微专题4 三角形中的三角函数问题讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元2 三角恒等变形与解三角形 高中数学二轮复习专题讲义 04微专题4三角形中的三角函数问题  三角形只有三个角、三条边，却同时受“内角和为 ”“大边对大角”“两边之和大于第三边”三重约束。二轮的任务不是重背正余弦定理，而是练熟两条流程：把角的条件翻译成内角关系，把范围问题压成单角函数。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近两届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 三角形中的三角函数问题在高考中“小题考判断、大题考范围”：选填多用内角和与诱导公式判断形状或定角，解答题则把内角约束与面积、周长、最值捆在一起。2026 年两套新课标卷继续把这一模型放在解答题前三题的位置，说明它是必须拿稳的基本盘。 表前先说取舍：2026 年新课标Ⅱ卷第 17 题完整呈现“角条件—钝角判断—面积周长”的链条，作为本讲母题；2026 年Ⅰ卷第 16 题与 2024 年Ⅰ卷第 15 题以边角互化、图形分解为主，归微专题 5；2023 年Ⅰ卷第 17 题是“内角和定角”的典范，收作变式 1-1；2022 年Ⅰ卷第 18 题把恒等变形与范围最值结合，作为题型二的母题。2025 年Ⅰ卷第 11 题以三角形为背景命制多选，公开流传的回忆版条件彼此不相容，本讲不引原题，只在训练 B4 用同构原创多选承接这一考法。 表 1: 三角形中的三角函数问题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 新课标Ⅱ卷 17 由 判断钝角；面积求周长 2023 新课标Ⅰ卷 17 内角关系 定角；求边上的高 2022 新高考Ⅰ卷 18 恒等变形得 ；求比值的最小值 三条线索：其一，条件从“给角求角”转向“给角的方程判断形状”，2026 年Ⅱ卷第 17 题要先消元、再由余弦异号定钝角；其二，范围与最值常与面积、周长、余弦定理交织，2022 年Ⅰ卷第 18 题要先定出 才有定义域；其三，结构不良成为稳定考法，选错条件不是算错，而是根本算不下去。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺概念。先给三模型速查表，再给三条结论；表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 三角形中的三角函数问题三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 内角约束 条件只含角：角的和差、倍角、正余弦值，或问“判断形状”“求某角” 用 消元，化成单角方程或两角差为零 例 1、变 1-1 二 · 范围与最值 求周长、面积、边比、角度的范围或最值，常见“一角一边” 正弦定理化角后收成单角函数；或余弦定理配基本不等式 例 2、变 2-1 三 · 结构不良 “从①②③中任选一个”，条件多于所需 先盘点已知，选能唯一定角或定边的条件，再按前两个模型走 例 3、变 3-1 结论一 · 内角和的三条变形 给出三条可直接调用的变形：，，。看到 、、 就立刻换掉，三元降成两元。另记：，但 。 结论二 · 范围问题的两条主线 主线一（定角定边）：先由正弦定理锁定 ，把每条边写成 （ 为该边所对的角），目标化成 ，再用“两角为正”给出 的范围，最后卡值域。主线二（定角加边的关系）：用余弦定理写出 与 的关系，用基本不等式求 或 的最值，等号成立必须回检能否构成三角形。 结论三 · 结构不良的选题口诀 “能定角的不选边，能定边的不解方程，会出两解的先排除。”选定后开头写“选择条件×”，全程只用一个条件；三个条件若都算，答案不同是正常的，但阅卷只认你声明的那一个。 ▶ 三、高频题型突破 三个题型分别对应“角的关系”“范围最值”“结构不良”，每题统一按四步展开：认模型 → 译条件 → 核心推演 → 回检收口。第四步“回检收口”专管三件事——内角是否都为正、三角形是否真的存在、取等条件能否达到。 （一）题型一：内角的约束 题型识别。条件只含角——角的和差、倍角、正余弦值，或只问“判断形状”“求某个角”；边即使出现也只是陪衬。 通法模型。先用 把出现的 、、 换掉；再用和差角、二倍角把条件收成“一个角的方程”或“两角差为零”；最后用内角范围回检。 例题 1（题型一·内角和消元） 在 中，已知 ，。 (1) 证明： 为钝角三角形； (2) 若 的面积为 ，求 的周长。 解析 第 1 步 · 认模型：条件只含角且出现 ，用内角和消元；第 (2) 问面积与周长同时出现，再回到边，用正、余弦定理接力。 第 2 步 · 译条件：，故 ，，代入得 。又 ，故 。 第 3 步 · 核心推演：(1) 而 ，故 与 异号， 中恰有一个钝角， 为钝角三角形。 (2) ，由 得 。由正弦定理 ，故 ，，即 。再由余弦定理 ，得 ，故 ，，周长为 。 第 4 步 · 回检收口： 且 ，故 ；三边 满足 。最大边 2 所对角的余弦为 ，确为钝角；面积 ，与题设相符。 方法点睛 · 见到两角之和就换号 内角和消元的关键不是“知道 ”，而是记住它的三张面孔：、、。本题还用到一个快速判形状的结论：两角余弦之积为负，必有且仅有一个钝角。 变式 1-1（题型一·内角关系的连锁约束） 在 中，已知 ，。 (1) 求 ； (2) 若 ，求 边上的高。 解析 第 1 步 · 认模型：两个条件都只含角，且 与 同时出现，先用内角和把 定死，再把第二个条件化成一个角的方程。 第 2 步 · 译条件：由 与内角和得 ，即 。又 。令 ，则 ，条件化为 ，即 。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ；又 ，故 ，，。于是 (2) 记 ，。由正弦定理 ，故 边上的高 。 第 4 步 · 回检收口：，，，三角均为正且和为 。面积 ，与 一致。 方法点睛 · 定角之后先设角 先把 定死，再把 整体设为 ，条件就变成 的单角方程。遇到两个角条件时，先问“哪个角能被内角和直接定出”，剩下的角再整体换元。 （二）题型二：三角形中的范围与最值 题型识别。问“周长的取值范围”“面积的最大值”“某比值的最值”，题面通常给一角一边，或给一角与另一条边的关系。 通法模型。定角定边，走正弦定理化角；定角加平方关系，走余弦定理配基本不等式。先定主元（选 或 作变量），再写定义域，最后用辅助角或换元收口。 例题 2（题型二·恒等变形后的范围） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 (1) 若 ，求 ； (2) 求 的最小值。 图 1: 目标式在 上的图象 解析 第 1 步 · 认模型：条件只含角，目标却是边之比的最小值——先化简角的关系，再用正弦定理把边换成角，最后求单变量函数的值域。 第 2 步 · 译条件：右边 ，故 ，交叉相乘得 ，即 ，也就是 (1) 当 时，，故 ， 或 。但 ，故 ，只能取 。 第 3 步 · 核心推演：(2) 由 (1) 知 ，故 为钝角。又 ，即 。因为 与 都在 ，所以 ，即 。于是 ，得 。 由正弦定理， 令 ，则 。再令 ，得 ，等号当且仅当 时成立。 第 4 步 · 回检收口：此时 ，，且 ，取等条件能构成三角形。故最小值为 。 方法点睛 · 先定角，再定主元 本题的难点不在换元，而在定义域：由 先推出 ，才有 。范围题的第一步永远是“把主元的允许区间写出来”，没有区间，任何最值都是空谈。 变式 2-1（题型二·定角定边求周长范围） 在 中，，，求 周长的取值范围。 图 2: 定弦 对定角 ： 在优弧上滑动 解析 第 1 步 · 认模型：一角 与其对边 都给定，外接圆直径被锁死；周长 ，只需把 化成角函数。 第 2 步 · 译条件：，故 ，，且 ，。 第 3 步 · 核心推演： 因为 ，故 ，从而 。 第 4 步 · 回检收口：周长 。右端点当 时取到；左端点对应三角形退化，故 4 取不到。 方法点睛 · 定角定边先锁外接圆 已知一角及其对边，外接圆直径 就是定值，所有边都变成 。再用“和化积”把 压成 ，双变量立刻变成单变量；定义域由 与 共同给出。 （三）题型三：结构不良问题 题型识别。题面出现“在①②③中任选一个”“补充一个条件，使问题有解”；条件数量多于所需，答案随选择不同而不同。 通法模型。先盘点已知，看哪些量已经被锁定（常见是一角一边锁定外接圆）；再比较各条件的信息量，优先选能唯一定角或定边、且不产生两解的条件；选定后按题型一或题型二走，开头写明所选条件。 例题 3（题型三·三选一求面积） 在 中，，。请在以下三个条件中任选一个，补充在横线上，并求 的面积： ① ；② ；③ 。 解析 第 1 步 · 认模型：已知 与 ，由正弦定理 已被锁死，三个条件本质上都是“再给一个角或一条边”，属于可解的结构不良。 第 2 步 · 译条件：，，且 。 第 3 步 · 核心推演：若选①：，故 或 ；但 ，故 ，。于是 。 若选②：，故 ，，此时 ，。 若选③：，则 。此时 ，故 。 第 4 步 · 回检收口：三种选择的角分别为 、、，均能构成三角形。答案不唯一是结构不良的正常形态，答题时写清所选条件与对应结果即可。 方法点睛 · 结构不良先“盘点已知” 本题已知 ，外接圆直径已定，三个条件都变成“给一个角或一条边”，所以选谁都能走。考场上的最优选择是②： 直接给出 ，面积一步到位。选题的标准不是“哪个条件短”，而是“哪个条件能让我少解一个方程”。 变式 3-1（题型三·三选一求边） 在 中，，。从① 、② 、③ 中任选一个，求 。 解析 第 1 步 · 认模型：已知 ，先锁 ；三个条件分别给边或角，逐一对号入座即可。 第 2 步 · 译条件：，故 。 第 3 步 · 核心推演：若选①：，故 或 ； 时 ，舍去，故 ，。 若选②：，故 或 ； 时 ，舍去，故 。 若选③：，故 。 第 4 步 · 回检收口：三种选择的角分别为 、、，均合法；答案依次为 、、1。 易错微警 · 结构不良只认你声明的条件 开篇必须写“选择条件①”（或②③），然后只用这一个条件推理。若把三个条件的答案都写上却不声明，阅卷时只按第一个可辨认的答案判分；若声明了①却偷用②的数据，属于逻辑错误，整问不得分。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“内角范围”与“结构不良的书写”两件事上，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（内角与符号类） 错误表现 错因 正确做法 由 只写 忘记正弦在 上有两个解 写出 与 ，再用另外两角之和小于 排除 把 写成 诱导公式符号记错 ， 表 4: 高频错误及其纠正（结构不良与检验类） 错误表现 错因 正确做法 结构不良不写所选条件 以为三个条件都要用 开头写“选择条件①”，全程只解所选的一个 正弦定理求角不回检 出现两解时直接取锐角 两个候选角都要用“另两角之和小于 ”检验 动笔前的三句自查 内角和用了吗？主元的定义域写全了吗？两解与取等回检了吗？——三句都答“是”，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 A 组 6 题练基本动作，B 组 6 题练迁移与综合，其中 B2、B5、B6 为难题；先独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 在 中，，，则 。 A2 在 中，，则 。 A3 在 中，，，则 的最大值为 。 A4 在 中，，，则 面积的最大值为 。 A5 （多选）在 中，下列结论正确的是（　　） A． 的充要条件是 　　B． 的充要条件是 C．若 ，则 　　D．若 ，则 A6 在 中，，。从① 、② 中任选一个，求 。 （二）能力提升（B 组） B1 在 中，，则 。 B2 在锐角 中，，求 的取值范围。 B3 在 中，，。从① 、② 、③ 中任选一个，求 的面积。 B4 （多选）在 中，下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 为等腰三角形 B．若 ，则 C．若 ，则 为锐角三角形 D．若 ，则 为锐角三角形 B5 在 中，已知 ，，求角 。 B6 在 中，，求 的最小值。 ▶ 六、参考答案与解析 解析与题号一一对应，按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现。 （一）A 组 A1　　【答案】 【解析】由正弦定理 ，故 ，。又 ，故 ，所以 。【母题溯源】对应变式 1-1：用内角和与倍角把条件收成单角方程。 A2　　【答案】 【解析】，代入 得 ，故 。【母题溯源】对应例题 1：内角和消元。 A3　　【答案】4 【解析】，故 ，当且仅当 时取等。故最大值为 4。【母题溯源】对应变式 2-1：定角定边化角，和化积后卡余弦的上界。 A4　　【答案】 【解析】由余弦定理 。又 ，故 ，即 。于是 ，当 时取等。【母题溯源】对应题型二通法主线二：余弦定理配基本不等式。 A5　　【答案】ABD 【解析】A 正确：由正弦定理 ，，再结合大边对大角。B 正确： 在 上单调递减。C 错误： 还可能 ，此时 ，三角形不是等腰。D 正确： 得 或 ，后者使 ，舍去。【母题溯源】对应例题 1：判断形状时用内角范围排除第二解。 A6　　【答案】选①时 ；选②时 【解析】。选①：，故 或 ； 时 ，舍去，故 ，。选②：，故 或 ； 时 ，舍去，故 。【母题溯源】对应例题 3：结构不良先锁 ，再逐条检验两解。 （二）B 组 B1　　【答案】 【解析】由射影定理 ，代入得 ，故 ，。【母题溯源】对应例题 1：内角和与射影关系的配合。 B2　　【答案】 【解析】由 得 ；锐角条件给出 且 ，故 。又 。令 ，则 在 (1,+∞) 上单调递增，故范围为 。【母题溯源】对应变式 2-1：定义域由三个角均为锐角取交集。 B3　　【答案】选①时 ；选②时 ；选③时 【解析】选①：由正弦定理 ，故 ，，。 选②：由余弦定理 ，故 ，三角形为等边三角形，。 选③：，由正弦定理 ，故 。【母题溯源】对应变式 3-1：结构不良的三条分支，先锁 或先用余弦定理。 B4　　【答案】BC 【解析】A 错误： 还可能 ，此时 ，不是等腰。B 正确：由正弦定理，。C 正确：三余弦之积为正，不可能有两钝角，故三角全锐。D 错误：取 ，，，满足 ，但 为钝角。【母题溯源】对应例题 1：形状判断的两解陷阱。 B5　　【答案】 【解析】两式平方相加得 ，故 。和差化积得 ，。由半角公式 ，故 ，，，即 。【母题溯源】对应例题 2：先定 ，再用内角和求 。 B6　　【答案】 【解析】由和差化积，。代入 ，并利用 ，约去 ，得 。故 ，又 ，所以 ，； 时取等，最小值 。【母题溯源】对应例题 2：内角和加和差化积，把双变量收成单角。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $