微专题2 三角函数的实际应用问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元1 三角函数的图象与性质 ｜ 高中数学二轮复习专题讲义 02微专题2三角函数的实际应用问题  潮汐涨落、气温升降、摩天轮转动——高考把三角函数放进生活场景时，只做一件事：让你从文字里读出 四个参数。二轮的任务不是背模型，而是练熟两条翻译：文字翻译成参数，参数翻译成不等式；再把几何量写成角的函数，用正弦的有界性收口。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 三角函数的实际应用在高考中不是年年独立成题，而是“情境换壳”：把 放进潮汐、气温、振动、摩天轮，或把几何量写成角的函数。二轮要练的不是记模型，而是两条翻译：文字翻译成参数，参数翻译成不等式。 表内只收真正用到本讲模型的题。2026 年上海卷第 11 题用极值、初始值和首次到达时刻反求四个参数，收进例题 2；2023 年上海卷第 11 题的公园坡道情境与题型三同源，但核心是分式变形，本讲只取其“设角—写函数—求最值”的动作。2024、2025 年上海卷的解三角形测量归微专题 5；2022 年新高考Ⅰ卷第 6 题与纯图象变换题归微专题 1。 表 1: 三角函数实际应用考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 上海卷 11 由极值、初始值与首次到达时刻确定 2023 上海卷 11 公园坡道背景下的三角函数最值（实际情境） 三条命题线索：其一，建模题把条件藏进物理语言——极值处导数为零、初始值为零、第一次达到最大值用时多少，先翻译成最值、周期、关键点；其二，图象拟合常与数据表同考，φ 的通解必须用范围筛；其三，几何场景题把最值藏在定义域里，设角后先写 的范围，再求相位范围。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺定义，先给速查表，再给三条结论清单；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 三角函数实际应用三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 周期变化型 题面给“最高、最低、每隔 重复一次”，量围绕平均值上下摆动 定 、、，代关键点定 φ 例 1、变 1-1 二 · 图象与数据拟合 给图象、表格、极值点或对称中心，问解析式 先读最值与周期，再代点定 φ，按范围筛解 例 2、变 2-1 三 · 旋转与几何场景 摩天轮、水车、半圆内接矩形，量随角变化 设角 ，写 或 ，化 或二次型求最值 例 3、变 3-1 结论一 · 四参数确定的口诀 看中线：； 看半幅：（ 分别为最大值、最小值）。 看周期：；φ 看关键点：把最高点、最低点或平衡点代入，解出通解后按 或 筛选。四步的顺序不能倒——先有中线，才量得准振幅。 结论二 · 解实际不等式的三步 第一步，在一个周期内解标准不等式： 取 ， 取 之类的对应区间；第二步，给解集加上 ；第三步，按实际定义域（如 ）截取。端点能否取等，回读题意再定。 结论三 · 几何场景设角的三条线 选角：优先选与水平线或半径的夹角，让长度落在直角三角形里；写长：水平投影用余弦、竖直投影用正弦，宽和高别漏系数 2；化最值：，或化成 、二次型。设角后第一件事是写 的范围。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定参数 → 核心推演 → 回检作答。第四步“回检作答”专管三件事——单位是否统一、定义域是否写全、端点能否取等。 （一）题型一：周期变化型建模 题型识别。题面出现“最高”“最低”“每隔多少时间重复一次”，或者给出一天中两个时刻的量值，量的变化围绕一个平均值上下摆动。处理流程始终是：先定平衡位置与振幅，再由周期定 ，最后代一个关键点定 φ。 通法模型。第一步认模型：看量是否“有界、周期、围绕中线摆动”；第二步定参数： 取最值的平均， 取最值差的一半，；第三步核心推演：把题中的不等式化成 或 的标准区间；第四步回检作答：按实际时间范围截取解集。 例题 1（题型一·潮汐型） 某港口某日的水深 （单位：m）随时间 （单位：h）的变化近似满足 （，，）。已知该日 0 时水深最低，为 2 m；6 时水深最高，为 8 m；此后每隔 12 h 重复一次。 (1) 求 关于 的解析式； (2) 一艘货船的吃水深度为 4 m，为保证安全，船底与海底之间至少留 2.5 m 的余量。问该船在 内可安全进出港的时长。 第 1 步 · 认模型：题面出现“最低”“最高”“每隔 12 h 重复”，这是周期变化型的三件套：最值给振幅与平衡位置，重复周期给 。水深非负且有界，正适合用正弦型函数描述。 第 2 步 · 定参数：，；周期 ，故 。为什么先定 ？因为平衡位置是振动的“中线”，先有中线，振幅才是从中线量起的一半高度。 第 3 步 · 核心推演： 时取最低值，故 ，结合 得 。于是 安全条件为 ，即 ，化简得 。在一个周期 [0,12] 内，，即 。 第 4 步 · 回检作答：加上周期 12，得 。在 内取 [4,8] 与 [16,20]，每个时段 4 h，共 8 h。回检端点： 时 ，恰好达到安全水深，可以取等；故可安全进出港的时长为 8 h。 方法点睛 · 先解一个周期，再按题目的钟表截取 潮汐、气温、客流这类题，解不等式时不要一上来就写 。先在一个周期内把区间解干净，画出“一个波峰一个波谷”，再整体加周期，最后用 截取。这样既不会漏掉第二个时段，也不会把 多算一次。 变式 1-1（题型一·客流量型） 某商场一天的客流量 （单位：人）随时间 （单位：h）的变化近似满足 （，，）。已知 2 时客流量最低，为 200 人；14 时客流量最高，为 800 人。 (1) 求 关于 的解析式； (2) 若商场要求客流量不低于 650 人时增开收银通道，求该日增开通道的时段。 解析 第 1 步 · 认模型：客流量在一天内有一个低谷和一个高峰，且以 24 h 为周期重复，属于周期变化型。最低、最高分别给出 、。 第 2 步 · 定参数：，，，。最高值出现在 14 时，用它定 φ 最直接。 第 3 步 · 核心推演： 时取最大值，故 ，即 。取 得 。于是 由 得 。令 ，一个周期内 ，解得 。 第 4 步 · 回检作答：该日增开通道的时段为 10:00 至 18:00，共 8 h。回检 ：，端点取等符合“不低于”的要求； 时 ，正是题给的最低值，说明解析式的相位没有写错。 方法点睛 · 最高点定初相最快 最高点的相位是 ，最低点的相位是 ，平衡上升点是 。三个“锚点”里，最高点最好用，因为它同时给出 和 ；算完 φ 后一定用题给范围（如 ）把 定死。 （二）题型二：图象拟合与参数确定 题型识别。题面给出一段图象、一张数据表，或给出极值点、对称中心、初始值、第一次到达某值的时间，要求反求 。它和题型一的区别是：题型一的参数藏在“生活语言”里，题型二的参数藏在“图或表”里。 通法模型。第一步认模型：先判断是不是 型；第二步定参数：最值定 ，周期定 ，关键点定 φ；第三步核心推演：解出 φ 的通解，用范围筛选；第四步回检作答：把求出的解析式代回题给的点或表，验证是否吻合。 例题 2（题型二·由极值与初始值定参数） 已知函数 （，，，）。若 ，当 或 时， 关于 的导数为 0；初始时刻 ，且 第一次达到 4 时用时 0.1 s。求 的解析式。 解析 第 1 步 · 认模型：题面没有给图象，给的是“极值处导数为 0”“初始值”“第一次达到 4 用时 0.1 s”——把物理语言翻译成数学条件：导数为零的点是极值点，初始值是 的函数值，第一次达到最大值的时间给出半个周期。 第 2 步 · 定参数：当 或 时导数为 0，说明 0 与 4 是相邻的最小值与最大值，故 ，。从最低值 0 第一次到达最高值 4 用时 0.1 s，这是半个周期，故 ，，。 第 3 步 · 核心推演： 时 ，即 ，。结合 得 。于是 第 4 步 · 回检作答：回检三个条件：，符合初始值；，是第一次达到 4；，在 处均为 0，且 处确为最大值。故解析式为 。 方法点睛 · “第一次达到”是半周期的信号 从最低到最高、从最高到最低，都是半个周期；从平衡位置到最高，是四分之一周期。题面说“第一次达到”时，先判断起点在哪、终点在哪，再用“半周期或四分之一周期”列方程，比盲猜 稳得多。 变式 2-1（题型二·由图象定参数） 已知函数 （，，）的图象的最高点为 ，最低点为 。 (1) 求函数的解析式； (2) 求函数在 上的值域。 解析 第 1 步 · 认模型：最高点与最低点成对出现，先读 、，再读半个周期。图象是正弦型曲线，故设 。 第 2 步 · 定参数：，。最高点与最低点的横坐标之差是半个周期：，故 ，，。 第 3 步 · 核心推演：最高点处相位为 ，故 ，得 。由 取 。于是 。 第 4 步 · 回检作答：代最低点检验： 时，，，吻合。(2) 当 时，，故 ，。最大值为 5（），最小值为 2（）。 方法点睛 · 值域题先算相位区间 求 在给定区间上的值域，第一步不是看 ，而是把 的区间算出来；第二步在这个“相位区间”上看正弦曲线的最高、最低点是否被取到；第三步再乘 、加 。跳步直接看 ，最容易把端点值当成最值。 （三）题型三：旋转与几何场景中的三角建模 题型识别。题面出现摩天轮、水车、扇形的内接矩形、绕定点旋转的线段，要求高度、面积、距离的最值或持续时间。核心动作是设一个角，把几何量写成这个角的三角函数。 通法模型。第一步认模型：找“绕着转”的半径或“随角变”的边；第二步定参数：设角 ，用直角三角形写出水平、竖直投影；第三步核心推演：把目标化成 或二次型，求最值；第四步回检作答：先写 的实际范围，再检查端点。 例题 3（题型三·摩天轮型） 某摩天轮的最高点离地 45 m，最低点离地 5 m，摩天轮匀速转动一周用时 12 min。游客从最低点处的座舱登轮，记登轮后 min 时座舱离地高度为 m。 (1) 求 的解析式； (2) 求游客在转动一周内，座舱离地高度不低于 35 m 的持续时间； (3) 若景区希望游客在座舱离地高度不低于 35 m 时能连续观景 5 min，在最高点、最低点不变的前提下，摩天轮转动一周的时间至少应调整为多少分钟？ 图 1: 摩天轮座舱高度的几何关系 第 1 步 · 认模型：座舱高度随转角周期变化，最高 45、最低 5，转一圈 12 min。先定中线和半径，再把“从最低点登轮”翻译成 时取最低值。 第 2 步 · 定参数：圆心离地高度 ，半径 ；周期 ，。 时在最低点，故 。 第 3 步 · 核心推演：设 （）。由 得 ，即 。在一个周期 [0,12] 内，，故 ，持续 4 min。 第 4 步 · 回检作答：第 (2) 问答案为 4 min。第 (3) 问：高度不低于 35 m 的相位区间长度为 ，占整圈的 ，故持续时间为 。令 ，得 。回检： 时，持续时间为 5 min，恰好满足；周期越长转速越慢，停留时间越长。故至少调整为 15 min。 方法点睛 · 持续时间与周期成正比 在“高度不低于某值”的题目里，相位区间一旦确定，持续时间就是 。 只由高度阈值决定，与转速无关；所以“停留更久”只需“转得更慢”，把 调大即可。把这一层想通，第 (3) 问就不用重算解析式。 变式 3-1（题型三·半圆内接矩形） 某学校要在半径为 2 m 的半圆形花坛内划出一块矩形区域种植花卉，矩形的一边落在花坛的直径上，另外两个顶点在半圆弧上。设矩形的一个顶点与圆心连线和直径的夹角为 （）。 (1) 将矩形面积 表示为 的函数； (2) 求 的最大值及此时 的值。 图 2: 半圆内接矩形的角参数 解析 第 1 步 · 认模型：矩形一边在直径上，两个顶点在弧上，矩形的位置完全由连线 与直径的夹角 决定。设 与直径交于 侧，则 ，。 第 2 步 · 定参数：矩形的宽为 ，高为 。为什么宽要乘 2？因为矩形关于圆心所在竖直线对称， 只是右半边的半宽。 第 3 步 · 核心推演： 由 得 ，故 ，当 ，即 时取等号。 第 4 步 · 回检作答： 的最大值为 4 m，此时 。回检： 时，宽为 ，高为 ，面积 ，矩形确实在半圆内。 方法点睛 · 设角之后先写范围 几何最值题最常见的失分不是算错，而是漏掉 的范围。本题若只写 而不写 ，就会忘记 取不到 0 与 以外的值，最值的讨论也失去依据。设角的第一行，永远补上“ 从哪里到哪里”。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“参数定错”与“解集截错”两件事上，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（参数与单位类） 错误表现 错因 正确做法 把最高值直接当 、最低值直接当 混淆振幅与平衡位置 ，；先画中线，再量振幅 由最值点求 φ 只写一个解 忽略正弦的周期性 先写通解，再用 或 筛选 时间单位混用（h 与 min） 中 的单位未统一 先统一单位再代公式，答案注明单位 表 4: 高频错误及其纠正（解集与定义域类） 错误表现 错因 正确做法 解 只取一个区间 忘记加周期 先解一个周期，再加 ，最后按 截取 实际问题不写定义域 把数学解当成实际解 由场景写 、、 最值题漏掉 的范围 只求相位最值，不看 的限制 先定 范围，再定相位范围，最后取最值 动笔前的三句自查 单位统一了吗？定义域写了吗？解集加周期了吗？——三句都答“是”，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（读参数、定周期、解一个周期的不等式），B 组练迁移与综合，其中 B6 为压轴。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 函数 的振幅、最小正周期、最大值分别是（　　） A．3，，4　　B．3，，4 C．−3，，4　　D．3，，−2 A2 某简谐运动的位移 （单位：cm）与时间 （单位：s）满足 ，则它的振幅为 ，周期为 ， 时的位移为 。 A3 某摩天轮座舱离地高度 （单位：m， 的单位：min），则游客转到最高点时离地高度为（　　） A．5 m　　B．30 m　　C．55 m　　D．80 m A4 某港口的水深 （单位：m， 的单位：h），则一个周期内水深不低于 5 m 的时长为 h。 A5 （多选）关于函数 的实际意义，下列说法正确的是（　　） A．振幅为 2，平衡位置为 3　　B．周期为 12 C．最大值为 5　　D． 时达到最大值 A6 某弹簧振子的位移 （单位：cm， 的单位：s）。求 时的位移，以及第一次回到平衡位置的时间。 （二）能力提升（B 组） B1 已知函数 （，，，）。 的最大值为 6，最小值为 2，，且 第一次达到最大值时 。求 的解析式。 B2 （多选）已知函数 ，则（　　） A．最大值为 3　　B．最小正周期为 C．图象关于 对称　　D．在 上单调递增 B3 某地一座观星台记录了一天内四个时刻的室外温度，数据如下： 时，对应的温度 （ 的单位：h， 的单位：摄氏度）。已知温度近似满足 （，，，），且该函数的周期为 24。 (1) 求 的解析式； (2) 预测当日 22 时的气温。 B4 某筒车的半径为 3 m，轮心离水面 1.5 m，筒车匀速转动一周用时 6 min。一个盛水筒从最低点开始运动，记 min 时盛水筒离水面高度为 m（水面以上为正）。 (1) 求 的解析式； (2) 求一个转动周期内，盛水筒在水面以下的时长。 B5 某海滨浴场的海浪高度 （单位：m， 的单位：h，）。冲浪要求浪高不低于 1.75 m。 (1) 判断 时能否冲浪； (2) 求一天内满足冲浪条件的总时长。 B6 某摩天轮最高点离地 45 m、最低点离地 5 m，转动一周 12 min。甲在 、乙在 min 从最低点登轮，高度分别为 (1) 求两人同时在轮时高度相同的时刻； (2) 求两人高度差的最大值。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】A 【解析】振幅为 3；最小正周期 ；最大值为 3+1=4。故选 A。【母题溯源】对应变式 2-1，读 、、 三个参数。 A2【答案】4；4；−2 【解析】振幅为 4；； 时 。【母题溯源】对应例题 1，先读振幅与周期，再代初始值。 A3【答案】C 【解析】 的最大值为 1，故 m。故选 C。【母题溯源】对应例题 3，最高点由“中线加半径”得到。 A4【答案】4 【解析】由 得 。一个周期 [0,12] 内，，即 ，时长 4 h。【母题溯源】对应例题 1，解一个周期内的标准不等式。 A5【答案】ABC 【解析】振幅为 2，平衡位置为 3，A 正确；，B 正确；最大值为 2+3=5，C 正确； 时 ，D 错误。故选 ABC。【母题溯源】对应例题 1、2 的参数清单，逐项核对 。 A6【答案】3 cm； s 【解析】 时 cm。第一次回到平衡位置时，相位为 ，即 ，解得 s。【母题溯源】对应例题 2，用相位等于 找平衡位置。 （二）B 组 B1【答案】 【解析】由最大值 6、最小值 2 得 ，。 是最小值，第一次达到最大值用时 0.2，故半周期为 0.2，，。由 得 ，，。故 。【母题溯源】对应例题 2，最值定 ，半周期定 ，初始值定 φ。 B2【答案】ABC 【解析】最大值为 3，A 正确；，B 正确； 为最大值，故图象关于 对称，C 正确；当 时，，正弦先增后减，D 错误。故选 ABC。【母题溯源】对应变式 2-1，相位区间决定单调性与值域。 B3【答案】；12 摄氏度 【解析】由表知最大值 18 在 14 时，结合周期 24 得最小值 10 在 2 时，故 ，，。最高点处 ，取 得 。故 。 时相位为 ，， 摄氏度。【母题溯源】对应例题 2 与变式 2-1，表格题先补全最值与周期，再代点定参数。 B4【答案】(1) ；(2) 2 min 【解析】(1) 轮心离水面 1.5 m，半径 3 m，周期 6 min，。从最低点开始，故 。(2) 令 ，得 。一个周期 [0,6) 内，，即 ，故 ，时长 1+1=2 min。【母题溯源】对应例题 3，最低点起算用负余弦。 B5【答案】(1) 能；(2) 8 h 【解析】(1) 时，，，能冲浪。(2) 由 得 。令 ，一个周期内 ，即 。在 内取 [0,3]、[11,15]、[23,24)，总时长 3+4+1=8 h。【母题溯源】对应变式 1-1，解集加周期后再按一天截取。 B6【答案】(1) min；(2) 20 m 【解析】(1) 令 ，得 ，解得 ；在 内 min。(2) 由和差化积， 当 或 10 时取等，故最大高度差为 20 m。 【母题溯源】对应例题 3，两个同频振动的差仍可用和差化积化成一个正弦。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $