专题21 统计中的重点问题（压轴题6大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题21 统计中的重点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、随机数法 1 类型二、分层随机抽样 2 类型三、各类型统计图表 3 类型四、总体百分位数的估计 7 类型五、平均数、方差等数据特征的计算与性质 8 类型六、频率分布直方图及其综合应用 11 压轴专练 15 类型一、随机数法 如果产生的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，知道产生的不同标号个数等于样本所需要的数量.同时选取的随机数不能超过最大编号 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ） A．57 B．50 C．40 D．10 2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（    ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 类型二、分层随机抽样 分层随机抽样的步骤 （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）； （2）求比：抽样比； （3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数； （4）抽样：每层分别按简单随机抽样的方法抽取样本 （5）成样：综合各层抽样，组成样本。 1．（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）某中学学生可通过选课平台选择校本课程《能源材料与节能环保》《我们的汉字》《网球运动基础探秘》《软笔书法临习与创作》，若只统计选择其中一门课程的人数，则选择这四门校本课程的人数分别为1200，1600，800，1200.根据所选课程采用按比例分层随机抽样的方法，从这些学生中随机抽取24名学生进行座谈，则应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数为（   ） A．6 B．8 C．12 D．9 3．（24-25高一下·安徽·月考）某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，质检人员按照两类车的产量比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知样本中电动车有75辆，则该厂燃油车的日产量为（   ） A．175辆 B．200辆 C．225辆 D．250辆 4．一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按性别用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，抽出的男运动员的平均身高为180.1cm，抽出的女运动员的平均身高为168.2cm，则估计该田径队运动员的平均身高为（    ） A．174cm B．175cm C．177cm D．176cm 5．（24-25高一下·全国·课后作业）某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从岁，岁，岁，岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300的样本，其中在岁学生问卷中抽取60份，则在岁学生中抽取的问卷份数为________________． 6．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为________cm.（结果保留一位小数） 类型三、各类型统计图表 （1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率. （2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数. （3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势. 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 2．（25-26高一下·北京海淀·阶段检测）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（   ） A．这14天中有5天空气质量为“中度污染” B．从第三天到第七天空气质量越来越好 C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日 3．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 4．（24-25高一下·全国·课后作业）某地自2018年起实行湖长制后，境内湖泊水质不断提升．为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法正确的是（   ） A．估计该地水质差的湖泊数量逐年递增 B．估计该地水质好的湖泊数量逐年递增 C．该地平均每年新增8个湖泊 D．估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊 5．（多选题）（24-25高一下·四川达州·阶段检测）如图所示，下列频率分布直方图均为单峰的分布直方图．图（1）的直方图形状是对称的，图（2）的直方图在右边“拖尾”，图（3）的直方图在左边“拖尾”，据此作出判断，正确的是（   ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（3）的平均数中位数众数 C．图（2）的众数中位数平均数 D．图（2）的平均数众数中位数 6．（多选题）采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．图中前三个数据的平均值为49.9% B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大 C．图中PMI指数的极差为3.8% D．2023年PMI指数的众数为49.0 7．（多选题）（25-26高一下·浙江·开学考试）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 8．（多选题）如图是某公司2020年和2024年支出的比例分配图，其中这两年用于文体活动的支出费用相等，则（    ） A．2024年总支出比2020年增长 B．用于宣发的支出2024年比2020年多 C．用于水电的支出2024年与2020年相等 D．用于工资的支出2024年比2020年增长 类型四、总体百分位数的估计 1、第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 注：求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列. 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 2．已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 3．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 4．已知按从小到大的顺序排列的一组数据：3，6，a，b，12，若其分位数为8，则下列情况可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一下·全国·单元测试）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 类型五、平均数、方差等数据特征的计算与性质 1、（1）平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征. （2）当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值. （3）求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行. 2、平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 3、方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 1．（25-26高一下·北京房山·期末）甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）小华六年级第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为计算，则小华该学期数学书面测验的总评成绩应为（    ）分． A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东日照·期末）一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，5，7，，14，22，23.若分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 4．若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 7．一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 8．（多选题）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（    ） A．中位数是8 B．平均数是6 C． D． 9．（多选题）一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．的极差为12 B．的方差为8 C．的第80百分位数为 D．的平均数为5 10．（多选题）（23-24高一下·四川达州·期末）已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（    ） A． B． C．可以等于 D． 类型六、频率分布直方图及其综合应用 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 （1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． （3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 1．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·月考）某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（   ） A． B．估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C．估计该年级学生物理成绩的众数为75 D．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 2．（多选题）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（25-26高一下·安徽合肥·月考）某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 4．（多选题）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 5．（24-25高一下·四川成都·开学考试）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）： 数据段 频数 频率 30～40 10 0.05 40～50 36 50～60 0.39 60～70 70～80 20 0.10 总计 200 1 注：30～40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同 (1)请你把表中的数据填写完整； (2)补全频数分布直方图； (3)如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 6．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 7．（24-25高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 8．（2026高一下·山东东营·专题练习）某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成，，，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：    (1)求频率分布直方图中的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； (2)已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 1．（24-25高一下·福建泉州·期末）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（   ） A．60 B．100 C．120 D．140 2．（2025高一·全国·专题练习）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04   32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45   32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为（    ） A．324 B．345 C．577 D．578 3．（25-26高一下·全国·期末）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 4．（25-26高一下·贵州遵义·期末）一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．某电商平台在2025年3月对其用户进行了一项关于每月消费金额的调查．该平台用户可分为普通会员、白银会员、黄金会员和钻石会员四个等级，各等级用户人数的比例为．调查采用分层随机抽样，按照各等级用户人数比例抽取样本．已知样本中普通会员、白银会员、黄金会员、钻石会员的平均每月消费金额分别为200元、500元、800元、1200元，则估计该平台用户的平均每月消费金额为（   ） A．675元 B．510元 C．650元 D．460元 6．样本数据38，133，143，177，209，151，210，223， 252，281，218，309的上四分位数是（   ） A．223 B．237 C．237.5 D．252 7．（24-25高一下·四川乐山·期末）某班级对60名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表： 分数段 人数 6 12 18 15 9 则这次测试成绩的第80百分位数是（   ） A．84 B．85 C．88 D．92 8．（25-26高一下·贵州遵义·月考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·河南南阳·期末）下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 11．（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）若一组样本数据的平均数为5，方差为3，则的方差为（   ） A． B． C． D． 12．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 13．（24-25高一下·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 14．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 15．（多选题）为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 16．（多选题）（24-25高一下·广东汕头·期末）在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少不失球 17．（多选题）（24-25高一下·广东汕头·期末）某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：kg）绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有（    ） A．直方图中的 B．过去60天苹果日销售量的平均数估计值为52kg C．过去60天苹果日销售量的众数估计值为50kg D．过去60天苹果日销售量的中位数估计值为55kg 18．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象.已知数据，，，…，是上海普通职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法错误的是（    ） A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 19．（多选题）某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损． 成绩／分 5 6 7 8 9 10 人数 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则（   ） A．众数为9 B．极差为5 C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数 20．（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 21．（25-26高一下·甘肃·期末）从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 22．（25-26高一下·北京·月考）某校高二年级期中考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值； (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在的学生中抽取13人，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据， ①试估计本次考试的中位数； ②假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，估计本次考试的平均分． (4)已知落在的平均成绩是76，落在的平均成绩是91，求两组成绩合并后的平均数． 23．（25-26高一下·河南南阳·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 统计中的重点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、随机数法 1 类型二、分层随机抽样 3 类型三、各类型统计图表 5 类型四、总体百分位数的估计 13 类型五、平均数、方差等数据特征的计算与性质 15 类型六、频率分布直方图及其综合应用 20 压轴专练 30 类型一、随机数法 如果产生的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，知道产生的不同标号个数等于样本所需要的数量.同时选取的随机数不能超过最大编号 1．（24-25高一下·贵州黔南·期末）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（   ） A．57 B．50 C．40 D．10 【答案】B 【分析】结合随机数表法定义，按照题意依次读出前个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有03，46，40，11，10，50，所以选出来的第6个个体的编号为50. 故选：B. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…500，假设从第1行第4列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为（    ） 3484 4217 5572 1754 5560 8331 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0676 6301 6378 5916 9555 6719 A．331 B．047 C．447 D．672 【答案】B 【分析】根据随机数表的读取规则，逐一选取即可. 【详解】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047， 剔除重复数据，超过500的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047. 故选：B. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】662  276  656  502 【分析】从第3行第4列的数6开始，每次取三位数，在范围内就取，不在不取，重复的不取即可． 【详解】根据随机数表读取规则可知，第一个数是662，第二个数是276，第三个数是656，第四个是502. 故答案是：662；276；656；502 类型二、分层随机抽样 分层随机抽样的步骤 （1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）； （2）求比：抽样比； （3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数； （4）抽样：每层分别按简单随机抽样的方法抽取样本 （5）成样：综合各层抽样，组成样本。 1．（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 2．（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）某中学学生可通过选课平台选择校本课程《能源材料与节能环保》《我们的汉字》《网球运动基础探秘》《软笔书法临习与创作》，若只统计选择其中一门课程的人数，则选择这四门校本课程的人数分别为1200，1600，800，1200.根据所选课程采用按比例分层随机抽样的方法，从这些学生中随机抽取24名学生进行座谈，则应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数为（   ） A．6 B．8 C．12 D．9 【答案】B 【分析】先求出选择《我们的汉字》的学生人数占总人数的比例，然后再求出应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数. 【详解】根据题意可得选择《我们的汉字》的学生人数占总人数的， 所以应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数为. 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽·月考）某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，质检人员按照两类车的产量比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知样本中电动车有75辆，则该厂燃油车的日产量为（   ） A．175辆 B．200辆 C．225辆 D．250辆 【答案】C 【分析】根据题意，求得燃油车有45辆，结合分层抽样的计算方法，列出算式，即可求解. 【详解】由题意知，样本容量为120，其中电动车有75辆，则燃油车有45辆， 所以燃油车的日产量为（辆）. 故选：C. 4．一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按性别用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，抽出的男运动员的平均身高为180.1cm，抽出的女运动员的平均身高为168.2cm，则估计该田径队运动员的平均身高为（    ） A．174cm B．175cm C．177cm D．176cm 【答案】B 【分析】先按照抽样比计算出样本中男、女运动员的人数，再利用加权平均数公式计算即可. 【详解】由题意，田径队男、女运动员人数的比例为，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本， 设男运动员4x名，女运动员3x名，故，解得，即男运动员8名，女运动员6名， 故可估计该田径队运动员的平均身高为． 故选：B. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从岁，岁，岁，岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300的样本，其中在岁学生问卷中抽取60份，则在岁学生中抽取的问卷份数为________________． 【答案】120 【分析】根据题意结合分层抽样的性质运算求解. 【详解】因为岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为． 又因为从回收的问卷中按年龄段同比例分层抽取容量为300的样本， 所以从岁，岁，岁，岁四个年龄段回收的问卷总数为份， 则岁回收问卷份数为份． 所以在岁学生中抽取的问卷份数为份． 故答案为：120. 6．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为________cm.（结果保留一位小数） 【答案】 【分析】先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再估计总体平均身高得到答案. 【详解】高二年级男生与女生人数比为， 当样本容量为100时， 抽取男生人数为（人），抽取女生人数为（人）， 高二年级全体学生的平均身高估计为， 故答案为：. 类型三、各类型统计图表 （1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率. （2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数. （3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势. 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【分析】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 2．（25-26高一下·北京海淀·阶段检测）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（   ） A．这14天中有5天空气质量为“中度污染” B．从第三天到第七天空气质量越来越好 C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日 【答案】C 【分析】根据题意，由折线图分析数据，结合中位数的求法，逐一分析各个选项，即可得答案． 【详解】对于A，这14天中有4天空气质量指数在之间，则有4天为“中度污染”，故A错误； 对于B，从第三天到第七天空气质量先变好再变坏，故B错误； 对于C，将14组数据从小到大排列： ，其中位数为，故C正确； 对于D，5日到7日的三天，数据波动比较大，则方差较大， 所以连续三天中空气质量指数方差最小不是5日到7日，故D错误． 故选：C 3．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）某地自2018年起实行湖长制后，境内湖泊水质不断提升．为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个．下列说法正确的是（   ） A．估计该地水质差的湖泊数量逐年递增 B．估计该地水质好的湖泊数量逐年递增 C．该地平均每年新增8个湖泊 D．估计该地平均每年新增45个水质好的湖泊 【答案】B 【分析】对于A，由题图分别估计各个年份水质差的湖泊数量可判断选项正误； 对于B，由题图分别估计各个年份水质好的湖泊数量可判断选项正误； 对于C，由题图可计算湖泊总数量的平均增长量； 对于D，由B分析可计算水质好湖泊每年的平均增长量； 【详解】对于A，根据题图可得，2018年到2022年，估计该地水质差的湖泊总量分别为，，，，，故A错误； 对于B，根据题图可得，2018年到2022年，估计该地水质好的湖泊总量分别为，，，，， 该地水质好的湖泊总量数逐年递增，故B正确； 对于C，根据题图中湖泊总量折线图可得，从2018年到2022年，该地平均每年新增的湖泊个数为，故C错误； 对于D，从2018年到2022年，估计该地平均每年新增水质好的湖泊个数为 ，故D错误． 故选：B 5．（多选题）（24-25高一下·四川达州·阶段检测）如图所示，下列频率分布直方图均为单峰的分布直方图．图（1）的直方图形状是对称的，图（2）的直方图在右边“拖尾”，图（3）的直方图在左边“拖尾”，据此作出判断，正确的是（   ） A．图（1）的平均数中位数众数 B．图（3）的平均数中位数众数 C．图（2）的众数中位数平均数 D．图（2）的平均数众数中位数 【答案】ABC 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数中位数众数，故A正确； 图（2）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，平均数大于中位数， 所以图（2）的众数＜中位数＜平均数，故C正确，D错误； 同理图（3）“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，故B正确. 故选：ABC. 6．（多选题）采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．图中前三个数据的平均值为49.9% B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大 C．图中PMI指数的极差为3.8% D．2023年PMI指数的众数为49.0 【答案】ABD 【分析】经计算可得前三个数据的平均值为，由方差的实际意义可知B正确；根据极差的公式计算可得C错误；根据众数的概念判断D即可. 【详解】对于A，前三个数据为，，，所以前三个数据的平均值为，故A选项正确； 对于B，从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大，稳定性最差，所以方差最大，故B选项正确； 对于C，图中PMI指数的最大值为%，最小值为%，故极差为%，C选项错误； 对于D，2023年PMI指数中，49.0出现两次，其他的出现一次，故2023年PMI指数的众数为49.0,故D选项正确. 故选：ABD 7．（多选题）（25-26高一下·浙江·开学考试）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【答案】ACD 【分析】根据扇形图和条形图，读取相应选考组合的人数与占比，依题意逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确； 对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误； 对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确； 对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为； 而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确. 8．（多选题）如图是某公司2020年和2024年支出的比例分配图，其中这两年用于文体活动的支出费用相等，则（    ） A．2024年总支出比2020年增长 B．用于宣发的支出2024年比2020年多 C．用于水电的支出2024年与2020年相等 D．用于工资的支出2024年比2020年增长 【答案】ACD 【分析】设年总支出为，年总支出为，依题意可得，即可判断A，再分别求出各年用于宣发、水电、工资的支出，即可判断B、C、D. 【详解】对于A：设年总支出为，年总支出为， 依题意可得，所以， 即年总支出比年增长，故A正确； 对于B：年用于宣发的支出为， 年用于宣发的支出为， 故用于宣发的支出年比年少，故B错误； 对于C：年用于水电的支出为， 年用于水电的支出为， 故用于水电的支出年与年相等，故C正确； 对于D：年用于工资的支出为， 年用于工资的支出为， 因为， 所以工资的支出年比年增长，故D正确； 故选：ACD 类型四、总体百分位数的估计 1、第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 注：求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列. 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）某同学记录了当地4月最后8天每天的最低气温（单位：℃），分别为12，14，12，16，12，11，15，17，则该组数据的第70百分位数为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】解：数据整理为11，12，12，12，14，15，16，17， 又，则该组数据的第70百分位数为第6个数15． 2．已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， 因为该组数据的分位数为，所以，解得. 3．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（   ） A．13 B．13.5 C．15 D．15.5 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，根据下四分位数的含义求解，即可得答案. 【详解】将这组数据从小到大排列为：12，14，16，16，18，20，40，40， 由于，故这组数据的下四分位数为， 故选：C 4．已知按从小到大的顺序排列的一组数据：3，6，a，b，12，若其分位数为8，则下列情况可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据百分位数的定义和公式计算即可. 【详解】，分位数为第3项和第4项数据的平均数， ， 故选：A. 5．（25-26高一下·全国·单元测试）容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由百分位数的定义进行求解． 【详解】因为，所以样本数据的第80百分位数为样本数据由小到大排列的第16个数据和第17个数据的平均数，落在区间内． 故选：C 6．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数据中最小数据为，得到，再由百分位数的计算方法，求得，进而得到的可能取值的个数，即可求解. 【详解】因为数据中最小数据为，可得且， 将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有，共6个. 类型五、平均数、方差等数据特征的计算与性质 1、（1）平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征. （2）当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值. （3）求样本数据的中位数和众数时,把数据按照从小到大的顺序排列后,按照其求法进行. 2、平均数相关结论：①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 3、方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 1．（25-26高一下·北京房山·期末）甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断及的大小. 【详解】由统计图可知甲的总成绩比乙的总成绩要高，所以， 又甲的成绩分布比乙均匀，所以， 故选：A 2．（2026高一·全国·专题练习）小华六年级第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得分，第二单元得分，第三单元得分；期中考试得分，期末考试得分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为计算，则小华该学期数学书面测验的总评成绩应为（    ）分． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小华平时考试平均成绩为（分）， 该学期小华数学书面测验的总评成绩为（分）． 3．（25-26高一下·山东日照·期末）一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，5，7，，14，22，23.若分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【分析】利用百分位数和中位数的公式求解. 【详解】1，2，3，4，5，7，，14，22，23共个数， ，第分位数为第个数和第个数的平均数，即， 这个数的中位数为， 分位数是中位数的两倍， ，. 故选：A. 4．若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个数据为，依题意求出，加入两数据后再依次求其平均值与方差即可. 【详解】设这个数据为，依题意，， 则， 加入数据和后，这个数据的平均值为， 则方差为. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意结合标准差的公式即可求解. 【详解】由题可知，这组数据的标准差为 . 故选：A. 6．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案. 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 7．一组单调递增数据，，…，的平均数、极差、中位数、方差依次为，，m，，构造一组新的数据，，…，，其中，新数据的平均数、极差、中位数、方差依次为，，n，，则下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用极差和中位数的定义即可判断BC，由平均数和方差的性质即可判断AD. 【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误； 对于B：因为数据，，…，单调递增，所以数据，，…，也单调递增， 所以极差，，故B正确； 对于C：由A知，因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 因为，所以，故D正确. 故选：A. 8．（多选题）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）已知一组数据为，且这组数据的众数为8，那么下列选项正确的是（    ） A．中位数是8 B．平均数是6 C． D． 【答案】ABD 【分析】借助众数定义可得，再利用中位数与平均数定义计算即可得. 【详解】由这组数据的众数为8，故，则这组数据为， 则这组数据中位数是8，平均数为， 故A、B、D正确，C错误. 9．（多选题）一组递增数据的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（   ） A．的极差为12 B．的方差为8 C．的第80百分位数为 D．的平均数为5 【答案】AD 【分析】利用线性变换后数据平均数、方差、极差的变换规律，结合百分位数计算规则逐一验证选项即可快速得解. 【详解】对于选项A ：极差是最大值减最小值，的极差： ，A正确； 对于选项B ：根据方差性质：若，则，此处： ，B错误。 对于选项C ：计算第80百分位数，，，为整数时，根据百分位数定义，第80百分位数是，不是，C错误。 对于选项D： 的平均数，合并后共10个数据，总平均数： ，D正确。 【点睛】这道题围绕线性变换后数据的统计量变化展开，核心是利用极差、方差、平均数的线性变换性质和百分位数定义. 10．（多选题）（23-24高一下·四川达州·期末）已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为；数据，的平均数为，方差为，中位数为，极差为.则（    ） A． B． C．可以等于 D． 【答案】AC 【分析】根据均值，方差，中位数，极差的计算公式，注意中位数、极差的计算需先排序，再逐一比较即可． 【详解】对于A，根据题意，， ，则，故A正确； 对于B，， ，故与大小无法比较，故B错误； 对于C，当时，， 此时，故C正确； 对于D，取，可得； 取，可得，故D错误， 故选：AC． 类型六、频率分布直方图及其综合应用 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 （1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． （3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 1．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·月考）某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（   ） A． B．估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C．估计该年级学生物理成绩的众数为75 D．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【答案】AC 【详解】对于A：因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1， 所以，解得，故A正确； 对于B：估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为，故B错误； 对于C：频率分布直方图中，众数是最高矩形所对应的区间中点，最高矩形是，所以中点为75，故C正确； 对于D：设中位数为，前两组的频率为，前三组的频率为， 因此中位数位于区间内，即，解得，故D错误. 2．（多选题）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由图可知，这5组的频率依次为， 则这5组的频数依次为， 将这100个零件的直径数据从小到大排序， 第31个数大于或等于5.18，第65个数小于5.28，第50与第51个数之和为， 所以，故A正确； 若每个区间中的数都取最大值， 平均数，故B正确； 极差是最大数减去最小的数，所以，故C正确； 众数是指这100个数中，相等的数的个数最多的那个， 而在中最多有30个数相等，中最多有35个数相等， 则众数，D错误. 3．（多选题）（25-26高一下·安徽合肥·月考）某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 4．（多选题）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（   ） A． B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人 C．第二次联考学生的成绩波动更小 D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加 【答案】BCD 【分析】由频率和为1列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D的正误. 【详解】因为，所以，A错误． 因为第一次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 第二次联考成绩在130分以上的学生人数大约占， 所以增加，则增加的学生人数为10，B正确． 第一次联考成绩集中于70～110分的学生人数占比为， 第二次联考成绩集中于90～130分的学生人数占比为， 第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C正确． 第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为， 第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为，在[110,150]内的学生人数占比为，D正确． 故选：BCD 5．（24-25高一下·四川成都·开学考试）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）： 数据段 频数 频率 30～40 10 0.05 40～50 36 50～60 0.39 60～70 70～80 20 0.10 总计 200 1 注：30～40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同 (1)请你把表中的数据填写完整； (2)补全频数分布直方图； (3)如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)76（辆） 【分析】（1）根据频数÷总数=频率进行计算即可； （2）结合（1）中的数据补全图形即可． （3）根据频数分布直方图可看出汽车时速不低于60千米的车的数量． 【详解】（1）填表如下： 数据段 频数 频率 30～40 10 0.05 40～50 36 0.18 50～60 78 0.39 60～70 56 0.28 70～80 20 0.10 总计 200 1 （2）根据（1）中数据补全频数分布直方图，如图所示： （3）违章车辆数：56+20=76（辆）． 答：违章车辆有76辆． 6．（25-26高一下·甘肃兰州·期中）2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于求出； （2）用各组的组中值分别乘对应频率，再求和估计样本平均数； （3）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是 各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 （2）由第（1）问可得 因此各组的频率分别为 对应这名学生的人数分别为 各组的组中值分别为 所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为 计算得 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. （3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为 成绩在内的人数为 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为 7．（24-25高一下·山东聊城·期末）某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； (2)从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】(1)，中位数为99分， (2)平均数为124分，方差为36 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再确定中位数所在区间，列式求解. （2）求出，利用分层抽样平均数、方差公式列式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. （2）依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 8．（2026高一下·山东东营·专题练习）某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成，，，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题：    (1)求频率分布直方图中的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； (2)已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)； . (2)；. 【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可求值；根据分位数的性质求解. （2）先求出，再根据公式可求得. 【详解】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为， 可得，解得. 因为成绩小于分的频率为，占比为， 成绩小于分的频率为， 占比为， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 则，所以分位数为. （2）成绩在，内的人数分别为： ，, 则， 所以. 1．（24-25高一下·福建泉州·期末）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（   ） A．60 B．100 C．120 D．140 【答案】D 【分析】根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 2．（2025高一·全国·专题练习）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04   32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45   32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为（    ） A．324 B．345 C．577 D．578 【答案】B 【分析】用随机数表法抽取，按既定的方法向右读，直到取到符合条件的第8个样本为止，即可得其编号． 【详解】从第6行第6列开始抽取三位数，分别为： 808，不满足；436，满足；789，不满足； 535，满足；577，满足；348，满足； 994，不满足；837，不满足；522，满足； 535，前面已有，故不满足；578，满足； 324，满足；577，前面已有，故不满足； 892，不满足；345，满足，且为第8个样本的编号. 故选：B. 3．（25-26高一下·全国·期末）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，结合众数和中位数的定义与求法，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得用电量为180度的家庭最多，有7户， 所以这20户家庭该月用电量的众数是180； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，160， 所以这20户家庭该月用电量的中位数是160． 故选：D. 4．（25-26高一下·贵州遵义·期末）一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用分层抽样的定义求解. 【详解】由题意可知 抽取男运动员的人数为. 故选：B. 5．某电商平台在2025年3月对其用户进行了一项关于每月消费金额的调查．该平台用户可分为普通会员、白银会员、黄金会员和钻石会员四个等级，各等级用户人数的比例为．调查采用分层随机抽样，按照各等级用户人数比例抽取样本．已知样本中普通会员、白银会员、黄金会员、钻石会员的平均每月消费金额分别为200元、500元、800元、1200元，则估计该平台用户的平均每月消费金额为（   ） A．675元 B．510元 C．650元 D．460元 【答案】B 【分析】根据分层抽样方法，计算样本均值，估计总体均值. 【详解】. 故选：B. 6．样本数据38，133，143，177，209，151，210，223， 252，281，218，309的上四分位数是（   ） A．223 B．237 C．237.5 D．252 【答案】C 【分析】将数据从小到大排序，结合上四分位数计算公式即可求解. 【详解】数据从小到大排序：38,133,143,151,177,209,210,218,223, 252,281,309，共12个数， ，则上四分位数是第9个数和第10个数的平均数. 7．（24-25高一下·四川乐山·期末）某班级对60名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表： 分数段 人数 6 12 18 15 9 则这次测试成绩的第80百分位数是（   ） A．84 B．85 C．88 D．92 【答案】C 【分析】计算出各组的频率，根据百分位数的求解方法，即可求得答案. 【详解】由题意可知，，，，的频率依次为： ， 由于， 故这次测试成绩的第80百分位数位于内， 设为x，则，解得， 故选：C 8．（25-26高一下·贵州遵义·月考）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用百分位数的定义结合已知条件求出、的值，即可求得的值． 【详解】解：甲组数据25，27，36，，43，57共6个数， 乙组数据23，，32，43，47，54共6个数， 由，则甲组数据的分位数为27，可知； 由，则乙组数据的分位数为，可知，． 则． 故选：B． 10．（25-26高一下·河南南阳·期末）下图是国家统计局发布的2024年10月份至2025年10月份商品零售额与餐饮收入的同比增长速度折线图，下列说法错误的是（   ）    A．2025年10月份商品零售额同比增长速度为 B．2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为 C．2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同 D．2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为 【答案】D 【分析】根据折线图逐一计算判断即可 【详解】对于A，2025年10月份商品零售额同比增长速度为，故A正确； 对于B，2025年3-10月份商品零售额同比增长速度的极差为，故B正确； 对于C，2025年前四个月商品零售额同比增速平均值为， 2025年前四个月商品餐饮收入同比增速平均值为， 故2025年前四个月商品零售额与餐饮收入同比增速平均值不相同，故C正确； 对于D，因为， 所以2025年3-10月份餐饮收入同比增长速度的分位数为，故D错误. 故选：D. 11．（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）若一组样本数据的平均数为5，方差为3，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方差和平均数的定义进行求解即可. 【详解】因为一组样本数据的平均数为5，方差为3， 所以， ， 的平均数为 的方差为. 故选：A 12．某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（    ）    A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的25% C．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过50% D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数少 【答案】B 【分析】根据饼形图和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图的数据进行分析，逐项判断即可. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为，占芯片、软件行业从业者的， 而芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位人数的比例， 故无法确定两者人数的多少，所以选项Ａ不一定正确； 对于B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占比为， 所以超过从事这两个行业总人数的，所以选项Ｂ正确； 对于C，从饼图可看出芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，所以选项C不正确； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 占芯片、软件行业从业者的，“80前”占比，所以选项Ｄ错误. 故选：B. 13．（24-25高一下·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 14．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 【答案】D 【分析】由该组数据中位数为3时得到该组数据情况不满足和为8即可判断A；由该组数据和为8得到数据4出现的次数情况即可分析求解判断B；由极差为5得到该组数据情况不满足和为8即可判断C；通过举例可判断D. 【详解】设该组数据从小到大排列为，且，， 则由题， 对A，当该组数据中位数为3时，则该组数据满足， 则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，故A错误； 对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个， 当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为， 此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误； 对C，若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1， 则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾， 所以该组数据极差不可能为5，故C错误； 对D，当该组数据为时， 该组数据方差为，故D正确. 15．（多选题）为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（   ） A．身高在A层次中的女生人数比男生多 B．身高在B层次中的人数最多 C．身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D．身高在E层次中的男生有3人 【答案】BCD 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人， 样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人， 所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误； 对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多， 所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 故选：BCD 16．（多选题）（24-25高一下·广东汕头·期末）在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少不失球 【答案】ACD 【分析】平均数反映数据的集中趋势，标准差反映数据的离散程度（波动大小），通过分析两队的平均失球数和失球个数的标准差来判断各选项的正确性. 【详解】对于A,由甲队每场比赛平均失球数是1.5,乙队每场比赛平均失球数是2.1, 说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 对于B、C,甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1， 乙队全年失球个数的标准差是0.4， 说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大， 所以甲队的表现时好时坏，起伏较大，故B错误，C正确； 对于D，乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小， 说明乙队的表现较稳定，经常失球,故D正确. 故选：ACD 17．（多选题）（24-25高一下·广东汕头·期末）某水果店为了解本店苹果的日销售情况，依据过去60天苹果的日销售量（单位：kg）绘制了频率分布直方图（同一组数据用区间中点值作代表），则下列选项正确的有（    ） A．直方图中的 B．过去60天苹果日销售量的平均数估计值为52kg C．过去60天苹果日销售量的众数估计值为50kg D．过去60天苹果日销售量的中位数估计值为55kg 【答案】AB 【分析】利用各组频率之和为1可求解的值，进而判定A；根据平均数、众数以及中位数的计算公式即可判定BCD. 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，平均数为，B正确； 对于C，众数为频率最大的一组的中间值，故C错误； 对于D，由于， 设中位数为，则，解得，故D错误. 故选：AB 18．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象.已知数据，，，…，是上海普通职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法错误的是（    ） A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 【答案】ACD 【分析】利用平均数、中位数与方差定义判断即可得. 【详解】插入大的极端值，平均数增加，中位数可能变大也可能不变， 方差会因为数据更加分散而变大，故B正确，A、C、D错误. 故选：ACD. 19．（多选题）某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损． 成绩／分 5 6 7 8 9 10 人数 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则（   ） A．众数为9 B．极差为5 C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数 【答案】ABD 【详解】A. 9分人数为10人，是已知各分数段中最多， 由于5分（设为x人）与6分（设为y人）总人数为8人（）， 任一分数人数最多为8，不可能超过10，因此众数必为9，故正确； B.最低分为5分，最高分为10分，极差为 ，故正确； C.总人数40，第30百分位数位置为 ，即取第12和第13个数据的平均值， 前8个数据为5分或6分，第9至16个数据均为7分 第12、13个数据均为7 第30百分位数为7，故选项错误. D.中位数：第20、21个数据位于8分区间（前16个为5/6/7分，第17–23为8分） 中位数为8， 平均数计算： ， 因 ，故 ，即平均数小于中位数. 20．（多选题）（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【分析】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 21．（25-26高一下·甘肃·期末）从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数为，方差为，中位数为99.7 (3)答案见解析 【分析】（1）由图表绘制直方图即可； （2）根据直方图，结合平均数、中位数的概念求值； （3）根据质量指标值不低于95的产品所占比例说明即可. 【详解】（1） 质量指标值分组 频数 6 26 38 22 8 频率/组距 0.006 0.026 0.038 0.022 0.008 则频率分布直方图如下图所示： （2）质量指标值的样本平均数为： ， 质量指标值的样本方差为： ， ∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104． 第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38， ∵，， ∴中位数落在第三组内，设中位数为x， 则，解得， 因此，中位数为99.7； （3）质量指标值不低于95的产品所占比例约为， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 22．（25-26高一下·北京·月考）某校高二年级期中考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值； (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在的学生中抽取13人，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据， ①试估计本次考试的中位数； ②假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，估计本次考试的平均分． (4)已知落在的平均成绩是76，落在的平均成绩是91，求两组成绩合并后的平均数． 【答案】(1)； (2)； (3)①，②； (4). 【分析】（1）根据频率和为1求的值； （2）根据分层抽样的方法求解； （3）利用频率分布直方图估计中位数和平均数即可； （4）利用平均数公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，解得. （2）其中成绩在的学生有人； （3）①因为，所以中位数位于， 设中位数为，则，解得， 所以本次考试的中位数为； 本次考试的平均分为； （4）. 23．（25-26高一下·河南南阳·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的平均数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1)；84 (2)74 (3)62；37 【分析】（1）根据频率分布直方图频率关系可得的值，再根据百分位数的概念求解样本成绩的第75百分位数即可； （2）根据频率分布直方图计算平均数即可； （3）根据样本的平均数与方差求解总体的平均数与方差即可. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1， 可得， 解得； 成绩在的频率为， 则第75百分位数为． （2）由频率分布直方图可得样本平均数为 ． （3）可知成绩落在的人数为人， 成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为， 则总体方差为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $