微专题13 统计图表的识别与应用 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第3章 · 概率与统计 · 大单元6 统计与统计案例 高中数学二轮复习专题讲义 13微专题13统计图表的识别与应用  统计题的分不在“会不会算平均数”，而在“图会不会读、数能不能译”：直方图的高不是频率，中位数不是最高的矩形，百分位数要先排序，扇形图与条形图必须统一口径。二轮只练三件事——把图形翻译成数据，把数据算成数字特征，把结论回检一遍再落笔。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确统计图表题的命题线索；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 统计图表是高考统计部分的“入口”：无论考数字特征、用样本估计总体，还是考统计案例，第一步都是从图中把数据读出来。小题考“读表读数与统计量判断”，解答题考“由面积求频率、由频率求分位数、用样本估计总体”，并且越来越多地套上跨学科外壳。 下面先交代本讲的题目取舍，再给出考情表。2026 年全国Ⅱ卷第 15 题的第 (2) 问 (ii) 以二项分布的期望与方差为主，归微专题 15，本讲取其第 (1) 问与第 (2) 问 (i) 的“面积—频率—分位数”链条；2022 年新高考Ⅱ卷第 19 题的第 (3) 问是条件概率，归微专题 16；2025 年新课标Ⅰ卷第 15 题的独立性检验计算归统计案例专题，本讲只取“读列联表、补频数、用频率估计概率”，收进训练 B3；2023 年新课标Ⅱ卷第 19 题以双直方图设计检测临界值，函数与最值的色彩更浓，本讲只借它说明“两图对照读差异”。 表 1: 统计图表识别与应用考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 15 频率分布直方图：第一四分位数、中位数、用频率估计概率 2026 全国Ⅰ卷 1 样本数据的中位数（选择） 2025 新课标Ⅰ卷 15 列联表的读表与频率估计（解答） 2024 新课标Ⅱ卷 4 频数分布表：中位数、极差、平均值的判断（选择） 2023 新课标Ⅱ卷 19 双频率分布直方图：临界值、漏诊率与误诊率（解答） 2022 新高考Ⅱ卷 19 频率分布直方图：平均数、区间概率与条件概率（解答） 三条命题线索值得注意。其一，直方图从“单图单问”变成“单图多问”：一张图里既要算平均数，又要找中位数、百分位数，还要用频率估计概率，一步译错步步错。其二，数字特征从“会算”转向“会判断”：给一张频数分布表判断中位数落在哪一组、极差与平均值在什么范围，计算量小但对概念精度要求高。其三，跨学科情境成为默认设置，题干长、单位多，读图前先读轴与单位成了保分动作。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺概念，先给三模型速查表，再给三条结论清单；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 统计图表三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 频率分布直方图 纵轴写着“频率/组距”，一排等高宽的矩形，问平均数、中位数、百分位数或某区间的概率 面积即频率：高乘组距得频率，组中值加权得平均数，累积面积到 0.5 处找中位数 例题 1、变式 1-1 二 · 百分位数与平均数方差 给出一列数据或一张频数分布表，问第 百分位数、极差、方差，或问“统计量怎么变” 先排序再定位， 为整数时取两项平均、非整数时向上取整；位置量随数据同步变换，离散量按倍数的平方放大 例题 2、变式 2-1、训练 A5 三 · 图表识别与跨学科情境 折线图、扇形图、条形图成对出现，或套着医学、农业、环保背景，问“下列说法正确的是” 读轴与单位、读量与口径，双图对照用“同一类的占比与频数”求样本容量 例题 3、变式 3-1 结论一 · 直方图的“面积—频率—频数”三件套 小矩形的高是频率除以组距，所以频率 = 高 组距 = 小矩形的面积，全部面积之和为 1；频数 = 频率 样本容量。平均数的估计值 = 各组组中值 对应频率再相加。中位数是那条把总面积平分成两半的竖直线，第 百分位数是使左侧面积等于 的横坐标。设本组下界为 、组距为 、本组频率为 、本组之前的累积频率为 、目标累积频率为 ，当数据在组内均匀分布时，所求值 。 结论二 · 百分位数的定位与统计量的变换 求第 百分位数：先把数据从小到大排序，算 ； 不是整数时取第 项， 是整数时取第 项与第 项的平均数。若把每个数据都变成 ，则平均数、中位数、百分位数都作同样的仿射变换，方差乘 、标准差乘 、极差乘 ，加减 不改变任何离散程度。两组数据合并后，平均数为 ，方差还要加上“组间差异”一项 。 结论三 · 读图三动作：读轴、读量、读势 读轴——横纵轴各是什么量、单位是什么、纵轴是否从 0 开始；读量——条形图与直方图给的是频数还是频率，扇形图给的是占比（圆心角除以 ）；读势——趋势、拐点、极端值与组间差异。两张图同时出现时，先找“同一类别在一张图里是占比、在另一张图里是频数”，样本容量 = 频数除以占比。 ▶ 三、高频题型突破 三个题型各配母题与变式，全篇统一按四步展开：认模型 → 译数据 → 核心推演 → 回检定论。第二步是本专题的命门——图形不直接进公式，必须先翻成“组中值—频率”或“数据—排序”两张对齐的数；第四步专管频率之和是否为 1、统计量是否落在合理区间、精确度与单位。 （一）题型一：频率分布直方图 题型识别。题面给一张或多张频率分布直方图，纵轴标“频率/组距”，问平均数、中位数、百分位数、某区间内的概率，或要求补全被污损的一组。 通法模型。第一步认模型：分组连续、纵轴是“频率除以组距”，就是直方图模型；第二步译数据：每个小矩形的高乘组距得频率，写出组中值一列；第三步核心推演：加权求平均数、累积面积找分位点、区间频率相加当概率；第四步回检定论：面积和为 1 自查，估计值写“约”。 例题 1（题型一·由直方图读平均数与区间概率） 在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到样本数据的频率分布直方图，组距为 10，分组依次为 [0,10)，[10,20)，，[80,90]，各组的“频率/组距”依次为 0.001，0.002，0.012，0.017，0.023，0.020，0.017，0.006，0.002。(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）；(2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 [20,70) 的概率。 图 1: 频率分布直方图：橙色部分是年龄位于二十至七十的五组 解析 第 1 步 · 认模型：纵轴是“频率/组距”、分组连续且组距同为 10，这是标准频率分布直方图；两问分别要“平均数”和“区间概率”，两者都由小矩形的面积给出，不需要重画图形。 第 2 步 · 译数据：把九个高各乘组距 10，翻译成频率 0.01、0.02、0.12、0.17、0.23、0.20、0.17、0.06、0.02，组中值依次为 5、15、25、35、45、55、65、75、85。动机：直方图不能直接代公式，只有翻成“组中值—频率”两行对齐的数，后面的加权与累加才不会错组。 第 3 步 · 核心推演：平均年龄为 故平均年龄约为 47.9 岁。区间 [20,70) 恰好覆盖第 3 组到第 7 组，频率相加得 0.12+0.17+0.23+0.20+0.17=0.89，即所求概率的估计值为 0.89。 第 4 步 · 回检定论：九个频率相加 =1.00，面积和检验通过；[20,70) 之外的两组频率和为 0.01+0.02+0.06+0.02=0.11，与 1−0.89=0.11 吻合，说明没有漏组、重组。结论：平均年龄约为 47.9 岁，年龄位于 [20,70) 的概率约为 0.89。 方法点睛 · 先译图，再动笔 直方图题的失分几乎都出在“翻译”这一步：把 0.023 当成频率，平均数立刻小一个数量级；把组中值写成组界，结果整体偏移半个组距。稳妥做法是先画两行表——上行组中值、下行频率，检查频率之和为 1 再动笔。 变式 1-1（题型一·第一四分位数与中位数） 从某厂生产的某种电子产品中随机抽取若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到频率分布直方图，组距为 10，分组依次为 [345,355)，[355,365)，，[415,425]，各组的“频率/组距”依次为 0.005，0.010，0.020，0.025，0.015，0.015，0.005，0.005。(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数与中位数（假设数据在组内均匀分布）；(2) 设 为 1 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365 天的概率估计值，求 。 图 2: 累积面积到 0.25 与 0.50 的两条竖线分别定出两分位点 解析 第 1 步 · 认模型：仍是频率分布直方图，但问的是分位数——不能再用组中值加权，必须走“累积面积”这条路，并且题目明说数据在组内均匀分布，允许在组内线性插值。 第 2 步 · 译数据：八组频率依次为 0.05、0.10、0.20、0.25、0.15、0.15、0.05、0.05；累积频率在 355、365、375、385、395、405、415、425 处依次为 0.05、0.15、0.35、0.60、0.75、0.90、0.95、1.00。 第 3 步 · 核心推演：第一四分位数对应累积频率 0.25，落在 [365,375) 内，故 ；中位数对应 0.50，落在 [375,385) 内，故 。第 (2) 问：小于 365 天即前两组的频率和，。 第 4 步 · 回检定论：八组频率和为 1.00；两个分位数满足“第一四分位数小于中位数”，即 370<381，且都落在累积频率跨越 0.25、0.50 的那两组内，位置合理。结论：第一四分位数为 370 天，中位数为 381 天，。 易错微警 · 分位数不是“第几组” 0.25 落在哪一组只解决“在哪个区间”，数值必须靠组内均匀分布插值得到，省掉插值就是丢分。另一处高频错误是把中位数当成最高矩形的中点——本题最高组是 [375,385)，中位数 381 恰在其纯属巧合，判断依据永远是累积面积等于 0.5。 （二）题型二：百分位数、平均数与方差 题型识别。给一列具体数据或一张频数（频率）分布表，问第 百分位数、极差、平均值，或者以“下列说法正确的是”的形式要求逐项判断统计量的位置与范围。 通法模型。先补齐表里缺的那一组（频率和为 1、频数和为样本容量），再把四个选项逐条翻译成可核对的不等式：中位数看累积频数过 的位置，极差用“最坏情形的两端”夹范围，平均值用组中值加权估算。逐项判断时，能算出真值的绝不估计，只能估计的要说明估计依据。 例题 2（题型二·频数分布表中的统计量判断） 某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理成频数分布表（见题干下方那张表）。根据表中数据，下列结论正确的是（　　） A．100 块稻田亩产量的中位数小于 1050 kg　　B．亩产量低于 1100 kg 的稻田所占比例超过 80% C．亩产量的极差介于 200 kg 至 300 kg 之间　　D．亩产量的平均值介于 900 kg 至 1000 kg 之间 表 3: 稻田亩产量的频数分布表（部分） 亩产量/kg [900,950) [950,1000) [1000,1050) [1100,1150) [1150,1200) 频数 6 12 18 24 10 解析 第 1 步 · 认模型：这是频数分布表模型，且表被“部分整理”——区间 [1050,1100) 整列缺失。四个选项分别指向中位数、比例、极差、平均值，属于逐项判断题。 第 2 步 · 译数据：缺失组的频数 =100−(6+12+18+24+10)=30。于是六组的频数依次为 6,12,18,30,24,10，累积频数在 950,1000,1050,1100,1150,1200 处依次为 6,18,36,66,90,100。 第 3 步 · 核心推演：A 项：中位数是第 50 与第 51 个数据的平均数，而前三组只有 36 个数据，第 50、51 个都落在 [1050,1100) 内，故中位数不小于 1050，A 错。B 项：低于 1100 kg 的频数为 6+12+18+30=66，占 ，不超过 ，B 错。C 项：极差最大可能为 1200−900=300，最小可能为 1150−950=200（最高组最小值不低于 1150、最低组最大值不超过 950），故极差介于 200 至 300 之间，C 对。D 项：用组中值 925,975,1025,1075,1125,1175 加权，平均值为 不在 900 至 1000 之间，D 错。 第 4 步 · 回检定论：频数和为 100 通过；平均值 1067 落在中位数所在组 [1050,1100) 附近，与累积频数的分布形态一致。故选 C。 方法点睛 · 缺列先补，选项逐个翻译 “部分整理”的表格是这类题的标准埋伏：先用总数补出缺失组，再把每个选项写成一个不等式——中位数写成“第几个数据落在第几组”，比例写成“哪几组频数相加除以总数”，极差写成“最大可能减最小可能”，平均值写成组中值加权。翻译完成，四个选项就变成四道小题。 变式 2-1（题型二·百分位数与方差的计算） 从某班随机抽取 10 名学生，一次测试的成绩（单位：分）如下：78,82,85,86,88,90,92,94,96,99。(1) 求这组成绩的第 25 百分位数与第 80 百分位数；(2) 求平均数与方差。 解析 第 1 步 · 认模型：数据已按从小到大排好，问第 百分位数——走“定位数”流程，不是猜一个数。 第 2 步 · 译数据：，第 25 百分位数对应 ，第 80 百分位数对应 ；排序后第 3 项为 85，第 8 项为 94，第 9 项为 96。 第 3 步 · 核心推演：2.5 不是整数，向上取整取第 3 项，第 25 百分位数为 85；8 是整数，取第 8 与第 9 项的平均数，第 80 百分位数为 。平均数 ；偏差平方和为 121+49+16+9+1+1+9+25+49+100=380，故方差 。 第 4 步 · 回检定论：第 25 百分位数 85 小于第 80 百分位数 95，且都落在数据列的对应位置附近，位置合理。结论：第 25、第 80 百分位数分别为 85 分与 95 分，平均数 89 分、方差 38。 方法点睛 · 位置与离散两本账 百分位数管“位置”，方差管“离散”，两本账不能混：前者一定要先排序再按 定项，后者看的是每个数据到平均数的距离。数据同加一个常数，位置跟着平移、离散不变；同乘一个数，位置按倍数缩放、方差乘平方。 （三）题型三：跨学科情境中的图表识别 题型识别。两张图配一段跨学科背景（气温与植被、通勤方式、垃圾分类、运动心率），要求判断“下列说法正确的是”，或要求把一张图的占比与另一张图的频数对接起来。 通法模型。先读轴与单位，确定每张图给的是“量”还是“率”；再找两图的公共类别，用“频数除以占比”定样本容量；最后逐项核对——凡涉及趋势与波动的选项，一律落到平均数、中位数、方差、极差四个数上算，不靠肉眼印象。 例题 3（题型三·折线图与统计结论判断，多选） 某校地理小组与生物小组合作探究“气温与植被生长期”的关系，记录了一地全年 12 个月的月平均气温（单位：），并绘制成折线图。下列说法正确的是（　　） A．全年月平均气温的平均数为 　　B．月平均气温的中位数为 C．下半年（7 月至 12 月）月平均气温的方差小于上半年的方差　　D．7 月的月平均气温最高，且 7 月至 12 月逐月下降 图 3: 月平均气温折线图：橙色横线是全年平均数 解析 第 1 步 · 认模型：折线图只给“变化趋势”，本身不带可直接套用的公式，必须先把 12 个数据抄成数列：4,6,10,14,19,25,28,27,22,15,8,2。 第 2 步 · 译数据：上半年 4,6,10,14,19,25，和为 78；下半年 28,27,22,15,8,2，和为 102；全年和 180。把 12 个数排序得 2,4,6,8,10,14,15,19,22,25,27,28。 第 3 步 · 核心推演：A 项：平均数 ，正确。B 项：中位数是第 6、7 个数的平均数 ，正确。C 项：上半年偏差平方和 81+49+9+1+36+144=320，方差 ；下半年偏差平方和 121+100+25+4+81+225=556，方差 ，下半年方差更大，C 错。D 项：28>27>22>15>8>2，7 月最高且此后逐月下降，正确。 第 4 步 · 回检定论：排序列的中位数 14.5 略小于平均数 15，说明低温端拖尾，与折线图“冬季陡降”的形态一致；两组各 6 个数据，方差可直接比较，不存在口径问题。故选 ABD。 方法点睛 · 折线图题“先抄数，再判断” 折线图给的是顺序，不是统计量。动笔前把数据按月份抄成一行，再写一行从小到大排序的，中位数、百分位数、极差、方差都从这两行里取。凡选项出现“波动更大”“更稳定”，一律落到方差或极差上算——纵轴被截断时，视觉起伏常常是假的。 变式 3-1（题型三·扇形图与条形图双图对照） 某市交通部门为研究市民的通勤方式，随机抽取了一批通勤者，按“步行、骑行、公共交通、自驾”四类统计，得到两幅图：扇形图给出四类人数所占百分比，其中骑行为 、公共交通为 、自驾为 、步行占比未标注；条形图给出各类人数，其中骑行为 500 人、公共交通为 800 人、自驾为 400 人，步行一栏缺失。(1) 求本次抽取的通勤者人数，并补全条形图中步行一栏的数据；(2) 若该市共有约 40 万名通勤者，估计其中选择骑行与公共交通的人数之和。 图 4: 双图对照：扇形图给占比，条形图给同类的人数 解析 第 1 步 · 认模型：两张图各说一半——扇形图只给“率”，条形图只给“量”，且步行在率与量上都缺。这是双图对照模型，突破口是找“同一类别在两图里都出现”。 第 2 步 · 译数据：骑行在扇形图中占 、在条形图中为 500 人；公共交通占 、800 人；自驾占 、400 人。三组“量除以率”都应当给出同一个样本容量，这本身就是自查。 第 3 步 · 核心推演：样本容量 （用 、 复核一致）。步行占比 ，人数 ，条形图步行一栏补 300。第 (2) 问：骑行与公共交通合计占 ，故 40 万人中约有 （万人）。 第 4 步 · 回检定论：四类人数 300+500+800+400=2000 与样本容量吻合；四类占比相加为 。结论：本次抽取 2000 人，步行 300 人；全市骑行与公共交通的通勤者约 26 万人。 易错微警 · 一张图给率，一张图给量 双图题最常见的错误是“拿百分比直接相加”或“拿人数除以了错误的总数”。动笔前先问一句：这一栏是率还是量？两图对接只有一处入口——同一个类别在两张图里都出现，样本容量 = 它的频数 它的占比，求出总数后所有缺失项都能补出来。 ▶ 四、易错警示 本专题失分多半不在计算，而在读图时的口径。下表列出五个高频错误。 表 4: 高频错误及其纠正（读图与统计量口径） 错误表现 错因 正确做法 把小矩形的高直接当频率 忘了纵轴是“频率除以组距” 频率 = 高 组距，算完把各组频率相加，应为 1 中位数取“最高矩形的中点”，或只答“落在第几组” 把中位数与众数、区间中点混淆，又不知道可以插值 中位数是面积平分线：取左侧累积频率等于 0.5 的横坐标，组内用“下界 +（目标减前累积）除以本组频率再乘组距”取值 第 百分位数直接取第 那一项 没排序、没判断 是否为整数 先排序，再按“整数取两项平均、非整数向上取整”定位 数据同加同乘时方差也跟着加减乘 把离散量当成位置量 ：位置量作同样变换，方差乘 、标准差与极差乘 扇形图与条形图之间随意换算 混淆占比与频数、用错样本容量 先用同一类别的“频数除以占比”定样本容量再换算；用组中值估平均数时结果写“约为”并带单位 动笔前的三句自查 纵轴是频率还是频率除以组距？要求的数是“率”还是“人数”，单位要不要换算？算完的统计量落在合理区间内吗（分位数之间的大小、频率之和为 1）？——三句都答“是”，再落笔。 ▶ 五、课后分层训练 A 组练四个基本动作（读高与组距、定位百分位数、变换统计量、读圆心角），B 组练迁移与综合，其中 B5、B6 为难题；B6 是结构不良题，条件任选两个，不同选法可能得出不同结论，也可能得不出结论。先独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 样本数据 6,8,4,5,12 的中位数为（　　） A．5　　B．6　　C．8　　D．9 A2 在频率分布直方图中，组距为 4，区间 [12,16) 对应小矩形的高为 0.050，样本容量为 80，则该组的频数为 ______。 A3 一组数据按从小到大排列为 12,15,18,20,22,24,26,30，则这组数据的第 75 百分位数为 ______。 A4 某校教师年龄结构的扇形图中，“30 岁以下”部分对应的圆心角为 ，则该部分教师人数占全校教师人数的（　　） A．　　B．　　C．　　D． A5 若样本数据 的方差为 4，则数据 的标准差为（　　） A．6　　B．12　　C．36　　D．108 A6 五个数据按从小到大排列为 ，若这组数据的中位数为 6，则它们的平均数为 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 （多选）对一批共 100 件产品逐一测量长度（单位：mm），整理成频数分布表，其中 [165,170) 一栏被污损。已知 [150,155)，[155,160)，[160,165)，[170,175)，[175,180] 五组的频数依次为 5、10、20、15、10。则下列结论正确的是（　　） A．长度低于 165 mm 的产品占 　　B．中位数落在区间 [160,165) 内 C．平均值的估计值不超过 170 mm　　D．极差不小于 30 mm B2 某班 40 名学生一分钟跳绳次数的频率分布直方图，组距为 20，分组依次为 [60,80)，[80,100)，[100,120)，[120,140)，[140,160]，各组的“频率/组距”依次为 0.0050，0.0100，0.0200，0.0100，0.0050。(1) 估计平均次数与中位数；(2) 估计第 80 百分位数；(3) 求跳绳次数不低于 120 的人数。 B3 某医院为研究某项指标与疾病的关系，从做过该项检查的人群中随机调查了 200 人，得到不完整的列联表：患病者共 30 人，其中指标不正常 24 人；未患病者中指标正常的有 150 人。(1) 补全列联表；(2) 从指标不正常的人中任选 1 人，估计此人患病的概率（精确到 0.01）。 B4 一组数据按从小到大排列为 ，若这组数据的中位数为 7.5，则它的第 75 百分位数为 ______， ______。 B5 （多选）生物小组在甲、乙两种栽培方式下各种植 10 株同种幼苗，测得株高（单位：cm）如下：甲组 15,16,17,18,18,18,18,19,19,22；乙组 9,13,18,18,18,18,18,18,23,27。下列说法正确的是（　　） A．两组株高的平均数相同　　B．甲组株高的方差小于乙组株高的方差 C．两组株高的中位数与第 80 百分位数都相同　　D．乙组株高的极差大于甲组极差的 2 倍 B6 某厂规定一批零件“直径的第一四分位数不低于 17 mm”为合格。从一批共 100 件零件中逐一测量直径（单位：mm），整理成频率分布直方图，组距为 4，分组依次为 [10,14)，[14,18)，[18,22)，[22,26)，[26,30]；图中只有第一组与最后一组的高可读，依次为 0.020 与 0.030，中间三组被污损。从下面三个条件中任选两个作为补充条件，判断该批零件是否合格，并说明理由： ① 直径不低于 22 mm 的零件有 32 件；② 直径的众数的估计值为 20 mm；③ 直径的中位数为 20 mm。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】B 【解析】排序得 4,5,6,8,12，共 5 个数，中位数为第 3 个数 6，选 B。 【母题溯源】对应例题 3：统计量判断先排序，位置由数据个数决定。 A2【答案】16 【解析】频率 ，频数 。 【母题溯源】对应例题 1 第 2 步：高乘组距得频率，频率乘容量得频数。 A3【答案】25 【解析】 是整数，第 75 百分位数取第 6 项与第 7 项的平均数，即 。 【母题溯源】对应变式 2-1：先排序，再按“整数取平均、非整数向上取整”定位。 A4【答案】B 【解析】占比 ，选 B。注意扇形图给的是占比，不是人数。 【母题溯源】对应变式 3-1 第 2 步：读清“率”与“量”，圆心角除以 即占比。 A5【答案】A 【解析】，方差乘 得 ，标准差为 ，选 A。若误选 C，是把方差当成了标准差。 【母题溯源】对应结论二：位置量随 平移缩放，离散量乘 ；合并两组数据时还要加“组间差异”一项。 A6【答案】6.4 【解析】五个数的中位数是第 3 个数，故 ，平均数 。 【母题溯源】对应例题 3 第 2 步：中位数看位置，平均数看总和。 （二）B 组 B1【答案】AC 【解析】污损组频数 =100−(5+10+20+15+10)=40，六组累积频数在 155、160、165、170、175、180 处依次为 5、15、35、75、90、100。 A：低于 165 mm 的频数为 5+10+20=35，占 ，正确。 B：中位数是第 50,51 个数据的平均数，两者都落在 [165,170) 内，错误。 C：取组中值 152.5，157.5，162.5，167.5，172.5，177.5 加权，平均值的估计值为 不超过 170，正确。 D：极差最大可能为 180−150=30，最小可能为 175−155=20，不能断定不小于 30，错误。故选 AC。 【母题溯源】对应例题 2：缺列先补，再把每个选项翻成不等式。 B2【答案】(1) 平均数 110，中位数 110；(2) 130；(3) 12 人 【解析】五组频率依次为 0.10,0.20,0.40,0.20,0.10，和为 1。(1) 平均数 ；累积频率 0.10,0.30,0.70,0.90,1.00，中位数落在 [100,120)，为 。(2) 0.80 落在 [120,140)，第 80 百分位数为 。(3) 不低于 120 的频率为 0.20+0.10=0.30，人数 。 【母题溯源】对应变式 1-1：平均数用组中值加权，分位数用累积面积插值。 B3【答案】(1) 列联表见解析；(2) 0.55 【解析】(1) 患病者中指标正常 30−24=6 人，故指标正常一列合计 6+150=156 人，指标不正常共 200−156=44 人，其中未患病者 44−24=20 人，未患病者合计 20+150=170 人。列联表为：患病者“正常 6、不正常 24、合计 30”；未患病者“正常 150、不正常 20、合计 170”；合计“正常 156、不正常 44、总计 200”。(2) 在指标不正常的 44 人中患病者有 24 人，用频率估计概率得 。 【母题溯源】对应例题 2 第 2 步：用“行、列合计”补全表格；独立性检验的计算另见统计案例专题。 B4【答案】9.5； 【解析】八个数的中位数是第 4,5 项的平均数 ，得 （与排序位置 相容）。 为整数，第 75 百分位数取第 6,7 项的平均数 。 【母题溯源】对应变式 2-1：中位数与百分位数都由“位置”决定，先定位置再取数。 B5【答案】ABD 【解析】两组数据之和都是 180，平均数都是 18，A 正确。甲组偏差平方和为 9+4+1+0+0+0+0+1+1+16=32，方差 3.2；乙组为 ，方差 21.2，B 正确。两组中位数都是 18，但 ，甲组第 80 百分位数为 ，乙组为 ，并不相同，C 错误。甲组极差 22−15=7，乙组极差 ，D 正确。故选 ABD。 【母题溯源】对应例题 3：跨学科题也要把每个选项落到平均数、方差、极差的具体数值上。 B6【答案】选①③可判定：该批零件不合格；选①②或选②③时条件不足，无法判定 【解析】设 [14,18)，[18,22)，[22,26) 三组的频率依次为 。由第一组与最后一组的频率分别为 与 ，得 。 选①：，故 ，。 选③：中位数 20 落在 [18,22) 内，由 得 。 两式联立解得 ，。此时累积频率依次为 0.08，0.32，0.68，0.88，1.00，第一四分位数 0.25 落在 [14,18) 内，为 ，故该批零件不合格。 选②只说明 [18,22) 是最高矩形，即 最大，给不出任何数值。例如取 ，， 与取 ，，，两组都满足①②，但前者的第一四分位数为 （合格），后者不合格，结论不唯一。同理，满足②③的 ，， 给出第一四分位数 ，与①③的结果相反，故含②的两种选法都不足以判定。 【母题溯源】对应变式 1-1 与例题 2：结构不良题的实质是“先补全直方图，再用累积面积插值”；条件够不够用，看它能否把缺失的那一个频率唯一定出来。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $