微专题9 等差数列、等比数列的基本量问题 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第2章 · 数列 · 大单元4 等差数列与等比数列 高中数学二轮复习专题讲义 09微专题9等差数列、等比数列的基本量问题  首项、公差（公比）、项数、通项、前 项和——五个基本量是数列问题的通用货币。二轮的任务不是背公式，而是练熟两件事：把任何条件翻译成基本量方程，以及把等差、等比的性质当“秒杀工具”用。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 等差、等比数列的基本量问题在高考中“小题保分、大题开门”：选填考性质与基本量的互相让路，大题第一问几乎必考基本量方程或等差、等比的判定。二轮不重背公式，重两条流程——条件翻译成基本量方程的顺序，以及判定等差等比时“定义、中项、通项”三条路的选择。 表前先交代取舍。2026 年全国Ⅰ卷第 7 题以一百零八塔的行数为壳，实质是“每组的两个数之和构成等差数列”，突破口在奇偶与整除而非公式；该题整题已由微专题 10 的考情表认领，本讲不重复列行，只借它的分组结构作题型三的母题（例题 3）。同年全国Ⅱ卷第 10 题先用 定公比，再判四个关于 的命题，作变式 1-2；同卷第 12 题是“两项定基本量求 ”的干净样本，收进训练 A 组，2024 年新课标Ⅱ卷第 12 题与它同型（求 ），表内不重复列示。2025 年新课标Ⅰ卷第 16 题的第 (1) 问“证明 为等差数列”属判定与证明，其求和与导数交汇的第 (2) 问归微专题 10；同卷第 13 题用前 4 项、前 8 项和定公比，是 的标准应用，作变式 3-2。2023 年新课标Ⅰ卷第 20 题的第 (1) 问作例题 1，第 (2) 问“由 成等差反求 ”分类与运算都重，收进训练 B6；2022 年新高考Ⅰ卷第 17 题的第 (1) 问作例题 2，第 (2) 问裂项放缩收进训练 B7。 三条命题线索如下。其一，条件从“直接给项”升级为“给复合结构”：2025 年Ⅰ卷给 ，2023 年Ⅰ卷给 ，2022 年Ⅰ卷给 ——先拆壳、再翻译成基本量方程的顺序不能乱。其二，多选题把公比方程与 的结构捆在一起考判断：2026 年Ⅱ卷第 10 题四个选项里，定 靠解方程，比 与 靠 的尾项符号，验 靠作差后归到 ，一个选项一条通路。其三，情境化继续下沉到小题：2026 年Ⅰ卷第 7 题用塔群行数考分组与等差， 的取值由“全为奇数”逼出来，这类题算得快不如看得准。 表 1: 等差数列、等比数列基本量考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 10 由 定 ，判断 的四个命题（多选） 2026 全国Ⅱ卷 12 两项定基本量求 （填空） 2025 新课标Ⅰ卷 16 成等差的判定；第 (2) 问求和归微专题 10 2025 新课标Ⅰ卷 13 正项等比的前 4 项、前 8 项和定公比（填空） 2023 新课标Ⅰ卷 20 基本量方程求通项；由 成等差反求 2022 新高考Ⅰ卷 17 成等差： 与 互化求通项 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺概念，先给速查表，再给三条结论清单；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 基本量问题三题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 基本量方程 条件全落在具体项值或含 的等式上（如 、） 全部化成 与 （或 ）的方程，解方程组 例题 1、变式 1-1、变式 1-2 二 · 判定与证明 问“证明某数列是等差（比）数列”，或已知复合数列成等差反求参数 定义法、中项法、通项法三选一，书写对一切 成立 例题 2、变式 2-1、训练 B6 三 · 性质运用 条件或目标含等距项、中项、隔项、分组和（如 与 同现、 与 同现） 性质秒杀：等距项和（积）相等、中项替换、 例题 3、变式 3-1、变式 3-2 结论一 · 基本量方程的“知三求一” 等差：，；等比：，（）。五个量 知三求二。解方程优先做整体代换——很多题不必求出 和 本身，只需求 、 这样的组合。 结论二 · 判定等差、等比的三条路 定义法最稳：（对一切 ）判等差；（对一切 ，且各项非零）判等比。中项法： 判等差， 判等比（正项时开方取正）。通项法： 型必等差， 型必等比。三条路各管一类条件，选定一条写到底，不要中途换路。 结论三 · 性质秒杀清单 等差：（中项性质）；等距项和相等，；偶数项和 。等比：等距项积相等，； 成等比（各段和不为零时），由此直接得 。注意三件事：等比中项开方有 两个值，只有各项同号才能省负号； 时 随奇偶变号，凡“对一切 ”的结论要分奇偶试；用性质前先核对下标是否等距，不等距就回基本量。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 设基本量 → 核心推演 → 定论收束。第四步“定论收束”专管三件事—— 的检验、参数的分类、结论的完整表述。 （一）题型一：基本量方程 题型识别。题面条件全部落在具体项的值上——、、、 是多少——或者给出一个含 的复合数列的值。处理流程始终是：把条件统统翻译成关于 与 （或 ）的方程。 通法模型。第一步认模型：条件在谁身上，方程就写在谁身上；第二步设基本量：代通项、求和公式把每个条件“降维”成 的方程；第三步核心推演：解方程组，优先整体代换；第四步定论收束：用 之类的附加条件舍根、用 检验通项。 例题 1（题型一·基本量方程） 设等差数列 的公差为 ，且 。令 ，记 分别为数列 ， 的前 项和。(1) 若 ，，求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：条件 与 全部落在具体项值上，是标准的基本量方程题； 的分母是 ，所以还要先把 用 表示出来。 第 2 步 · 设基本量： 化为 ，整理得 。于是 ，从而 。这里选 作主元而不是 ，因为 已经把两个基本量压成一个，而题面又给了 这一取舍条件。 第 3 步 · 核心推演：；（ 是等差数列，但只取三项，逐个相加比套求和公式更快）。由 得 ，两边乘 整理得 ，解得 或 。 第 4 步 · 定论收束：由 舍去 ，故 ，。检验： 时 成立；， 与题面相符。 方法点睛 · 复合数列先“拆壳” 像是新数列，其实它的“壳”只是把 包了一层：先把 用基本量写出， 立刻约简成 。二轮遇到复合数列，第一动作永远是问“壳里面的量我能不能先用基本量表示”，能则壳不再是障碍。 变式 1-1（题型一·由 求通项并判定） 已知数列 的前 项和 ，求 的通项公式，并证明 是等差数列。 解析 第 1 步 · 认模型：条件给的是 的表达式，求 ——走 与 互化的标准流程。 第 2 步 · 设基本量： 时，。 第 3 步 · 核心推演：当 时，。 第 4 步 · 定论收束： 时 ，也满足，故 。又 （对一切 ），由定义法知 是首项为 3、公差为 4 的等差数列。 方法点睛 · 与 互化的“分段+检验” 与 互化有三句口诀： 单独算、 用作差、算完回头验。验什么？验 是否符合 的通项——符合则合并写，不符合则分段写。这一步是阅卷最常见的扣分点。 变式 1-2（题型一·由一项等式定公比再判和） 设等比数列 的公比 ，，，记其前 项和为 ，则（　　） A．　　B． C．　　D． 解析 第 1 步 · 认模型：题干只有一条等式 ，先把它翻成 的方程；四个选项都建立在 已定之上，所以顺序是“一定 、二写 结构、三逐项验”。 第 2 步 · 设基本量：，代入得 。 保证可以约去 （这是题面给 的动机），得 ，即 。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，A 正确。于是 ： 为奇数时括号大于 1， 为偶数时小于 1，故 B 不恒成立。C 作差归类：，C 正确。D 把 求和：，因 且 ，D 正确。 第 4 步 · 定论收束：选 ACD。B 用一个反例即可否： 时 。 易错微警 · “对一切 ”与“存在 ” 选项写成 而未加限定，阅卷按“对一切正整数 ”理解。负公比数列的 必随 的奇偶摆动，凡遇这种量词模糊的不等式，先代 两值试探，一试就破。 （二）题型二：判定与证明 题型识别。题面出现“证明 是等差（比）数列”，或给出“某复合数列成等差”间接描述 。 通法模型。判定三法按条件选：条件是递推差式用定义法；条件含中项结构用中项法；条件已给出 或复合通项，先化简成 的结构再用通项法。书写时必须说明“对一切 成立”，等比还要交代各项非零。 例题 2（题型二·由 成等差求通项） 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列。(1) 求 的通项公式。 图 1: “ 成等差”的图象意义：点列落在直线上 解析 第 1 步 · 认模型：“ 是公差为 的等差数列”且首项 ，故 ——条件先翻译成 与 的关系式。 第 2 步 · 设基本量：整理得 。它把 和 绑在一个式子里，这正是“由 求 ”的标准入口。 第 3 步 · 核心推演：当 时，。两式相减：，整理得 ，即 。 第 4 步 · 定论收束：累乘：， 时也成立。故 。 方法点睛 · 累乘的“对消骨架” 比值 里带着 ，逐层写出后分子分母交叉对消： 每项都比前一项“错一位”。写累乘时把最后一项 先写好，再倒着填分子，就不容易漏项——第 4 步的 检验在累乘题里永远不能省。 变式 2-1（题型二·中项结构的等比判定） 已知数列 的各项均为正数，且 对一切 成立。证明： 是等比数列。 解析 第 1 步 · 认模型： 是等比中项的结构，但“有中项结构”不等于“是等比数列”——必须推出 为与 无关的常数。 第 2 步 · 设基本量： 各项均为正，所以可以放心地对 两边同除以 （各项非零是等比的底线）。 第 3 步 · 核心推演：除得 ，对一切 成立。这说明数列 的任意相邻两项相等，故它为常数，记为 ，即 对一切 成立。 第 4 步 · 定论收束：由定义法， 是等比数列，公比 。书写要点：正项条件用在“除法合法”上，缺了它这一步不成立。 易错微警 · 中项式不等于公比 只说明 是 的等比中项，并不直接给出公比。判定必须落到“ 是与 无关的常数”这句话上，写成 就收工，拿不到判定分。 （三）题型三：性质运用 题型识别。条件或目标里出现“等距项的和或积”“中间项与前 项和同现”“分组之后仍成等差”——如 与 同时出现、前 4 项和与前 8 项和同时给出、12 个数要分成 6 组。 通法模型。先用性质把条件“瘦身”（减少未知量个数），剩下的量若仍不够，再回到基本量方程；性质与基本量不是二选一，而是“先性质、后基本量”的两级火箭。分组类问题多一步：先用全体之和锁定组和新数列的首项与公差之间的关系，再用奇偶、正负、大小范围筛掉不可能的取值。 例题 3（题型三·分组之后构成等差数列） 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，该塔群共有 108 座塔，依山势自上而下排成 12 行，将第 行中塔的座数记为 （），其中 ，，，且 是一个首项为 7、公差为 2 的等差数列。将 分为 6 组，每组 2 个数，使得每组的 2 个数之和可构成一个项数为 6 且公差为 （）的等差数列，则 （　　） A．2　　B．4　　C．6　　D．8 图 2: 上为 12 行塔数，下为分组后的 6 个组和 解析 第 1 步 · 认模型：题目要求的不是某一项，而是“6 个组和构成等差数列”这一结构的公差。凡是“若干个量构成等差数列”，第一动作都是设出它的首项与公差，再用总和把两者绑住；而 12 个数的总和由“共 108 座塔”直接给出，这是本题最值钱的一个条件。 第 2 步 · 设基本量：先把 12 个数写全： 到 依次为 7,9,11,13,15,17,19，于是全体为 1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19，相加恰为 108，与题面“108 座塔”互验，说明读题没有漏项。设 6 个组和依次为 。 第 3 步 · 核心推演：总和锁定：，即 。接着筛根，靠的是奇偶而不是解方程：12 个数全是奇数，每组两数之和必为偶数，故 偶、 偶。由 且 为偶数，需 能被 4 整除；，，故 。在 与四个选项中只剩 （此时 ）与 （此时 ，组和不可能为负，舍）。 第 4 步 · 定论收束：还剩存在性一关： 时 6 个组和应为 8,12,16,20,24,28，确实配得出来——5+3=8，11+1=12，13+3=16，15+5=20，17+7=24，19+9=28，12 个数恰好用尽。故选 B。 方法点睛 · 先锁总和，再筛奇偶 “分成若干组后仍成等差”这类题，代数上永远少一个方程，硬解必卡。顺序应是：用全体之和定住 与 的关系 → 用项的奇偶、正负、上下界筛掉多余解 → 用一次真实分组做存在性检验。三步齐全，才不会选到“算得出、配不出”的公差。 变式 3-1（题型三·等差的中项性质） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值。 解析 第 1 步 · 认模型： 与 同时出现——等差中项性质 的标志，先问“项数是不是奇数、中间项是谁”。 第 2 步 · 设基本量：，这正是中项性质的来源：奇数项求和平均下来每项都等于中间项。 第 3 步 · 核心推演：由 得 。而 恰是以下标 5 为中心的等距三项，，故 。 第 4 步 · 定论收束：。对比基本量做法：设 只能得到一个方程 ， 无从定出，硬算必然卡住——这一步正是“先性质”的价值。 方法点睛 · 中项性质的两次连用 与 是同一件事的两种写法：前者把“和”折成“项”，后者把“几项”折成“一项”。看到 这类奇数项和，先折成中间项，再决定要不要回到 。 变式 3-2（题型三·等比的段和性质） 若一个正项等比数列的前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，则该等比数列的公比为 ______。 解析 第 1 步 · 认模型：给出 与 ，是“段和”结构——第 5 到第 8 项恰是前 4 项各乘 ，先试 ，不要急着展开 。 第 2 步 · 设基本量：先排除 ：若 ，则 ，矛盾，故 ，段和性质可用。 第 3 步 · 核心推演：，代入得 ，解得 ，故 。 第 4 步 · 定论收束：“正项”两字用来舍负：各项为正时 ，故 。检验：，前 8 项和 ，相符。 易错微警 · 开偶次方先问符号条件 的解是 两个，舍哪一个必须由题面的“正项”给出，不能凭习惯默认取正。同理， 之后写 也要看各项符号；没有符号条件时，答案就该是两个。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“互化检验”与“性质误用”两件事上，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（公式与流程类） 错误表现 错因 正确做法 由 求 后直接写“”，不写 把作差公式的适用范围当成了全体正整数 先写 ：； 时作差；算完检验 是否并入通项 等比数列求和不讨论 套用 时分母为零 先分类： 时 ； 时再用公式 累乘求通项时漏项或错位 对消骨架没有先写“最后一项” 先写 ，再倒序填分子分母，最后补乘 并检验 表 4: 高频错误及其纠正（性质与符号类） 错误表现 错因 正确做法 由 直接写“”之类 混淆等比中项的两个值与数列本身的公比 中项开方有两个 ；判定等比只能走“比值恒定”的定义法 约去 、 等因子不说明非零 等比数列各项非零的前提被默认 书写一句“等比数列各项均不为零，故 ”再约分 把性质 用到非等距项上 只记结论不记下标等距的前提 用性质前先检查下标是否等距；不等距就回基本量 分组、构造类题解出公差就收尾 把“必要条件有解”当成“对象存在”，漏掉存在性检验 像例题 3 那样真配出一组具体分法，配不出来就说明该取值要舍 动笔前的四句自查 条件翻译成 了吗？互化后 检验了吗？用性质前下标等距、各项非零都确认了吗？结构不良题所选的两个条件彼此独立吗？——四句都答“是”，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组 7 题练基本动作（题型一 4 题、题型二 1 题、题型三 2 题），B 组 8 题练迁移与综合，其中 B6 需要分类讨论、B8 为结构不良题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 等差数列 中，，，则公差 （　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 A2 等比数列 中，，公比 ，则前 3 项和 （　　） A．24　　B．26　　C．30　　D．36 A3 记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 ______。 A4 等差数列 中，，则 ______。 A5 已知等比数列 的前 项和 （ 为常数），则 ______， 的通项公式为 ______。 A6 （多选）下列条件中，能推出数列 为等差数列的是（　　） A．（）　　B． C．（ 为前 项和）　　D． A7 各项均为正的等比数列 中，，则 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （　　） A．24　　B．28　　C．30　　D．32 B2 （多选）等比数列 中，，公比 ，则（　　） A．　　B． C．　　D． 是单调递减数列 B3 数列 的前 项和 ，则 ______。 B4 已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 B5 已知 为等比数列，，，求 的值。 B6 设等差数列 的公差为 ，且 。令 ，记 分别为数列 ， 的前 项和。(2) 若 为等差数列，且 ，求 。 B7 记 。证明：。 B8 等差数列 的前 项和为 。从条件“①”、“②”、“③”中任选两个作为已知条件，求 的通项公式与 的值；若所选条件不足以确定数列，请说明理由。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】B 【解析】，故 ，选 B。 【母题溯源】题型一·基本量方程。用“两项之差直接给出 ”省掉 ，与例题 1 第 2 步的整体代换同源。 A2　　【答案】B 【解析】；也可用公式 （ 才能用），选 B。 【母题溯源】例题 1 的基本量直译。只加三项时逐项相加比套公式快，这是“知三求二”的省算版本。 A3　　【答案】24 【解析】由 得 ，，故 。另解：，，两法互验。 【母题溯源】题型一·基本量方程。先用一项定 ，再选求和公式形式，与例题 1 第 3 步一致。 A4　　【答案】5 【解析】 与 是以下标 3 为中心的等距两项，，故 。 【母题溯源】变式 3-1 的等距项和。看到下标 1,3,5 成等差，先折中项，不要展开成 。 A5　　【答案】； 【解析】 时 ； 时 。 为等比数列，首项必须并入上式：，得 ，此时 ，，。检验：，相符。 【母题溯源】变式 1-1 的“分段加检验”。那里检验通过则合并，这里检验失败反而定出参数—— 的常数项必须与指数项配对。 A6　　【答案】ABC 【解析】A 是等差中项式， 移项即 ，对一切 成立，是等差；B 是通项法， 为常数；C 中 时 ， 也落入上式，公差为 2，是等差；D 的差随 变化，不是常数，不能推出。故选 ABC。 【母题溯源】变式 2-1 与结论二·判定三条路。C 项再次考“ 要不要单独写”，漏检验就会误判为“非等差”。 A7　　【答案】8 【解析】 与 等距于 ，故 。各项为正，，得 。 【母题溯源】例题 3、变式 3-2 的等比段积性质。若删去“各项为正”，答案应写 ——符号条件决定能不能舍负。 （二）B 组 B1　　【答案】C 【解析】，得 ；又 ，故 ，选 C。 【母题溯源】变式 3-1 的两步连用：先把奇数项和折成中间项，再把等距三项折成中间项。 B2　　【答案】ABC 【解析】。，A 正确；，B 正确；，C 正确；数列正负交替、绝对值递增，既不单调递减也不单调递增，D 错误。故选 ABC。 【母题溯源】变式 1-2 的奇偶摆动。 时凡“单调”二字一律不成立，判断前先看符号列 B3　　【答案】 【解析】 时 ； 时 。 时 ，并入成立，故 （，）。 【母题溯源】变式 1-1 的分段与检验。（无常数项）必为等差数列，公差 。 B4　　【答案】；当 时 【解析】。当 时， 与 相减得 ，即 ，故从第 2 项起是公比为 3 的等比数列，（）。检验 ：，通项必须分段书写。 【母题溯源】例题 2 的 与 互化。作差相减的前提是 ， 这一段只能单独算——本题恰好落在“分段”分支上。 B5　　【答案】 【解析】设 （以 为起点更省，因条件从 开始）。第一条件：，，由等比数列各项非零知 ，约去得 。第二条件：。目标 ，而 ，开立方得 ，故 。 说明 ，等比数列允许负公比，结论合理。 【母题溯源】结论三·等距项积与幂的改写。把 认作 是唯一的巧劲，其余全是直译。 B6　　【答案】 【解析】由 得 ，，。 成等差，取中项条件 ，即 ，两边乘 得 ，即 。以 代入：，整理得 ，即 。 分类回代检验充分性：若 ，则 ， 为公差 的等差数列，成立；若 ，则 ， 为公差 的等差数列，也成立。两支都要往下算。 第一支 ：，。由 得 ，两边乘 除以 99：，即 ，故 或 （舍，因 ）。 第二支 ：，。由 得 ，即 ， 不满足 ， 亦舍。 综上，。 B7　　【答案】证明见解析 【解析】由 得 ，裂项相消： 等号左边恒小于 2 且随 递增，故不等式对一切 成立。 【母题溯源】例题 2 的通项 逆向拆分；裂项相消的系统方法见微专题 10。 B8　　【答案】选①②或选②③：，；选①③：条件不足以确定数列 【解析】先拆条件的独立性。等差数列中 ，所以③“”等价于“”，与①完全重复——选①③只得到一个方程 ，两个未知量，数列不唯一。例如 、 与 、（常数列 ）都满足①③，但 分别为 120 与 50，故这一组不能求解。 选①②：， 即 。由 代入得 ，，，故 ，。 选②③：由③得 （即回到①），与②联立同上，，。也可直接算：， 与 相减得 ，，结果一致。 【母题溯源】结构不良题的实质是“先验条件的独立性，再解方程组”，与例题 1 第 2 步的“把条件降维成 的方程”是同一步的两种问法：能列出两个独立方程才谈得上求解。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $