6 章末复习提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

!题型二 得sin∠CAB=BCsin B_atX sin120°2 1 1.A[由四边形ABCD为平行四边形知，AC-A店+AD=(3,-1), AC √3at 故AD.AC-(2,1)·(3,-1)=5.] .0°<∠CAB60°，∴.∠CAB=30°， ,∴.∠DAC=60°-30°=30°， 2.B[:C-AC-A成，A正=AD+D亦=号A成+号i=分A+ ,.甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇， 素养演练·提升技能 AC成.A萨-(c-A(3A+子C)=寻衣 D由条件及题图可知，A=B=40,又∠BCD=60,所以∠CBD=30, 所以∠DBA=10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.门 2峦-花.AB=是×1×1-号×1×1-十×1X1… 2.150[在△ABC中，AC-100√2m.在△MAC中，由正弦定理得 1 sn0=in行，解得MA=100Em在△MNA中，MN=MA· MA AC 、 c0s60=8] !3.CD[aLb,∴.a·b=cos acos B叶sin asin3=0,即cos(a-m=0, sin60°=150m.即山高MN为150m.] 3.50(√6-√2)[如图，BD=100,∠BDA=45°， “a,长(0，x),∴a-B=±受，故A、B错误；又(a+b)·(a-b)= ∠BCA=30°.设CD=x,所以(x十DA)·tan30°= a2-b2=1-1=0,.(a+b)⊥(a-b),故C正确；(a+b)2=a DA.tan45，°.又DA=BD·cos45°=100X 30°45 +2a·b+b2=a2+b2=2,(a-b)2=a2-2a·b+b=a+b=2, 2 Cx D A 故D正确.] 50V2,所以E=DA:tan45°-DA=50EX1-50反=506- 4.D。[a+b=a-b,.a2+2a·b+b=a2-2a·b+,.a· tan30° b=0.又：a+b=2a,∴a2+2a·b+b2=4a2,.b2= 3 2)m] : 3a.设a十b与a-b的夹角为0，则cos0=(a+b)·(a-b_ a+b a-b 4.6 a[:∠ADC=∠ADB+∠BDC=60,又∠DCA=60, a2-b2_-2a2 4a2 a0-又0e[00-J i∠DAC-60∴AD=CD-AC=gS=S !5.√5[因为a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-21).图为 (a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-3)×(-1)十3(3-2t)=0, ..BC=6 a.在△ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC-2AC· 解得t=2,所以b=(1,2),所以b=√1+22=√5.] !题型三 BCo45=号d+是c-2×号a×a×号=是di,AB=1D四为8c=3,A=60,所以=士c2次cosA=61+9 。“直方这两支精锐年队之间的距离为气。] 2X8X3×号=49，所以a=7,所以此三角形外接圆的直径2R= 5.解(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示. =名=145，所以R=75 sin A 3 3 31 ①选择一条水平基线HG,使H,G,B三，点在同一 条直线上： ②在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为a, !2.B「如图，在△ABC中，BD为边AC上的高，且 B,CD=a,测得测角仪的高度是h; AB=3,BC=√13，AC=4.:cosA= ③经计算得建筑物的高度AB=nasn2+h或 H G B 32+4-(√13)21 sin(a-B) 2×3×4 ,又A∈(0，x),sinA= atan atanh tan a-tan B BD=AB·mA=8X9-35] 2 2 (2)①测量工具问题； ②两次测量时位置的间距差； 3.75°由题意得6B=snC,即sinB=sinC6XS 2 ③用身高代替测角仪的高度 3 -, 2 (答案不唯一) 合b<c可得B=45°，则A=180°-B-C=75°.] 章末复习提升 :4.解在△ABC中，由正弦定理得， 二、把握重点·常考题型集训 csin C sin 2A 题型一 sin A sin A 1,ABC[先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的！ ∴.3a=2c. 关系，从而得出结论，A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同， 又a十c=10,所以a=4,c=6. 且2a-2a.B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且5a一 由余弦定理的推论得， 5a,又一20，所以-2a与a的方向相反，且-2a=2a,所以5a 与-2a的方向相反，且-2a的模是5a的模的号.C正确，接照相反 cos A-bito-a3 2bc 4 向量的定义可以判断.D不正确，因为一(b一a)与b一a是一对相反 代入数据化简得：b2一9b十20=0， 向量，而a-b与b一a是一对相反向量，所以a-b与一(b一a)是相！ .b=4或b=5. 等向量.] 若b=4,且在△ABC中，a=4,.△ABC为等腰三角形，且A-B, 2.C[因为C市=4D成=rA正+sAC,所以C市=4成=4(A花- 又C=2A,且A+B+C=180°，∴.A=B=45°，C=90°，△ABC为等 腰直角三角形. 西=r庙+所以=号=一告，所以3叶=是-青- 由勾股定理得c=4√2，这与已求出的c=6相矛盾，故要舍去. 经检验b=5满足题意.故b的值为5， 3.D[a-2b十3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(5+8十3x,!题型四 -2+6+30)-(13+3,1+3w)-0,所以{行0所以.A如国，连接AC在△1BC中 13 AC=√/42+5=/4I,cos∠ACB= 3 4 sin∠ACB= 4 =,所以cOs∠ACD= y= 3 √41 .1209 4解=，且%-k成-成=e cos(120°-∠ACB)=cos120°cos∠ACB4km 90 .AB+BC+CD+DA=0,:BC=-AB-CD-DA=-AB+ +sin120°sin∠ACB= DC+AD=e+(k-1)e2 4 4W5-5 在△ACD中，由余弦定理，得AD= 又：+应+i+i=0,且Ni=-之武，成=市， √42√41 ∴M=-AM-BA-N店 √AC+CD-2AC·CD·OS/ACD= 41+3-2XV4mX3×43-⑤ 2v41 =-茄+丽+成-生。 2e2. =√65-125.故A,D间的距离为√65-123km.] 251 2.解依题意，A,B,C,D四岛的位置如图所示.设 北 A,C两岛相距x海里 （3m2- m-1=0解得{m=2 (m=- 2 因为C在A的北偏东60°方向，所以∠BAC (10-m-2m2=0, a=11 71 -60° 在△ABC中，由余弦定理得， 东 212=152+x2-2×15.xc0s60°， ∴a=11或a=-71 5 化简得x2-15.x-216=0, !对点训练 解得x-24或x 一9（舍去） 1 又因为C在D的东北方向， 1.2设a是原方程的实根，则d+I-2a+(3m-D=0,即(a2+a中 所以∠ADC=135°， 3n)-(2a+1)i=0, 在△ADC中，由正弦定理得 CD 所以{0土a十3m=0,解得 a= 2 sin 30 sin 135 12a+1=0, 所以m=] m=2' 所以CD=AC·sin30° 24×2 :2解(1)由两个复数相等的充要条件， sin135° ② 2 得8o.解得2： {y=-2, =12√2（海里）. 故实数x,y的值分别为-1，一2. 故C,D两岛间的距离为12√2海里. m2<9, 第七章复数 (2)依题意 m2-2n=0, m一2=0， 7.1.1数系的扩充和复数的概念 必备知识·自主梳理 -3<n3, (一)1.(1)虚数单位实部虚部(2)x2.(1)全体复数 得 n=0或n=2,因此m=2. 即时小练 (m=2,n≠0. 1.A,[两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚素养演练·提升技能 部分别相等，故A正确：B中，当a=0时，ai-0是实数，故B错误；！1.C[当复数(a2-a-2)十(a-1一1)i是纯虚数时，a-a一2=0 要使复数x十yi(x,y∈R)是实数，只需y=0,所以C错误；D中，当 且a-1-1≠0，解得a=-1,∴.复数(a2-a-2)+(a-1-1)i b=0时，复数a十bi是实数，故D错误.] (a∈R)不是纯虚数时，a≠-1.] 2.A[3i一√2的虚部为3，一3十√2i的实部为一3.∴.所求的复数z= 3-3i] 2.B[由欧拉公式得e=60s音n亭=号+共虚年为， (二)1.a=cb=d2.(1)b=0b≠0a=0 故选B.」 即时小练 1.2[因为复数(m一5m十6)+(m-3mi是纯虚教，所以㎡-5m十6=3.一-2[2,6][：1为纯虚数，4二0解得m=一2. m-2≠0， 0,m-3n≠0，解得n-2.] 2.12i[设y-ai(a是不为0的实数)，则1十ai=2.x-1十2i,所以{ 由=，得{4-m=+2sin0, m-2=cos0-2, {公二，一”解得2：所以=1=] 1a=2, ∴.λ=4-cos20-2sin0=sin0-2sin0+3=(sin0-1)2+2. 关键能力·合作探究 .-1sin1, 题点一 ∴.当sin0-1时，min=2;当sin0=-1时，入max=6, 典例BC[对于A,当b=0时，a十方=0为实数，故A错误；对于B,1 ,.实数λ的取值范圆是[2,6].] 若a十(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1,故B正确：对于C,若b=0, 4.-1,2[由ab =ad一bc,得 3x+2y i c d -y1 =3.x+2y+yi, 则a十i=a为实数，故C正确：对于D,i的平方为一1，故D错误.] 对点训练 故有(x+y)+(x+3)i=3.x+2y十vi AD[对于A,2i一√5的虚部为2，W5i-2的实部为一2，故所求复数 因为x,y为实数，所以{十v=3x十2y, 为2一2i,故A正确：对于B,两个虚数不能比较大小，故B错误；对 x+3=y, 于C,若x=一2，则x2-4=0,x2十3x十2=0，此时(x2一4)十(x2十1 3x十2)i=0,不是纯虚数，故C错误：显然，D正确，] 即经0解得{21门 1x+3=y, 题点二 15.解已知m为实数，1=m2+1十(m3十3m+2m)i,,=4m+2+ 典例解(1)当m,十3≠0， (n3-5n2+4n)i, {n2-2m-15≠0， 1>2,,为实数 即m≠5且n≠一3时，2是虚数. 当之1为实数时，m3+3n2十2m=0, 2当m-0, 解得n=0或m=-1或n=-2, ∴2=1或a=2或=5. (n一2n-15≠0， 当z。为实数时，m3一5n十4m=0, 即m=3或m=一2时，z是纯虚数 (3)当∫m十3≠0， 解得m=0或m=1或m=4, {m-2m-15=0,即m=5时，2是实数. .x2=2或=6或2=18. 上面n的公共值为n=0,此时1，同时为实数，即1=1,2=2， 拓展 解因为2>0，所以之为实数，需满足 ,使之1>的m值的集合是空集，使名1<2的m值的集合是{0. m2-m-6>0, 7.1.2复数的几何意义 n+3 必备知识·自主梳理 n2-2m-15=0, 解得n=5. :(-)2.(1)Z(a,b)(2)O2 m十3≠0 :即时小练 对点训练 1.A[复数z=一i的实部为0，虚部为-1，故复平面内对应点Z的坐 1.A[由(y-3y)+i(y∈R)是纯虚数，得y2-3y=0且y≠0，因此 标为(0，一1).故远A.] y=3.] 2.C[由复数的几何意义可知OZ对应的复数为-3i故选C.] 2.一1[因为复数之=1 +(-1)i是实数，且a为实数，则3.1+i[易知0i=(2,3),O成=1,2)，故BA-Oi-O成=(1,1)，所 5a2-1=0,解得a=-1.] 以向量BA对应的复数是1+i] a-1≠0， (二)1.(1)模绝对值(2)z或a十bi(3)√a2+2.(1)相等 题点三 典例解(1)x2-y2+2xyi=2i, 互为相反数共轭虚数(2)a一bi 六位20解得或 即时小 1,(1)√(2)√(3)×(4)W (y=1 1y=-1. (2)设方程的实数根为x=m, 2.D[x=√(W2)2+(-3)2=√T.] !3.B[因为复数x=一2十i,所以复数x的共轭复数x=一2-i1.] 则3m-受m-1=（10-m-2mi 14.1或3[依题意可得/(n-3)2十(m-1)2=2,解得m=1或3.] 252数学必修第二册 章末复习提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 向量的表示 方向、模 向量的概念 零向量、单位向量 共线向量 相等向量、相反向量 三角形法则 向量的加 平面 法与减法 平行四边形法则 运算律 向量 平面向量 向量的数 运算律 平面 及其 的运算 乘运算 向量共线定理 质 向量的 运算律 投影向量 定理 用 数量积 几何意义 性质 垂直 模 向量在几何中的应用 夹角 向量在物理中的应用 不等式性质 向量的 a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B.c2=a2+b2-2abcos C 应用 余弦 定理 已知三边，解三角形 余弦定理的应用 已知两边及其夹角，解三角形 正弦 sin A-sin B=sin C=2R 定理 已知两角和任一边，解三角形 正弦定理的应用 已知两边和其中一边的对角，解三角形 高度问题 应用举例 距离问题 角度问题 (二)把握数学思想和方法 与实数间的转换关系.解题时，可根据问题要求 1.在研究向量的模的运算及夹角运算时能利用公： 选择将向量运算（向量的数量积）转化为实数运 式计算的可以直接应用公式计算，不能直接应用： 算（向量的模）或将实数运算化归为向量运算，体 公式的可以应用数形结合的思想进行计算、求： 现了转化与化归思想. 解.在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时3.向量中的一些知识：平行向量可以分为同向向量或 往往需要根据题意正确地画出图形，根据图形运； 反向向量；向量b在a方向上的投影值，随a与b的 算求解体现了数形结合的思想. 夹角不同有正数、负数或零等三种情形；用向量法 2.在解决向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系 推导正弦定理时，可以通过对锐角三角形、直角三 的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标； 角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得，用 运算问题，三角形形状的判定可归结为判断向量： 正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对 的数量积与零的大小的关系问题.向量的数量积： “已知两边和其中一边对角的三角形”型的解得情 的性质：a·a=a2=a2作为桥梁，沟通了向量： 况的分析判断等都体现了分类讨论思想 42 第六章平面向量及其应用 二、把握重点·常考题型集训 /题型技法/ 题型一平面向量的线性运算 向量线性运算的基本原则和求解策略 1.(多选)已知a,b为两个非零向量，则下列说法正： (1)基本原则 确的是 ) 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线 A.2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的 性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量. 因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用 2倍 要注意向量的大小和方向两个方面， B.-2a与5a的方向相反，且-2a的模是5a的1 (2)求解策略 模的号 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向 量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面 C.一2a与2a是一对相反向量 向量的重要方法与技巧. D.a一b与-(b一a)是一对相反向量 ②字符表示下的线性运算的常用技巧：首尾相 2.若D点在三角形ABC的边 接用加法的三角形法则，如AB十BC=AC;共 BC上，且CD=4DB=rAB+ 起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB sAC,则3r+s的值为( OA=AB. A号 12 .6 题型二向量的数量积运算 c n吉 :1.在平面直角坐标系xOy中，己知四边形ABCD 是平行四边形，AB=(1,一2)，AD=(2,1),则 3.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若 AD·AC= ( a-2b+3c=0,则c= A.5 B.4 C.3 D.2 A） 得》 2.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E 分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点 c. (号- F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为( )》 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥ A.-日 B.s c D号 CD,点M,N分别是DA,BC的中 3.(多选)已知a=(cosa,sina),b=(cosB,sinβ)，a,β∈ 点，且=，设=4店= (0,π)，且a⊥b,则下列结论一定正确的是() e2,以e1,e2为基底表示向量DC, A.a=3 B.a=汁号 BC,MN. C.(a+b)(a-b)D.a+b=a-bl 4.若两个非零向量a,b满足|a十b=|a-b|=2a, 则向量a十b与a一b的夹角是 () A晋 B C. 5.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则 1b= /题型技法/ 向量数量积的求解策略 (1)利用数量积的定义、运算律求解.在数量积 运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在 解题中的应用较为广泛，即(a+b)2=a+2a· b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述两公式 以及(a十b)·(a-b)=a2-b2,这一类似于实 数平方差的公式在解题过程中可以直接应用、 43 数学必修第二册 (2)借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且 题型四 正、余弦定理的实际应用 :首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行 向量的移项以及平方等变形，求解数量积. :1.在科技腾飞的当下，路桥 (3)借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆：： 建设部门仍然潜心研究 分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或 如何缩短空间距离以方 平行向量关系的向量数量积，借助“a⊥b,则a· 便出行，如港珠澳跨海大 b=0”等解决问题. 桥等.如图为某工程队从 120° (4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积. 4 km A到D修建的一条隧道， 90° 5 km 题型三利用正、余弦定理解三角形 测量员测得一些数据如 图所示(A,B,C,D在同一水平面内)，则A,D间 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 的距离为 ( b=8,c=3,A=60°，则此三角形外接圆的半径 R= ( ) A.√/65-125km B.√/65-12√/13km A.8y2 3 B.14图 3 c n C.W35-12√5km D.√35-12√13km :2.为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海 2.在△ABC中，已知AB=3,BC=√/13，AC=4,则 上的四岛A,B,C,D建立观测站，己知B在A正 边AC上的高为 ( ) 北方向15海里处，C在A的北偏东60°方向，又 A.32 B.38 2 2 c是 在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相 D.3√3 距21海里，求C,D两岛间的距离. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已 知C=60°，b=√6，c=3,则A= 4.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b, c,且C=2Aa+c=10,c0sA=,求b的值。 /题型技法/ 解三角形的一般方法 :(1)已知两角和一边，如已知A,B和c,由A十 B十C=π求C,由正弦定理求a,b (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a,b和 C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求 …/题型技法/… 较短边所对的角，然后利用A十B十C=π，求另 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广 一角. 、 泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问 :(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a,b和 题，测量角度问题等，解决的基本思路是画出正 A,应先用正弦定理求B,由A十B十C=π求C, 确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中 再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能 (目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最 有多种情况. 后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进 (4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C. 行作答，解题时还要注意近似计算的要求。 44