4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．一个等差数列共有偶数项，偶数项之和为84，奇数项之和为51，最后一项与第一项之差为63，则该数列的公差为(　　) A．2 B．3 C．4 D．11 解析：选B.设等差数列共有2n项，公差为d，则S偶－S奇＝nd＝33. 因为a2n－a1＝(2n－1)d＝63，故＝，故n＝11，d＝3. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且－＝4，则a9－a6＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选D.设等差数列{an}的公差为d， 所以数列是公差为的等差数列，所以－＝4×＝4，解得d＝2， 所以a9－a6＝3d＝6. 3．若等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和S3m为90，则它的前2m项和S2m为(　　) A．30 B．70 C．50 D．60 解析：选C.因为在等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， 所以2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m， 所以2(S2m－20)＝20＋90－S2m，所以S2m＝50. 4．(2026·南昌月考)已知项数为奇数的等差数列共有n项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数n为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：选D.设等差数列{an}的公差为d， 由题知S奇＝a1＋a3＋…＋an；S偶＝a2＋a4＋…＋an－1， 所以S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(an－an－1)＝a1＋d＝a＝12， 因为S奇＋S偶＝＝na＝132， 所以n＝＝＝11，即项数n为11. 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和．若S4＝12，S8＝40，则T12＝(　　) A．49 B．50 C．51 D．52 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d， 因为S4＝12，S8＝40，可得解得所以Sn＝＋×1＝，所以＝， 所以T12＝×(3＋4＋…＋14)＝××12＝51. 6．(多选)(2026·苏州月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝18，S9＝108，则(　　) A．数列{an}的公差为2 B．a5＝2a2 C．S6＝4S3 D．－＝2 解析：选AB.设等差数列{an}的公差为d，则解得 对于A，数列{an}的公差为2，故A正确； 对于B，a5＝a1＋4d＝4＋4×2＝12，a2＝a1＋d＝4＋2＝6，则a5＝2a2，故B正确； 对于C，Sn＝na1＋＝4n＋n(n－1)＝n2＋3n， 则S6＝62＋3×6＝54，S3＝32＋3×3＝18，故S6＝3S3，故C错误； 对于D，＝＝n＋3，所以－＝(n＋4)－(n＋3)＝1，故D错误． 7．(2026·连云港月考)已知等差数列{an}共有12项，所有的奇数项和为132，所有的偶数项和为120，则公差d＝________． 解析：由题意，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝132，① a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，② ②－①可得，6d＝－12，即d＝－2. 答案：－2 8．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5－S3＝24，S7＝70，则a1＝__________． 解析：由题设S3－S1，S5－S3，S7－S5为等差数列，则2(S5－S3)＝S3－S1＋S7－S5， 所以3(S5－S3)＝S7－S1，则3×24＝70－a1，得a1＝－2. 答案：－2 9．一个有限项等差数列的前4项和为40，最后4项和是80，所有项和是300，则此数列的项数为_____________________________． 解析：设该等差数列为{an}，由题意可得，前4项和为a1＋a2＋a3＋a4＝40，① 最后4项和为an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.② 根据等差数列的性质可得，①＋②＝4(a1＋an)＝120，得a1＋an＝30. 由等差数列的前n项和公式可得，Sn＝＝15n＝300，所以n＝20. 答案：20 10．(13分)已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值．(7分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d， 所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*). (2)因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20是首项为22，公差为－6的等差数列，共有10项，所以a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50. 11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，则“∀n∈N*，an＋1＞an”是“nSn＋1＞(n＋1)Sn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.设等差数列{an}的公差为d， 若∀n∈N*，an＋1＞an，则an＋1－an＝d＞0. 若nSn＋1＞(n＋1)Sn，则＞，即为递增数列． 又因为Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d＝n＋a1－，所以＞0，即d＞0， 所以“∀n∈N*，an＋1＞an”是“nSn＋1＞(n＋1)Sn”的充要条件． 12．(多选)已知d为等差数列{an}的公差，Sn为数列{an}的前n项和．若{an}为递减数列，则下列结论正确的为(　　) A．数列{Sn}为递减数列 B．数列是等差数列 C．若{an}的前10项中，偶数项和与奇数项和之比为9∶8，且S10＝－170，则d＝－2 D．若S15＞0，S16＜0，则S8＞S9 解析：选BCD.对于A，因为数列{an}是递减的等差数列，所以d＜0.不妨设数列{an}为4，3，2，1，0，－1，－2，－3，…，则S1＝4，S2＝7，S3＝9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，＝＝n＋，是关于n的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列{an}前10项中，奇数项和为a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5， 偶数项和为a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6，所以a6∶a5＝9∶8， 设a6＝9x，a5＝8x，则5a5＋5a6＝－170，解得x＝－2， 所以公差d＝a6－a5＝x＝－2，故C正确； 对于D，S15＝＝15a8＞0，则a8＞0， S16＝＝8(a8＋a9)＜0，则a9＜－a8＜0， 所以S9＝S8＋a9＜S8，故D正确． 13．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)n·an＝1.记Sn是数列{an}的前n项和，则S100＝______． 解析：在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)n·an＝1. 当n为奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列， 因此a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×1＋×1＝1 275； 当n为偶数时，an＋2＋an＝1，因此a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a98＋a100＝1×25＝25， 所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝1 275＋25＝1 300. 答案：1 300 14．(15分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝3. (1)求a2n；(5分) (2)当n为奇数时，求数列{an}的前n项和Sn.(10分) 解：(1)因为an＋2－an＝3，所以数列a2，a4，…，a2n构成首项为2，公差为3的等差数列，所以a2n＝2＋(n－1)·3＝3n－1. (2)因为an＋2－an＝3，所以数列a1，a3，…，a2n－1构成首项为1，公差为3的等差数列，所以a2n－1＝1＋(n－1)·3＝3n－2. 设n＝2k－1，则S2k－1＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k－2)＝(1＋4＋…＋3k－2)＋(2＋5＋…＋3k－4)＝＋＝3k2－3k＋1. 又k＝，所以n为奇数时，Sn＝3－3×＋1＝. 15．(15分)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，4a1＋a3＝16，S5＝8a2. (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)若Sm＋k－Sm＝119成立，求正整数m，k的值．(10分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意有 解得所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)由Sm＋k－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝＝ ＝， 得＝119，可得k(6m＋3k＋1)＝2×7×17. 因为m，k∈N*，所以6m＋3k＋1∈N*. 因为6m＋3k＋1＞3k，所以k＝1或k＝2或k＝7， ①当时，可得满足题意； ②当时，可得不符合题意，舍去； ③当时，可得满足题意． 综上，m＝39，k＝1或m＝2，k＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $