与 2021 年新高考Ⅰ卷第 10 题同源，两题都超出近五年收录窗口，只在此说明线索，不列进表。变式 3-1 的原型是 2023 年全国卷（理）的“圆的切线与割线求 最大值”，各资料标注的卷别与题号不一致，本讲按同构改编使用，不冒用题号。三角函数的最值归微专题 1、4，解三角形中的范围归微专题 5，极化恒等式单独成讲（微专题 8）。 表 1: 平面向量数量积考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 全国Ⅱ卷 12 坐标表示与 ，列方程求 （建系后的最小动作） 2024 新课标Ⅰ卷 3 用数量积表示两向量垂直，坐标运算一步收口 2023 新课标Ⅰ卷 3 ：数量积展开后定参数关系 三条命题线索。其一，真题给的是“定值外壳”，模型要自己加：表内三题都不超过两步，但它们用的正是本讲三条通路的起点——投影、坐标、夹角定义；范围与最值是同一套动作把“定点”换成“动点”。其二，多选题是数量积的高危形态：选项常把“取值范围”“最大值”“取最大值时的点坐标”三件事混排，一个判断错位就整题丢分，本讲的例题 2 与训练 B4 专门按这个结构训练。其三，动点轨迹越给越野：从线段上的动点（训练 A2、B3）到圆弧（例题 3、B6），再到封闭区域（例题 1、B2、B5），轨迹一换，定义域就换，范围右端点随之改变——这是本讲最容易被忽略的一步。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺定义。先用一张表把三个模型的“题面长相”和“第一动作”对齐，再给三条直接服务题型的结论清单。 表 2: 数量积范围与最值问题三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 投影与夹角 一个向量固定（方向、模都定），另一个向量的终点在图形内或图形上动，问数量积的范围 写成“定向量的模 动向量在它方向上的投影”，只追投影的变化区间 例题 1、变式 1-1 二 · 建系坐标化 有现成的垂直边，或图形本身就是正方形、矩形、圆（弧），动点轨迹写得出来 建系设角（或设参），数量积化成一个三角函数或二次函数，按轨迹定定义域求最值 例题 2、变式 2-1 三 · 基底与几何意义 出现圆（切线、割线、弦的中点）、扇形，或多条向量共起点，建系不省力 分解到公共起点（圆心、中点），把剩下的部分交给模与夹角，再换元求范围 例题 3、变式 3-1 结论一 · 投影是把范围题降成一维题 ，其中 就是 在 方向上的投影。投影是带符号的数：夹角为钝角时投影为负，不是长度。于是只要定向量 不变，数量积的范围就等价于动点在某一条直线方向上的投影区间——正多边形、矩形、三角形区域内的动点题，第一动作都是找这条“投影线”的两个极端位置。配套两个不等式：，等号当且仅当两向量共线； 在 方向上的投影等于 。 结论二 · 设角还是设参，看轨迹长什么样 圆或圆弧上的动点：设 ，数量积必化为 形，用辅助角公式，再按 的实际区间取值；换元 时 ，且 。线段或区域上的动点：设参数（如 ，），数量积化为 的二次函数，用闭区间最值。两条路都要在换元后同步改定义域：轨迹从整圆收缩到四分之一圆弧， 的区间就跟着收缩，范围端点也变。 结论三 · 三个常用分解，先写哪一条再看下一步 共起点：，其中 取圆心、中点或公共顶点，展开后只剩 、 与一个定向量的数量积、以及一个常数。弦的中点：，所以 ， 落在以 为直径的圆上，。切线：，且 。中线形式的数量积（ 与中线长）另有一套，见微专题 8。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，全篇统一按四步展开：认模型 → 选工具 → 核心推演 → 回检定界。第四步“回检定界”专管三件事——动点能不能取到边界（开还是闭）、等号对应的点是否真在轨迹上、范围与最值点是否各说清了一次。 （一）题型一：一个向量在动，投影怎么动 题型识别。题面里只有一条向量在动，且动向量的终点被关在一个规则图形（正多边形、矩形、三角形）内或边上；另一条向量方向、模都不变。看到“ 型”“ 是图形内一点”这类字样，先想投影。 通法模型。三步：① 定住不变的那条向量，把它当作“参照方向”；② 数量积写成“参照向量的模 动向量在其方向上的有向投影”；③ 把动点在图形内运动时投影的最大、最小位置找出来（通常落在顶点或边界垂足上），按是否含边界写开闭。若图形不规则、投影端点不易直接看出，再退回到“建系读横坐标”这条路——它只是把投影变成看得见的数。 例题 1（题型一·正六边形内的动点） 已知 是边长为 2 的正六边形 内（不含边界）的一点，则 的取值范围是（　　） A．(−2,6)　　B．(−6,2)　　C．(−2,4)　　D．(−4,6) 图 1: 投影随 左右移动的变化区间 解析 第 1 步 · 认模型： 方向与模都不变，只有 的终点 在六边形里跑，是标准的投影模型。题目要的是范围，不是某个位置的值，所以目标是“投影的区间”，而不是“数量积的算法”。 第 2 步 · 选工具：用 ，其中 就是 在 方向上的投影。这里 是常数，所以全部问题压成一句话： 在六边形内部运动时，它在 方向上的投影能取到哪些值。 第 3 步 · 核心推演：以 为原点、 所在直线为 轴建系（这一步只是把投影变成看得见的横坐标，几何意义没有变）。边长为 2、内角为 的正六边形各顶点坐标为 横坐标最小的是 （−1），最大的是 （3）。六边形是凸图形，内部点的横坐标恰好取遍两端之间的一切值，所以 ，于是 选 A。 第 4 步 · 回检定界： 不含边界，所以 取不到 −1 与 3，区间是开的——这正是选 B、D 那两个把端点弄反或把 −1 读成 −2 的错处。回代检验两处：当 落在线段 上时 ，数量积为 0，与 一致；当 趋近 时 ，数量积趋近 4，落在区间内。 方法点睛 · 只追一个数 投影模型的省力之处在于：整个过程只有一个数在变。定住参照向量，把动点的极端位置（最左、最右的两个顶点）找出来，范围就出来了，模长最后再乘上去。写成 时别忘了乘：题目问的是数量积，不是横坐标。 变式 1-1（题型一·单位向量与夹角） 已知平面向量 满足 ，。若向量 满足 ，求 的取值范围。 解析 第 1 步 · 认模型： 只限制模长、方向任意， 是一个完全确定的向量。这是“定向量 动向量”的最干净形态：数量积只由夹角决定。 第 2 步 · 选工具：优先用夹角定义 ；再用 的参数化作第二解，两条路互为检验。 第 3 步 · 核心推演：先求那个定向量的模： 所以 。设 与 的夹角为 ，则 第二解（参数化）：取 ，，则 ；设 ，得 两解一致。 第 4 步 · 回检定界： 可以是任意单位向量，方向能取遍一周，所以 能取到 0 与 ，两个端点都能取到——范围是闭区间 [−1,1]，不是 (−1,1)。取等位置写清楚：同向时取 1，反向时取 −1。 易错微警 · 端点能不能取到，看动向量能不能转满 把 读成“ 方向受限”，就会漏掉端点；反过来，若题面把 限制在某条线段或某个扇形内， 的区间一收缩，端点立刻取不到。写完范围必须回问一句：取等时 朝哪儿，那个方向题目允许吗。 （二）题型二：建系之后，范围交给三角函数 题型识别。题面自带垂直关系，或有现成的圆（弧）、正方形、矩形，动点在圆上、弧上、边上或区域里；数量积的两条向量都以动点为端点。这类题“脑内搭不出”投影线，但坐标一写就机械化。 通法模型。四步：① 用图形里现成的垂直边或圆心建系；② 按轨迹设元——圆（弧）上设角，线段与区域上设参；③ 把数量积展开成单一变量的函数（三角式用辅助角，二次式配方）；④ 由轨迹定定义域，再求最值与范围，多选题则逐项回代取等位置。 例题 2（题型二·圆上动点与数量积，多选） 在平面直角坐标系中，，，点 是圆 上的动点，则（　　） A． 的最大值为 4 B． 取得最大值时，点 的坐标为 (1,1) C．满足 的点 恰有 2 个 D． 的取值范围是 [0,4] 图 2: 数量积取最大值与最小值的两个位置 解析 第 1 步 · 认模型：、 共起点 ， 的轨迹是完整圆，两个定点 、 都在圆内（），既没有现成的垂线可搭投影，也不会出现零向量退化——这是建系设角的典型条件。 第 2 步 · 选工具：设 ，。展开后数量积只含 ，用辅助角压成一个正弦型；轨迹是整圆，所以 的区间取满 。 第 3 步 · 核心推演： 令 ，得 逐项判定。A、D：最大值 4、范围 [0,4]，与上式一致，✓、✓。B：取最大值需要 ，即 ，，此时 ；而 (1,1) 对应 ，代回去数量积为 0，那是最小值点，故 B 错。C：数量积等于 2 即 ，， 或 ，对应 与 ，恰两个点，✓。故选 ACD。 第 4 步 · 回检定界：两个最值点各唯一：最大值 （、，数量积 2+2=4，与答案一致）；最小值 （、，两向量垂直，数量积为 0）。 永远不与 、 重合，所以不会出现“零向量把范围打穿”的意外。多选的做法是把每个选项当成独立小题，算到底再放过。 方法点睛 · 范围与取等点要分开算 建系设角之后，先算出 的区间得到范围（管 A、D 这类选项），再单独解一次 得到取等时的 与点坐标（管 B 这类选项）。只算范围不算位置，多选题就永远缺一半判断。 变式 2-1（题型二·正方形里的动点与两问） 在正方形 中，，点 满足下列条件，分别求 的取值范围。 (1) 在边 上（含端点）； (2) 在正方形内部或边上。 解析 第 1 步 · 认模型：同一组向量 、，只把动点轨迹由线段换成整个正方形——建系模型的标准两问，比的是定义域。 第 2 步 · 选工具：以 为原点、 为 轴、 为 轴建系，则 、、、。第 (1) 问设 ，，得二次函数；第 (2) 问设 ，，，得两项独立的可配方表达式。 第 3 步 · 核心推演：(1) ，， ，，所以数量积 ∈[3,4]：最小值 3 在 （ 为 中点）取到，最大值 4 在 或 （ 与 、 重合）取到。 (2) ，， 两个平方项各自独立，最小值在 、（ 为 中点）取到，为 −1；最大值让两个平方项同时最大，取 、 或 （即 与 、 重合），为 4+1−1=4。所以范围是 [−1,4]。 第 4 步 · 回检定界：两问都含边界，故全用闭区间。检验：(1) 中 时 ，，数量积 4 ✓ ；(2) 中 为 中点时 ，，数量积 −1 ✓ 。两问答案不同，差距全在第 (2) 问允许 从 2 缩到 0，把最小值从 3 拉到 −1——同一表达式，轨迹不同则范围不同。 方法点睛 · 两项独立就别设角 里两个变量互不牵连，直接各自取最值即可，不需要把 参数化后讨论。判断依据：数量积展开后若不成交叉项 ，就是“分头取最值”的题；一旦冒出 ，才考虑换成一个参数或用基本不等式。 （三）题型三：拆到公共起点，剩下的交给夹角 题型识别。图形里有圆（切线、割线、弦的中点）、扇形，或者多条向量共起点；建系要算的东西比几何关系还多。题干常出现“ 为中点”“ 与圆相切”“圆弧上一动点”。 通法模型。① 选一个公共起点 （圆心、中点、公共顶点），把所有动向量都写成 的形式；② 展开， 若为定长（ 在圆或弧上），剩下的就只有 与一个定向量的数量积；③ 把这部分写成 ，范围由夹角区间决定；④ 回检夹角能否取到 0 与 。 例题 3（题型三·扇形弧上的动点） 在 中，，。以 为圆心、1 为半径作圆，分别交 、 于 、，点 是圆弧 （含端点）上的动点，求 的取值范围。 图 3: 圆弧 MN 的中点恰是 AB 的中点 解析 第 1 步 · 认模型：、 共起点 ，而 到 、、 的距离全是定值（2,2,1）， 与 的夹角也定。这是“共起点分解”的招牌结构： 就是那个公共点。 第 2 步 · 选工具：写 、 展开。展开后出现 ，用平行四边形把它换成中点向量 （ 为 中点），最后只剩 与 的夹角在变。 第 3 步 · 核心推演：先备齐三个定值：； ，所以 ，且 是 的平分线方向。于是 设 与 的夹角为 。 在圆弧 上，，而 与 的夹角是 ，故 第二解（建系校验）：以 为原点、 方向为 轴，则 、、，， 与分解法完全一致。 第 4 步 · 回检定界：最小值 −3 在 时取到，此时 落在弧 的中点，也就是 的中点 （因 ， 恰在圆上）： 与 反向，，数量积 −3 ✓ 。最大值 −2 在 时取到，即 与 或 重合（题目含端点，故可取）。全程为负，是因为 始终是钝角。 方法点睛 · 先找那个到三点等距的点 题型三的关键不在展开技巧，而在选对公共起点：找“到动点和两个定点距离都是定值”的那个点——圆上的题选圆心，有弦中点的题选中点，共顶点的三角形选顶点。起点选对，展开后只剩一个夹角在变；起点选错，就会算出一堆带参数的二次式。 变式 3-1（题型三·圆的切线与割线） 已知 的半径为 1，直线 与 相切于点 ，直线 与 交于 、 两点， 为 的中点。若 ，求 的最大值。 图 4: 切线定长与弦中点垂径的位置关系 解析 第 1 步 · 认模型： 是定点（ 定长）， 由切线唯一确定到“两个对称位置”， 随割线转动——真正在动的是割线的方向。 是弦的中点，垂径定理给出 ，这是把 锁在某个圆上的钥匙。 第 2 步 · 选工具：把数量积写成模与夹角的乘积：先算 （勾股），再设 表示割线位置，用 与 把数量积化成 的函数。 第 3 步 · 核心推演：由 ， 且 ，故 。又 ，在直角三角形 中 ——上界由垂径卡住：直角三角形 中 ，故 ， 时割线退化为切线。于是 或 ，取同侧使数量积最大： 当 ，即 时取最大值 第二解（建系校验）：以 为原点、 为 轴，，； 在以 为直径的圆上，设 ，展开得 ，当 时取到同一最大值，最大值 。 第 4 步 · 回检定界： 落在 内，割线确实存在，故最大值取到；此时数量积为正，说明 为锐角，与图形一致。再核两处端点：（割线过圆心， 与 重合）时；（割线退化为切线）时数量积也是 1。两处都小于，与“最值在区间内部取到”一致。 易错微警 · 割线的活动范围要自己划 不是随便取： 必须在圆内，所以 的上界由“割线变成切线”卡死。若不写 ，直接对 取 1，一旦最值点落在区间外就会给出错误答案。换元之后先写定义域，再动辅助角——这是范围题的统一动作。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“投影读成长度”“换元不改定义域”“开闭区间不分”三处，合成一张表。 表 3: 高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 把“ 在 方向上的投影”当成长度，范围只写非负部分 不清楚投影是带符号的数，钝角时为负 投影 ，先判夹角范围，再定投影正负 在圆弧或线段上运动，却把 直接按 取值 换元后没有同步收缩定义域，用了整圆的区间 先由轨迹写出 （或参数）的真实区间，再求函数在该区间上的最值 “图形内一点”写成闭区间，或把取不到的端点写进答案 没区分动点能否落在边界上 题干写“内” 开区间，写“内或边上” 闭区间；取等点逐个回图形检验 求出范围就收笔，多选题里“取最大值时的点坐标”照样失分 只算了范围，没解取等位置 范围与取等点分两次计算：先定区间，再回解 或 分解 时写成 ，结果差一个符号 向量加法首尾顺序混乱 一律按“起点 → 终点”拆：，拆完用特殊位置代入检验 把 当成 ，约去 数量积不满足消去律 移项得 ，只能说明 与 垂直 动笔前的四句自查 哪一条向量在动，它的终点被关在哪条轨迹上？能不能只追一个投影，不必建系？换元后的定义域写下来了吗？取等的点真的落在图形里、开闭区间对不对？四句都答得上，再往框里写答案。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与三个模型一一对应：A 组 6 题练基本动作，B 组 7 题练迁移与综合，其中 B4 为多选题，B6、B7 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 表 4: 课后分层训练题型分布 层级 题号 对应模型 训练目标 基础巩固 A1、A3、A6 模型一 投影与夹角 一步投影或一步夹角定义，先固化“只追一个数” 基础巩固 A2、A4、A5 模型二 建系坐标化 线段与圆上动点建系，A4 兼考概念判断（多选） 能力迁移 B1、B2、B3、B5 模型二、三混合 区域与线段轨迹上的范围，含配方与定义域收缩 综合提高 B4、B6、B7 模型二、三 圆弧范围与取等点（B4 多选、B6 与 B4 同式对比）、共起点分解 （一）基础巩固（A 组） A1 已知 ， 与单位向量 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 ______， ______。 A2 在正方形 中，， 为边 的中点，点 在边 上（含端点）运动，则 的取值范围是（　　） A．[−1,3]　　B．[1,3]　　C．[−1,1]　　D．[0,4] A3 已知平面向量 满足 ，， 与 的夹角为 ，求 与 。 A4 （多选）设 均为非零向量，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 与 的夹角为锐角 B． C． 在 方向上的投影向量的长度为 D．若 ，则 A5 已知 ，，点 在圆 上运动，则 ______。 A6 在等腰直角三角形 中，，，点 是斜边 上的动点（含端点），则 的取值范围是 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 在等边三角形 中，，点 是其外接圆上的动点，求 的取值范围。 B2 在矩形 中，，，点 是矩形内部或边上的任一点，求 的取值范围。 B3 已知 ，，点 在线段 上运动（含端点）。 (1) 求 的取值范围； (2) 求 的取值范围。 B4 （多选）在平面直角坐标系中，，，点 是圆 上的动点，则（　　） A． 的最小值为 1 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D．存在点 使得 B5 在平行四边形 中，，，，点 是平行四边形内部或边上的任一点，求 的取值范围。 B6 已知 ，，点 在以 为圆心、1 为半径且位于 内部的圆弧上运动。设 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的取值范围。 B7 已知 是单位向量，，向量 满足 ，求 的取值范围。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】1；1 【解析】投影是带符号的数：。数量积 。两者在这里数值相同，因为参照向量 是单位向量；若 ，就要把投影再乘上 。 【母题溯源】对应例题 1：投影模型的两个零件——投影与参照向量的模。 A2【答案】A 【解析】以 为原点，、 为坐标轴，则 、、、。设 ，， （ 与 重合）时取最小值 −1，（ 与 重合）时取最大值 3。含端点故用闭区间。故选 A。 【母题溯源】对应变式 2-1：线段上设参，数量积化为一次或二次函数后按 的区间取值。 A3【答案】； 【解析】。先平方再开方： 故 。这类题一律“先平方、后代数量积、再开方”，不要试图先求坐标。 【母题溯源】对应知识与方法必备结论一：数量积与模的互相翻译。 A4【答案】BC 【解析】A 错： 时夹角可能是 （同向共线），而 不是锐角。B 对：，等号当且仅当两向量共线。C 对：投影向量的长度即 ，注意这里取绝对值是“长度”，而“投影”本身可正可负。D 错：数量积没有消去律， 只说明 与 垂直。故选 BC。 【母题溯源】对应例题 2 的多选结构：每个选项单独判断，概念类选项抓“取等条件”和“符号”。 A5【答案】3 【解析】设 ，， 数量积与 的位置无关，是定值。几何解释：， 是 的中点，这正是共起点分解给出的“定值信号”。 【母题溯源】对应例题 3：把动点向量分解到中点（圆心），定值立刻现形。 A6【答案】[0,4] 【解析】以 为原点、、 为坐标轴，、。设 在 上，，， 几何含义更清楚： 是定向量（模 2）， 在它方向上的投影从 2（）连续变到 0（），所以数量积从 4 变到 0。 【母题溯源】对应例题 1：投影线两端卡在图形顶点上，模长最后乘。 （二）B 组 B1【答案】 【解析】设外心为 ，等边三角形边长为 2，外接圆半径 ， 中点为 ，则 ，且 以 为公共起点分解（ 为定值）： 绕整圆一周， 的方向可以任意，故 ，于是 检验： 时 ，正是最大值； 在 的对径点时取 。 【母题溯源】对应例题 3：共起点选中点或外心，展开后只剩一个夹角在动。 B2【答案】 【解析】以 为原点， 为 轴、 为 轴，则 。设 ，，， 圆心 恰是矩形中心，在区域内，故最小值 取到；最大值在离该点最远的顶点处，四个顶点到 的距离平方都是 ，故最大值为 0（几何上即 落在以 为直径的圆上，）。范围 。 【母题溯源】对应变式 2-1(2)：区域上的动点，配方后两个平方项分头取最值。 B3【答案】(1) [−1,1]；(2) 【解析】以 为原点，、，设 ，。 (1) ，， (2) ，， 最小值在 （ 为 中点）取到，最大值在两端点取到（此时 或 为零向量）。 【母题溯源】对应例题 1 与变式 2-1：定向量配投影，动点参数化后走闭区间二次函数。 B4【答案】ABC 【解析】设 。 A：，圆半径 1，所以 ，当 为 与圆的交点 (1,0) 时取等，✓。 B、C： 故范围 ，最小、最大值分别是 与 ，B、C 都✓。 D：数量积的最小值是 ，约 −1.83，而 −3 落在取值范围之外，故 D 错。 综上选 ABC。另可对照 B6：把轨迹从整圆换成四分之一圆弧，右端点就由 变成 −1。 【母题溯源】对应例题 2：范围与最值一句话，选项里的数值要逐项算到底。 B5【答案】[0,5] 【解析】以 为原点、 为 轴，则 、、。，只要求 在平行四边形内（含边界）时横坐标的范围。横坐标最小处在边 上（），最大处在边 上（），且凸图形内横坐标取遍中间所有值，故 ，数量积 ∈[0,5]。 【母题溯源】对应例题 1：正多边形换成平行四边形，仍是“追投影 定模”的两步。 B6【答案】(1) ；(2) 【解析】以 为原点、、 为坐标轴，、，设 ，（圆弧只在 内部，这一句就是定义域）。 (1) 由 得 ，， ，正弦最大为 1（），故 的最大值为 。 (2) ，， 时 ，故数量积 。 与 B4 对照：表达式一模一样，只因为轨迹从整圆收缩到四分之一圆弧， 取不到 −1，右端点从 变成 −1。这就是“换元后必须同步改定义域”的实证。 【母题溯源】对应变式 2-1 与例题 2：同一函数、不同轨迹，定义域决定范围。 B7【答案】[−1,1] 【解析】先备三个定值： 即 与 垂直，且 。设 ，条件 就是 ，于是 可以是任意模为 1 的向量，故 ，两端分别在与 同向、反向时取到。范围 [−1,1]。 【母题溯源】对应例题 3 与变式 1-1：把动向量拆成“定点 + 单位向量”，垂直的那一段直接归零，剩下的只看夹角。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $