微专题14 非线性回归问题 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第3章 · 概率与统计 · 大单元6 统计与统计案例 高中数学二轮复习专题讲义 14微专题14非线性回归问题  非线性回归只考一件事：能不能把弯的变成直的。三步固定——看散点定模型、换元后做线性回归、算完再还原回原尺度。凡取对数或换元后能拉成直线的都归这一讲；还原时漏取指数、把回归直线错当成过 ，是本讲两大失分点。 怎么用这本讲义：先读考情，看清真题怎样把非线性与线性放在一起比较；再照速查表对号入座，按四步流程精读例题、独立完成变式；最后限时做课后训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 回归问题是新高考统计部分的稳定考点，命题重心已从“会给公式算 ”转向“会给散点选模型”：全国卷近五年把“选模型、比拟合、作预测、判合理性”拆进解答大题的后续小问，上海、天津等地方卷则把指数型与一次回归方程同时给出，要求用样本中心定参数、用预测误差判优劣——这正是本讲题型三的原型。 表内只收“两个变量的相关关系与回归方程”类真题：2026 年上海卷第 17 题的模型比较作为本讲例题 3；2022 年全国乙卷第 19 题的“近似成正比”作为训练题 B3 的同构素材；2025 年上海卷第 17 题与 2024—2026 年沪、津几道小题考的是回归直线过样本中心与相关系数的含义，本讲只把它们写进结论清单与易错警示，不再重复讲解。频率分布直方图、百分位数与方差类真题归微专题 13，本表不收。 表 1: 非线性回归与回归方程考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 上海卷 17 颗粒物密度监测：散点选型、相关系数区间判断、指数模型与一次模型的预测误差比较 2026 天津卷 3 由 与 判断相关方向与预测含义（选择） 2025 上海卷 17 已知回归直线斜率与年份平均数，用样本中心求 并预测 2028 年成绩 2025 天津卷 5 相关系数绝对值与线性相关强弱的表述（选择） 2022 全国乙卷 19 横截面积与材积量：求相关系数，用“近似成正比”估计总量（解答） 三条命题线索。其一，模型选择前置化：题目先问“应选散点图、茎叶图还是扇形图”“散点落在哪条曲线附近”，把认模型作为第一问，本讲每个题型的第 1 步都练这件事。其二，非线性与线性同题对照：2026 年上海卷把 与 放在同一问里比较，考的不是计算而是“谁能用、谁算出负数”——一次模型外推出现负浓度，直接判不合格。其三，回归直线过样本中心是跨模型的通用工具：换元后 必过 ，题目常反过来用它补一个未知参数。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不再复述“什么是相关关系”，只留两样东西：一张能把题面翻译成模型的速查表，三条直接进考场的结论。 表 2: 非线性回归四模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 指数型 取对数后成直线； 随 等比变化， 越来越陡、 趋近 0 令 ，对 回归，还原 例题 1、变式 2-1 二 · 幂函数型 双对数坐标下成直线；增长速率单调变化但无水平渐近线 令 、，对 回归 变式 1-1、B2 三 · 对数型 上凸： 越大增加越慢，始终正增长、无水平渐近线 令 ，对 回归 例题 2 四 · 反比例与根式型 、 随 增大迅速趋近某个水平值（下限 ），或先陡后缓且过 令 或 ，对 回归 例题 3、变式 3-1 结论一 · 换元后中心点跟着换 线性化之后，回归方程过的是变换后的样本中心： 型过 ， 与 型过 ，绝不是原来的 。只给 、 又要补参数时，先确认补的是哪个中心——误代 是本讲最贵的一步错。 结论二 · 预测、反解与拟合效果的比较 预测：先把 换成 （、、），代入线性方程算 ，最后还原成 ；反解：先在对数尺度上解 再还原成 ， 时不等号方向要随 改变。比较两个模型用 ，分子分母必须是原始 尺度的量——同一组数据的 是定值，故比 等价于比残差平方和；更快的通行证是把两个模型都代到最近一年的实测值上，看谁的误差小、谁的预测值违反实际意义。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定变换 → 核心推演 → 回检还原。第四步“回检还原”专管三件事——参数有没有还原回原尺度、预测值是否落在实际允许的范围内、换元后的中心点有没有代对。 （一）题型一：指数型与幂函数型的线性化 题型识别。题干出现“ 随 增长越来越快”或“越来越慢并趋近某一常数”，或直接给出候选模型 、 并附一列 的换算值。 通法模型。两条路按“要不要同时对 换元”区分：① 指数型 只对 取对数，得 ，把 当因变量对 回归；② 幂函数型 两边取对数得 ，必须 、 双向换元成 。两式的截距都不是 ，而是 ，还原时统一取指数。 例题 1（题型一·指数增长） 某医药研究室测定新药在实验动物体内的血药浓度 （单位：）与给药后时间 （单位：）的关系，测得 5 组数据： 依次为 1，2，3，4，5； 依次为 3.00，4.95，6.05，9.03，16.44。散点显示 随 增长且增长越来越快。令 ，得 依次为 1.10，1.60，1.80，2.20，2.80，且已算得 ，，，。 (1) 用指数模型 ，求 关于 的经验回归方程； (2) 预测给药后 的血药浓度； (3) 若实验要求血药浓度达到 才有效，估计最早需要多长时间。 图 1: 血药浓度散点与指数拟合曲线 解析 第 1 步 · 认模型：散点“越来越陡”且题目指定 ，说明对数尺度下是直线； 的换算值与两个求和量都已给全，动笔目标就是把 当一元线性回归处理。 第 2 步 · 定变换：两边取自然对数得 ，即 。只有 侧换元，故用 与 ，不是 与 。 第 3 步 · 核心推演：由最小二乘公式得 ，，故 ；还原 ，得 。 第 4 步 · 回检还原：(2) 代入 ：，，即约 。检验： 时模型给 ，与实测 16.44 同量级，且 仍保持等比增长趋势。 (3) 要求 ，在对数尺度上即 ，故 ，，即最早约在 达到有效浓度。这里 ，不等号方向不变。 方法点睛 · 指数型的截距不是 a 是 而不是 ，。写成 便于查初始量： 时 正是曲线起始高度。反解前先确认 的符号。 变式 1-1（题型一·幂函数与弹性） 某电商公司统计某商品月广告投入 （单位：万元）与月销售额 （单位：万元）的数据： 依次为 1，2，3，4； 依次为 4.95，8.17，12.18，14.88。经验模型取 。令 、，得 依次为 0.00，0.69，1.10，1.39， 依次为 1.60，2.10，2.50，2.70，且 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测广告投入 6 万元时的月销售额，并判断“投入翻倍、销售额也翻倍”是否成立。 解析 第 1 步 · 认模型：散点持续上升但“越来越缓”，题目给的是幂函数 ；与例题 1 的区别是 也在对数里，必须双向换元。 第 2 步 · 定变换：两边取对数，，即 ，其中 、。题目给的求和量正好是 的，直接套用。 第 3 步 · 核心推演：，，于是 ，还原得 。 第 4 步 · 回检还原：(2) 时 ，， 万元；用还原式核对 ，两法一致。 判断翻倍： 是“递减弹性”——投入变 倍，销售额只变 倍；取 ，，即约增长 ，故“投入翻倍、销售额也翻倍”不成立。 易错微警 · 幂函数型要两边同时取对数 只对 取对数化不出直线： 右边仍有 。双向换元时 、 都要用换元后的值重算， 在这一步毫无用处。 还有含义： 规模递增， 边际递减。 （二）题型二：回归方程的预测与反解 题型识别。给出候选模型并要求“预测某值”或“达到目标至少需要多少投入/时间”。反解问把回归与不等式串起来，近年占比明显上升。 通法模型。① 预测：，顺序不能颠倒；② 反解：把目标值代到方程右边，在对数尺度上解出 再还原成 ；③ 对数型 只换 不换 ，预测与反解都不必取指数，这是它与指数型的最大区别。 例题 2（题型二·对数型的预测与反解） 某企业统计研发年投入 （单位：百万元）与年利润 （单位：百万元）的数据： 依次为 2，3，4，5，6； 依次为 3.10，3.80，4.50，4.70，5.20。散点呈“始终上升但越来越缓”的形态，取模型 。令 ，得 依次为 0.69，1.10，1.39，1.61，1.79，且 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测投入 8 百万元时的年利润（）； (3) 若目标是年利润不低于 6.00 百万元，研发投入至少为多少（精确到 0.1 百万元）。 解析 第 1 步 · 认模型：“一直涨、涨得越来越慢、但没有水平渐近线”是对数型的招牌；若散点贴着水平线收敛，则应怀疑反比例或指数衰减型。题目已指定模型，只需在 尺度上做一次线性回归。 第 2 步 · 定变换：令 ，模型变成 ； 不换元，故求和量是 ，中心点是 。 第 3 步 · 核心推演：，，故 。 第 4 步 · 回检还原：(2) 时 百万元。检验： 时模型给 ，与实测 5.20 只差 0.04，趋势合理。 (3) 要求 ：，故 ，，即研发投入至少约 9.4 百万元。检验： 时 ，，与 6.00 相符，取等成立。 方法点睛 · 反解只做两次翻译 反解只有两句：把“ 不低于 ”翻译成关于 的一次不等式，解出 ；再把 翻译回 （、、 按模型选）。别对原式两边取对数—— 里有加号，越化越乱。 变式 2-1（题型二·指数衰减与达标时间） 某品牌电动汽车电池长期使用后容量衰减，测得使用 （单位：年）与可用容量 （单位：）的 5 组数据： 依次为 0，1，2，3，4； 依次为 99.5，79.8，67.4，54.1，44.7。取模型 ，令 ，得 依次为 4.60，4.38，4.21，3.99，3.80，且 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测使用满 6 年时的可用容量； (3) 厂家建议在容量降到 以下时更换电池，问大约在第几年需要更换（）。 解析 第 1 步 · 认模型：每年容量大约乘以同一系数（79.8/99.5、67.4/79.8、54.1/67.4 都在 0.8 上下），等比衰减是指数型的标志，且 。 第 2 步 · 定变换：，对 回归， 是 。 第 3 步 · 核心推演：，，故 ，。 第 4 步 · 回检还原：(2) 时 ，。检验： 时模型给 ，与实测完全吻合。 (3) 容量“降到 50 以下”即 ，两边取对数（ 与 同向）得 ，即 ，——最后一步除以 ，不等号反向。故大约在使用满 3.44 年后触发建议，即第 4 年内需要更换。 易错微警 · 除以负系数时不等号要反向 衰减型 ，从 的不等式回到 的不等式必然变号；漏变号会把“第 4 年更换”答成“前 4 年更换”。稳妥做法是解完代回：取 与 各算一次 ，看哪个跨过 50。 （三）题型三：模型选择与拟合效果评价 题型识别。同一组数据给出两个候选方程问“选哪个”，或给一个明显不合理的预测值让你说明理由；结构不良题（自选模型）也归在这里。 通法模型。三步定型：① 看散点走向（陡升／缓升／收敛到水平线／趋近某个下限），把候选缩到两个；② 在同一尺度上比 或残差平方和；③ 用最近一年的实测值做合理性检验，预测出负值、超过物理上限或违背背景的模型一律淘汰。 例题 3（题型三·指数模型与一次模型之争） 某工厂为跟踪环保改造效果，记录了 2014 年至 2022 年（共 9 年）车间空气中某颗粒物的密度 （单位：），依次为 101.02，87.02，57.46，21.85，11.76，8.86，5.03，4.63，3.86。令 ，则 依次为 0，1，2，，8，且 9 年的年份平均数为 2018。取 ，得 依次为 4.62，4.47，4.05，3.08，2.46，2.18，1.62，1.53，1.35，并已知 ，，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程，并写出 关于 的回归方程； (2) 另有一次模型 （由最小二乘法算得）。2023 年该颗粒物密度的实测值为 3.88，分别计算两个模型的预测值，判断应选用哪个模型； (3) 说明一次模型的预测值为什么不能作为结论。 图 2: 同一散点的两种模型：直线落到负半轴 解析 第 1 步 · 认模型：九个数据从 101.02 压到 3.86，降幅逐年收窄且始终在 0 上方——散点“下凸并趋近水平线”，是等比减少而非等差减少。先定方向，再算。 第 2 步 · 定变换：，用题目给的 求和量；一次模型 已经给出，不必重算。 第 3 步 · 核心推演：，，故 ，还原得 。 第 4 步 · 回检还原：(2) 2023 年对应 。指数模型：，，误差 |1.67−3.88|=2.21；一次模型：，误差 |−29.31−3.88|=33.19。指数模型误差远小且预测值为正，故选它。同一尺度上再验：9 年数据的 ，指数模型还原到 尺度的残差平方和为 724.16（），一次模型为 2268.73（），结论一致。 (3) 颗粒物密度是非负量，一次模型在 处给出 −29.31，说明它把“等比衰减”误读成“等量衰减”。直线必然穿过 轴，外推迟早出现负浓度——这不是误差问题而是模型结构错误，只能换模型，不能重拟合。 方法点睛 · 对数尺度与原始尺度的拟合优度不能互比 本题在 尺度上的 与还原到 尺度上的 0.938 都是真的，但不能与一次模型的 跨尺度互比：比较前必须把两个模型都还原到 尺度。题目只给对数尺度结果时，退一步用“预测误差 + 实际意义”这组判据，永远安全。 变式 3-1（题型三·结构不良选模型） 某车间加工一种零件，统计批量 （单位：百件）与单件成本 （单位：元）的 6 组数据： 依次为 1，2，3，4，5，6； 依次为 50.0，31.0，23.0，20.5，18.4，16.6。现有两个候选模型：① ；② 。已知 ，，，，。 若令 ，则 ，，。 从①②中选择一个作为 关于 的回归方程模型，说明理由，求出所选模型的回归方程，并预测批量为 8 百件时的单件成本（结果保留一位小数）。 解析 第 1 步 · 认模型：成本随批量下降、降幅越来越小，最后趋向一个正的常数（材料与人工费有下限）——“有水平渐近线”的形态与模型①天然匹配；模型②是直线，必穿过 轴。先选①再验证。 第 2 步 · 定变换：选①时令 ，化为 ；选②不换元。题目把两套求和量都给全，正是要用同一标准（残差平方和）比较。 第 3 步 · 核心推演：模型①： 故 。模型②： 故 。 第 4 步 · 回检还原：在 尺度上比：模型①残差平方和约 1.15，；模型②约 170.42，，故选①。代入 ： 元；若错用②得 元，单件成本为负，直线模型在 后彻底失效——这是淘汰它的第二个理由。 易错微警 · 结构不良题要写“我选它因为什么” 自选模型的题，第一句必须给依据（散点形态或 比较），不能只把两个都算出来再随便挑一个。评分点通常有三个：选型理由、正确的还原式、预测值的实际意义。 比较时两个模型的 相同，所以比残差平方和即可，不必硬算 。 ▶ 四、易错警示 本讲失分集中在两处：换元换得不彻底，还原还原得不回来。下面一张表管住这两件事。 表 3: 高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 由 直接写成 ，或把 当成 忘了还原：对数尺度的方程不是 的方程，且 还原成 ，其中 ；写完后代 检查初始量级 把回归方程代过 ，或 只对 取对数 换元不彻底：中心点已变、右边仍留着 型过 ， 与 型过 ；双向换元时两个中心点都要重算 用 尺度的 与 尺度的 比大小 的分子分母依赖尺度，跨尺度比较无意义 先把两个模型都还原到 尺度算残差平方和，或改用“实测点预测误差”判据 反解不等式时忘记变号，或用一次模型外推得到负浓度仍继续作答 时除以 必须反向；只算不查，漏掉变量的实际范围 除以 前先写符号、解完代回相邻两值验证跨越点；浓度、成本、容量等非负量一旦出现负值即判模型错误，回退换模型 动笔前的三句自查 第一句：这次换元换了几边——只换 、只换 ，还是两边都换？第二句：要用的中心点是 、 还是 ？第三句：还原回 后代 或最小的 ，量级与实测对得上吗？三句答清楚再落笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练单个动作（A1–A6，逐题对应例题 1 至例题 3 的单个核心步骤），B 组练完整流程与综合（B1–B6），其中 B4 为结构不良题，B6 涉及残差与异常点。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 两变量 ，（）的散点分布在一条过点 (1,2)、增长越来越快的曲线附近，且 的散点近似成一条直线，则最适宜作为 关于 的回归方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． A2 对一组数据作 变换后，求得 ，则 关于 的经验回归方程为 ______；当 时 ______（）。 A3 对同一组数据用甲、乙两个模型拟合，已知 ，甲模型的残差平方和为 40，乙模型的残差平方和为 250，则拟合效果较好的模型及其 为 ______。 A4 （多选）下列关于非线性回归的说法正确的是（　　） A．对 两边取自然对数，得 ，故可令 化为线性回归 B．若 与 的样本相关系数为 0.95，则 与 的样本相关系数也为 0.95 C．线性化后的经验回归方程一定经过变换后的样本中心点 D．比较两个非线性模型的拟合效果时，残差平方和应在 的原始尺度上计算 A5 变式 2-1 的电池容量模型为 （）。可用容量降到 时 ______ 年（，保留一位小数）。 A6 令 后， 关于 的经验回归方程为 。若 ，，则 关于 的回归方程为 ______，当 时 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 某池塘浮萍覆盖面积 （单位：）随时间 （单位：周）增长： 依次为 1，2，3，4，5； 依次为 3.32，5.47，8.17，13.46，20.09。令 ，得 依次为 1.20，1.70，2.10，2.60，3.00，且 ，，，。取模型 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测第 6 周的覆盖面积。 B2 某小组用单摆实验研究周期与摆长的关系：摆长 （单位：cm）依次为 20，45，80，125，180；周期 （单位：s）依次为 0.90，1.35，1.81，2.23，2.69。取模型 ，令 、，得 依次为 3.00，3.81，4.38，4.83，5.19， 依次为 −0.11，0.30，0.59，0.80，0.99，且 ，，，。 (1) 求 关于 的回归方程，并说明 的实际含义； (2) 若周期为 ，摆长应取多少厘米。 B3 某新开业门店第 （单位：周）周的线上累计订单量 （单位：百单）： 依次为 1，2，3，4，5，6； 依次为 1.2，2.5，4.7，9.8，20.5，38.9。已知 ，，，，；令 ，得 依次为 0.18，0.92，1.55，2.28，3.02，3.66，，。 (1) 分别求一次模型 与指数模型 的回归方程； (2) 把两个模型都还原到 尺度比残差平方和，判断哪个更合适，并预测第 7 周的累计订单量。 B4 （结构不良）某同学统计每天做数学练习的时间 （单位：min）与做对题数 （单位：道）： 依次为 1，4，9，16，25； 依次为 3.8，6.0，7.9，9.8，11.6。候选模型：① ；② 。已知 ，，，，；令 （依次为 1，2，3，4，5），，，。 从①②中选一个作为回归方程模型（说明理由），求出所选方程，并预测练习 时的做对题数。 B5 某河道经持续治理后污染物浓度 （单位：）随治理时间 （单位：月）下降： 依次为 0，1，2，3，4，5； 依次为 54.6，40.5，28.5，21.1，14.9，11.0。令 ，得 依次为 4.00，3.70，3.35，3.05，2.70，2.40，且 ，，，。取模型 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 治理标准要求浓度不高于 ，问至少需治理多少个月（，保留一位小数）。 B6 （难题）某实验小组研究弹簧伸长量 （单位：cm）与砝码质量 （单位：g）： 依次为 1，2，3，4，5； 依次为 2.0，3.1，4.0，15.0，5.1。已知 ，，，，。 (1) 用全部数据求 并算 ，据此判断线性关系是否良好； (2) 计算 5 个点的残差 ，指出最需要复核的一次测量； (3) 复核确认第 4 次读数录入错误，剔除 (4,15.0) 后重新回归（此时 ，，，，），求新方程、 并预测 时的伸长量。 ▶ 六、参考答案与解析 解析与题号一一对应，每题分【答案】、【解析】、【母题溯源】三段。 （一）A 组 A1【答案】C 【解析】“增长越来越快”排除 B（ 型上凸，越来越缓）与 D（ 型单调下降且趋近水平线）；“点分布在曲线附近”排除 A。“ 近似成直线”正是 的判定条件：。故选 C。 【母题溯源】对应例题 1：指数型的识别信号是“对 取对数后成直线”。 A2【答案】；44.7 【解析】，故 ，还原得 ，其中 。 时 ，。检验： 时 ，与 对应，还原无误。 【母题溯源】对应例题 1 第 4 步：先在对数尺度上算 ，再取指数还原。 A3【答案】甲模型， 【解析】同一组数据的 相同，故残差平方和小者拟合更好，甲更优。甲模型的 ，乙模型的 。注意此比较成立的前提是两个模型的 与残差都在 的原始尺度上。 【母题溯源】对应知识与方法必备结论三： 比较必须在同一尺度。 A4【答案】ACD 【解析】A 是指数型线性化的标准推导，正确。B 错误：相关系数依赖变量尺度， 与 线性相关程度高，不能推出 与 的相关系数相同，取对数会改变散点的弯曲程度。C 正确，回归直线过 或 。D 正确，跨尺度比较 无意义。故选 ACD。 【母题溯源】对应例题 3 第 4 步：残差平方和的尺度问题。 A5【答案】4.6 【解析】，由 得 。检验： 时 ，，接近 40，量级合理。这里 ，若写成不等式需变号。 【母题溯源】对应变式 2-1 第 4 步：在对数尺度上反解，再还原成 。 A6【答案】；15.0 【解析】回归直线过 ，故 ，，还原 得 。 时 。注意 是该模型的水平渐近线，即单件成本存在 10 元的下限。 【母题溯源】对应变式 3-1：反比例型用 ，且 是下限。 （二）B 组 B1【答案】；约 【解析】令 ，则 。，，故 ，，。第 6 周：，。检验：第 5 周实测 20.09，模型给 ，误差 0.4，符合增长趋势；周增长比率约 ，与实测比值 、 同量级。 【母题溯源】对应例题 1：指数型三步——取对数回归、还原 、代 预测。 B2【答案】；约 【解析】对 两边取对数得 ，即 。，，，故 。 说明周期与摆长的平方根成正比，与单摆周期公式 一致。 (2) 令 ，得 ，，即摆长约取 。检验： 时 ，实测 2.69，吻合。 【母题溯源】对应变式 1-1：幂函数型必须对 、 双向换元， 是幂指数。 B3【答案】一次模型 ，指数模型 ；指数模型更合适，第 7 周约 81 百单 【解析】(1) 一次模型：，。指数模型：，，，，故 。 (2) 都在 尺度上算残差平方和。一次模型： 依次为 −4.76，2.31，9.38，16.45，23.52，30.59，残差平方和约 179.86，，且第 1 周预测为负订单量，明显不合理。指数模型： 依次为 1.21，2.43，4.90，9.87，19.87，40.01，残差平方和约 1.68，。故选指数模型。第 7 周：，约 81 百单。 【母题溯源】对应例题 3：同尺度残差平方和比较 + 预测值的实际意义判据。 B4【答案】选①，；约 13.6 道 【解析】散点先陡后缓且无水平渐近线，符合 型；直线型在 变大后会低估增长饱和，且 很小导致预测偏离。定量验证：选①，令 ，，，；其残差平方和约 0.05，。选②，，，；其残差平方和约 1.96，。两个模型的 相同，①的残差平方和更小，故选①。 预测 ： 道。若用②则得 道，明显偏高（ 时实测仅 11.6 道）。 【母题溯源】对应变式 3-1：结构不良题先给理由（形态或 ），再算方程。 B5【答案】；约 6.0 个月 【解析】，，，故 ，。检验： 时 ，与实测 11.0 一致。 要求 ：，，两边除以 −0.32 不等号反向，，即至少需要治理约 6.0 个月。 【母题溯源】对应变式 2-1： 时反解必须变号，解完代回验证。 B6【答案】(1) ，，线性关系差；(2) 第 4 次测量 (4,15.0)；(3) ，， 时约 【解析】(1) ，。 依次为 2.22，4.03，5.84，7.65，9.46，残差平方和 。 接近 0 说明用直线描述这组数据几乎没有说服力。 (2) 各点残差 依次为 −0.22，−0.93，−1.84，7.35，−4.36；第 4 点的残差 7.35 远大于其余各点，且其余四点几乎共线，故最需要复核第 4 次读数。 (3) 剔除后 ，，。 依次为 2.22，2.98，3.74，5.26，残差平方和约 0.16，，线性关系良好。 时 。 本题提醒： 异常低时，先查残差找异常点，再决定是否剔除，而不是直接换一个非线性模型硬拟合。 【母题溯源】对应例题 3 第 4 步与易错警示：残差与合理性检验是选模型前的第一步。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $