微专题6 平面向量共线定理的应用 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元3 平面向量及其应用 高中数学二轮复习专题讲义 06微专题6平面向量共线 定理的应用  共线定理是平面向量的“几何开关”：题面一出现三点共线、分点、延长线，就要立刻把图形翻译成系数关系。二轮不重背定义，只练三件事：看到三点共线先写“系数和为 1”；看到分点先选基底、沿路径分解；看到系数和的范围或面积比，先画与已知直线平行的等和线。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 平面向量小题常以“基底表示”和“系数唯一性”两种面孔出现，共线定理则是连接图形与代数的枢纽：题目给中点、三等分点、延长线，最后都落在“用一组基底表示另一个向量”上；题目问系数和、面积比，背后就是三点共线的系数和为 1。 表内只收直接考查共线定理或基底表示的题。2026 年全国Ⅰ卷第 2 题收作例题 2，2022 年新高考Ⅰ卷第 3 题收作变式 2-1；纯数量积、模长与夹角归微专题 7，极化恒等式归微专题 8，解三角形中的中线与图形分解归微专题 5。例题 1、例题 3 及分层训练题为同构改编或原创，解析中不再逐一标注。 表 1: 平面向量共线定理考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 2 不共线向量的线性表示唯一性；由系数相等求 （选择） 2022 新高考Ⅰ卷 3 点 在 上且 ，用基底 表示 （选择） 两条命题线索。其一，基底表示是稳定考点：2026 年全国Ⅰ卷第 2 题把“不共线”作为系数唯一性的前提，一步列方程；2022 年新高考Ⅰ卷第 3 题把分点条件藏在“”里，先翻译成 ，再沿路径表示。两题都不需要复杂计算，考的是“看到条件先翻译”的反应速度。 其二，共线定理更多作为工具出现：与面积、数量积、解析几何结合时，它负责把“点在线上”翻成“系数和为 1”。等和线则把系数和翻译成平行线的位置，是处理系数范围与面积比的捷径；本讲例题 3 与变式 3-1 专门练这个动作。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺定义。先用一张表把三个模型的“题面长相”和“第一动作”对齐，再给三条结论清单。 表 2: 共线定理三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 三点共线 题面出现 共线，或 且问 选直线外的 ，把三点写成同一组基底，令系数和为 1 例题 1、变式 1-1 二 · 基底表示 给中点、三等分点、、延长线比例，要求表示另一个向量 选两个不共线向量作基底，沿图形路径首尾相接；分点先翻译成比例 例题 2、变式 2-1 三 · 等和线与系数范围 问系数和的范围、最值、面积比，或系数含同一参数 画与 平行的等和线；面积比用 例题 3、变式 3-1 结论一 · 共线定理的三种写法 设 。 有三种等价写法：存在唯一实数 使 ；坐标式 ；三点式—— 不在直线 上时， 在直线 上等价于 且 。分点公式： 在 上且 ，则 。 结论二 · 基底表示的路径法 选基底三优先：题目已给的、从同一顶点出发的、长度与夹角已知的。表示时从起点沿图形走到终点，遇到分点用“从起点到分点 = 比例 整条线段”，最后合并同类项。因为基底不共线，同一个向量的系数唯一，所以“同一个向量两种表示”可以直接让系数相等。 结论三 · 等和线与面积比 设 不共线，。 是直线 ； 是与 平行的直线， 越大离 越远。 在 内部（不含边界）等价于 ； 在线段 上等价于 且 。面积比 。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 选基底 → 核心推演 → 回检收束。第二步“选基底”也包含“选基点、选参数”；第四步专管三件事——系数是否在允许范围、点是否落在线段或内部、面积比是否取绝对值。 （一）题型一：共线定理与三点共线 题型识别。题面出现“三点共线”“点在直线上”“系数和为 1”，或两条线段相交、要求交点分比。 通法模型。① 直接共线：把目标向量写成另一个向量的倍数；② 三点共线：选直线外一点 ，写成 ，令 ；③ 交点问题：设两个参数，分别沿两条相交直线表示同一个向量，用基底系数唯一性列方程。 例题 1（题型一·交点定比值） 在 中，点 在边 上，且 ；点 在边 上，且 。线段 与 交于点 。若 ，求 。 图 1: 两条线段 与 的交点 解析 第 1 步 · 认模型：两条线段 与 相交，交点 同时落在两条直线上，是“交点 + 三点共线”模型。两个分点条件都给出比例，适合选 作基底。 第 2 步 · 选基底：取 ，。先把两个分点翻译成基底表示： 满足 ，所以 ； 满足 ，所以 。 第 3 步 · 核心推演：设 。因为 在 上， 又设 。因为 在 上， 同一向量在基底 下的系数唯一，故 由第一式得 ，代入第二式得 ，解得 ，。所以 。 第 4 步 · 回检收束：， 在线段 上；， 也在线段 上。两个“在线段上”的结论一致，交点位置合理。若解出 或 ，说明交点落在线段外，应回头检查分点比例的方向。 方法点睛 · 交点题设两个参数 交点问题不要急着画坐标。设 、，把同一个 写成两组基底表示，系数对应相等，得到二元一次方程组。分点比例的方向决定系数是 还是 ，写完后用“从起点走到分点”复核一遍。 变式 1-1（题型一·对称分点求表示） 在 中，点 在边 上，且 ；点 在边 上，且 。线段 与 交于点 。用 表示 ，并求 。 图 2: 两条线段 与 的交点 解析 第 1 步 · 认模型：两个分点都在从 出发的边上，交点 是两条线段的交点，仍是“交点 + 三点共线”模型。 第 2 步 · 选基底：取 ，。由 得 ；由 得 。 第 3 步 · 核心推演：设 在 上，则 又设 在 上，则 系数相等： 由第一式 ，代入第二式： 解得 ，。所以 又 ，所以 。 第 4 步 · 回检收束： 的两个系数都是 ，与 、 的对称性一致；， 在线段 上，。 方法点睛 · 对称图形先看系数 当两条边上取的分点比例相同，交点往往落在“对称”的位置；本题 ，系数相等就是图形对称的代数影子。做完用对称性回看一眼，能迅速发现比例写反的错误。 （二）题型二：基底表示与线性运算 题型识别。题目给一组不共线向量，要求用它们表示另一个向量；或给出含未知系数的线性关系，要求系数。 通法模型。① 选基底：优先题目已给的两个不共线向量；② 沿路径分解：从起点走到终点，遇到分点用比例，遇到相反方向加负号；③ 系数唯一性：把等式整理成 ，由不共线得 ；④ 坐标法：建系后把向量写成坐标，平行用交叉积为零。 例题 2（题型二·系数唯一性） 已知平面向量 不共线，且 ，则（　　） A．　　B． C．　　D． 解析 第 1 步 · 认模型：两个向量不共线，等式两边都是它们的线性组合，求系数，是“基底唯一性”模型。 第 2 步 · 选基底：以 为基底，把含未知系数的项移到同一边，整理成 的形式。 第 3 步 · 核心推演：移项得 因为 不共线，所以两个系数只能同时为 0： 故 ，，选 A。 第 4 步 · 回检收束：代回原式，左边 ，右边 ，恒等。若把“不共线”改成“共线”，系数为 0 的结论不再成立，例如 时 可以有无数组解。 方法点睛 · 不共线是系数唯一的开关 凡看到“不共线”三个字，就要想到： 当且仅当 。先把等式整理成这个标准形，再让两个系数分别为 0；不要去解向量方程，也不要把 当成数约分。 变式 2-1（题型二·分点加基底表示） 在 中，点 在边 上，。记 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 图 3: 点 把 分成 1:2 两段 解析 第 1 步 · 认模型：题给分点条件 ，要求用 表示 ，是“分点 + 基底表示”模型。关键是先把 翻译成 。 第 2 步 · 选基底：基底已经给出：，。沿 走：；再把 用 表示， 又用 表示。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，所以 ，即 。而 于是 选 B。 第 4 步 · 回检收束：取 ，，，，则 ，，，与 相符。 方法点睛 · 分点条件先翻译再走路 不是 ，方向一错全错。先把比例写成“”，再把 写成 ；然后从起点 沿已知路径走到终点 ，每遇到一个分点就换成比例。基底用题目给的 ，不要另设 再回代。 （三）题型三：共线约束下的参数范围与面积比 题型识别。题目问 中 的范围、最值，或问面积比；系数里含同一个参数 。 通法模型。① 写出系数和 与参数的关系；② 用等和线判断位置： 是 ， 是平行线；③ 内部、线段、直线分别翻译成不等式或等式；④ 面积比用 ，最后按题意决定是否取绝对值。 例题 3（题型三·等和线定参数） 已知 三点不共线，点 满足 ，。 (1) 若 在直线 上，求 ； (2) 若 在 内部（不含边界），求 的取值范围； (3) 若 的面积是 面积的 3 倍，求 。 图 4: 与 平行的等和线 解析 第 1 步 · 认模型：系数都含同一个参数 ，问直线、内部、面积比，是“等和线”模型。先写出系数和 ，再把三个几何条件翻译成关于 的等式或不等式。 第 2 步 · 选基底：取基底 ，记 ，，则 。直线 对应 ；内部对应 ；面积比对应 。 第 3 步 · 核心推演：(1) 时 ： (2) 在内部时 解得 ，，，故 。 (3) 由面积比 所以 或 ，解得 或 。 第 4 步 · 回检收束： 时 ， 在线段 上； 时 且 ， 在内部，与第 (2) 问一致。第 (3) 问 时 ， 在直线 远离 的一侧； 时 ， 在 的另一侧，两处面积比都为 3。 方法点睛 · 等和线三句话 第一句： 就是直线 。第二句： 是与 平行的直线， 越大离 越远。第三句：面积比等于 。把这三句话背成条件反射，系数和的范围、内外位置、面积比就能互相翻译。 变式 3-1（题型三·系数和定面积） 在 中，点 满足 ，且 。 (1) 求 与 的面积比； (2) 若 的面积为 3，求 的面积； (3) 若 ，说明 在什么位置。 图 5: 等和线 在 的另一侧 解析 第 1 步 · 认模型：系数和固定为 2，问面积比和点的位置，是“等和线”模型。 第 2 步 · 选基底：取基底 ，系数和 。等和线 与 （）平行；面积比用 。 第 3 步 · 核心推演：(1) (2) 由 (1) 得 。 (3) 令 ，，则 ，，所以 满足 且在线段 内部，。因此 在以 为位似中心、比为 2 的位似图形上，即在线段 内部，其中 满足 ， 满足 ；，且 在直线 异于 的一侧。 第 4 步 · 回检收束：面积相等与“同底等高”一致：，且 到 的距离等于 到 的距离，但 与 分居 两侧。，所以 不在 上，结果合理。 方法点睛 · 系数和是平行线的刻度 是基准线 ； 是把 以 为中心放大 2 倍得到的平行线。面积比只看两条平行线到 的距离，所以是 |2−1|=1，不是 2。判断在哪一侧，看 比 1 大还是小。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“比例方向写反”“忽略不共线前提”和“面积比忘取绝对值”三处，分成两张表。 动笔前的四句自查 三点共线先确认基点在直线外；分点比例先写“谁比谁”；基底表示沿路径走、不跳步；系数和与面积比先画等和线、再取绝对值。四句都答“是”，再动笔。 表 3: 共线定理与基底表示的常见错误 错误表现 错因 正确做法 把 写成 比例方向看反： 表示 靠近 ， 先写 ，再写 ；用“从 出发走一份、从 到 走两份”复核 用 且 判断三点共线时，没有确认 不在直线 上 若 在 上， 共线，表示不唯一， 不再是充要条件 先确认 不共线；基点选在直线外 基底表示时把起点不同的向量直接相加 向量加法要求首尾相接，起点不同不能直接合并 先平移到同一起点，或沿“起点 → 分点 → 终点”的路径走 表 4: 系数范围与回检的常见错误 错误表现 错因 正确做法 求系数和范围时只代端点，不看平行线的平移方向 等和线 的 有正负， 才表示距离 画出 两条基准线，按 的符号判断同侧、异侧 面积比忘记加绝对值 面积是正数，而 可能为负 写 ，再按点的位置去掉绝对值 求出参数后不回代检验 参数可能使点落在线段外、分母为零或系数不满足题设范围 把参数代回 ，检查符号、 与 1 的大小关系，再下结论 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（A1–A6），B 组练迁移与综合（B1–B7），其中 B4 为结构不良题，B5、B7 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知 不共线，且 ，则 ______， ______。 A2 在 中， 是 的中点，，则 ______。 A3 在 中，，，则 ______， ______。 A4 已知 ，， 三点共线，则 ______。 A5 （多选）已知 为平面内一点， 不共线，，则下列结论正确的是（　　） A． 时 在直线 上　　B． 在直线 上时 C． 时 在直线 上　　D． 时 A6 在 中， 是 的中点， 在 上，且 ，，则 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 在 中，点 在边 上，且 ， 是 的中点。若 ，求 。 B2 在 中，点 在边 上，且 ， 是 的中点。线段 与 交于点 ，求 。 B3 已知 不共线，点 满足 。 (1) 若 在直线 上，求 ； (2) 若 在 内部（不含边界），求 的取值范围。 B4 在 中，，，，点 在边 上。从下列三个条件中任选一个作为已知，求 的长： ① ；② 是 的中点；③ 。 B5 已知 不共线，，，，点 满足 ，且 。求 的最小值。 B6 在 中， 是 的中点， 在 上，且 。 的延长线交 于点 ，求 。 B7 已知 不共线，，，，点 满足 ，其中 ，。求 的最小值。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】， 【解析】移项得 。因为 不共线，所以 故 ，。 【母题溯源】对应例题 2：不共线向量的系数唯一性。 A2【答案】1 【解析】因为 是 的中点，所以 故 。也可由 三点共线，直接得系数和为 1。 【母题溯源】对应例题 1：三点共线的系数和为 1。 A3【答案】， 【解析】由 得 分 的比为 2:1，所以 故 ，，且 。 【母题溯源】对应例题 1：分点比例先翻译成基底表示。 A4【答案】4 【解析】，。三点共线等价于 ，所以 解得 。 【母题溯源】对应例题 2：坐标式平行的交叉积为零。 A5【答案】ABD 【解析】由三点共线定理， 不在 上时， 与 等价，A、B 都正确。 时，， 在过 且平行于 的直线上，不一定在直线 上，C 错误。 时 ，即 ，D 正确。故选 ABD。 【母题溯源】对应例题 3：等和线三句话。 A6【答案】 【解析】，，所以 故 ，，。 【母题溯源】对应变式 2-1：从同一起点 出发的基底表示。 （二）B 组 B1【答案】 【解析】由 得 因为 是 的中点， 于是 所以 ，，。 【母题溯源】对应例题 1：先表示分点，再合并基底系数。 B2【答案】3:1 【解析】取 ，。由 得 ； 是 的中点，。设 ，则 又 在 上，设 ，则 系数相等： 解得 ，。所以 。 【母题溯源】对应变式 1-1：交点设两个参数，系数相等列方程。 B3【答案】(1) 0；(2) 【解析】(1) 系数和 。 在直线 上时 ，所以 ，。 (2) 在 内部时 即 ，，，故 。 【母题溯源】对应例题 3：等和线与内部不等式。 B4【答案】选①或③时 ；选②时 【解析】记 ，，则 ，，。 选①：由 得 ，所以 故 。 选②： 是 的中点，，所以 故 。 选③：，与选①相同，故 。 【母题溯源】对应例题 2 与变式 3-1：基底表示后用数量积求模。 B5【答案】 【解析】令 ，其中 因为 ，所以 在直线 上，且 。于是 的最小值为 到直线 距离的 2 倍。 在 中， 故 。设 到 的距离为 ，由等面积 所以 。 【母题溯源】对应例题 3 与变式 3-1：等和线把系数和翻译成平行线，再用等面积求距离。 B6【答案】3:2 【解析】取 ，。因为 是 的中点， 由 得 ，所以 设 在 上，。又 在 上，设 ，则 比较 的系数，，故 。于是 所以 。 【母题溯源】对应变式 1-1：交点分比用两条直线的参数表示。 B7【答案】 【解析】记 ，，则 ，，。由 ，令 ，则 于是 所以 而 故 因为 ，二次函数 在 时取最小值 。 【母题溯源】对应例题 2 与例题 3：基底表示后用数量积化为二次函数求最值。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $