专题02 等差数列（专项训练10大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题02 等差数列 （题型突破·举一反三） 题型一：等差数列概念与通项 题型二：实际应用 题型三：等差数列性质 题型四：等差数列前 n 项和 题型五：前n项和最值 题型六：奇偶项和问题 题型七：数列不等关系 题型八：恒成立问题 题型九：等差数列证明 题型十：绝对值问题 一、等差数列公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 二、性质 1、由等差数列生成新的等差数列 （1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2、若，则． （1）若，则； （2）若，则． （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 3、若，则． 题型01 等差数列概念与通项 【典例1】（2026·高一·上海闵行·期中）已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·湖南衡阳·期末）在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·广东肇庆·期末）已知等差数列满足，，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1-3】已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 题型02 实际应用 【典例2】（2026·高二·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 【变式2-1】（2026·高二·辽宁大连·期中）某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【变式2-2】（2026·高二·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 题型03 等差数列性质 【典例3】（2026·高三·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【变式3-1】已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·江西上饶·期中）在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式3-3】（2026·高二·宁夏吴忠·期中）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 题型04 等差数列前 n 项和 【典例4】（2026·高二·北京·期末）设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【变式4-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式4-2】（2026·山东济南·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 题型05 前n项和最值 【典例5】（2026·高二·贵州铜仁·期末）已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·云南楚雄·期末）已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式5-3】（2026·高二·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，则最大时为（    ） A． B． C． D． 题型06 奇偶项和问题 【典例6】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．39 B．9 C．19 D．29 【变式6-1】设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式6-3】（2026·高二·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 题型07 数列不等关系 【典例7】（多选题）（2026·高二·甘肃张掖·阶段检测）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（    ） A． B． C．时，的最小值为13 D．最大时， 【变式7-1】（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，n的最小值为13 【变式7-2】（多选题）（2026·高二·安徽六安·期末）设等差数列的公差为，前项和为，若，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．当时最大 D． 【变式7-3】（多选题）（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）设等差数列的前n项和为，公差为d，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．时，n的最小值为13 题型08 恒成立问题 【典例8】（2026·高三·天津·期中）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______. 【变式8-1】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是_________. 【变式8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为________． 【变式8-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）设数列的前项和为，且，已知关于的方程有唯一的解，则__________；若不等式对任意的恒成立，则的最大值是__________． 题型09 等差数列证明 【典例9】数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【变式9-1】（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【变式9-2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列满足．求数列的通项公式． 【变式9-3】已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 题型10 绝对值问题 【典例10】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【变式10-1】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【变式10-2】（2026·高二·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【变式10-3】（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列参考答案 题型01 等差数列概念与通项 【典例1】【答案】C 【解析】假设，其中为常数 对于A： 则为常数，所以是等差数列； 对于B： 则为常数，所以是等差数列； 对于C： 则，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D：当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 【变式1-1】【答案】B 【解析】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 【变式1-2】【答案】B 【解析】由题意得：，又，所以，又，所以， 所以，所以. 【变式1-3】【答案】A 【解析】法1：特征方程为，解得. 设通项为，代入，得，解得， 故. 法2：因为，所以， 因为，，所以数列是以为首项的常数列， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则. 题型02 实际应用 【典例2】【答案】C 【解析】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 【变式2-1】【答案】A 【解析】设第一年的还款金额为， 由于第一年要还本金元以及利息元，因此万元， 由于每年都会偿还万元的本金，因此每年的利息会比上一年减少元，即万元， 因此，这个等差数列的公差万元， 因此，这个等差数列的通项公式为， 则第三年的还款金额为万元，故A正确. 【变式2-2】【答案】C 【解析】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 【变式2-3】【答案】C 【解析】设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米． 由题意可知是等差数列，首项，公差， 所以， 令，解得，由于，则， ，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． 题型03 等差数列性质 【典例3】【答案】B 【解析】由等差数列可知，即. 【变式3-1】【答案】B 【解析】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 【变式3-2】【答案】C 【解析】在等差数列中，若，则，解得： 【变式3-3】【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得，即， 故. 题型04 等差数列前 n 项和 【典例4】【答案】C 【解析】因为数列是等差数列， 所以，即， 因为，，所以， 由等差中项可知， 所以. 【变式4-1】【答案】D 【解析】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 【变式4-2】【答案】A 【解析】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即， 即，即. 【变式4-3】【答案】A 【解析】设公差为，则， 解得，所以. 题型05 前n项和最值 【典例5】【答案】C 【解析】由题意，可求得，， ，故时取的最小值为． 【变式5-1】【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 【变式5-2】【答案】B 【解析】由题意得，，，解得，， 所以， 所以， 因为是正整数，所以当或时，同时取得最大值为. 【变式5-3】【答案】A 【解析】等差数列，，， ，解得，； ； ； 当时，，分式，且随着的增大而增大，即单调递增； ，当时，取得最大值，即； 当时，，分式，且随着的增大而增大，即单调递增； ，时，. ，最大时为2. 题型06 奇偶项和问题 【典例6】【答案】C 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 故此数列的项数为. 【变式6-1】【答案】D 【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为． 【变式6-2】【答案】D 【解析】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 【变式6-3】【答案】B 【解析】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 题型07 数列不等关系 【典例7】【答案】ABC 【解析】对于A，由，，可得，故A正确； 对于B，因，解得， 又因，解得，即，故B正确； 对于C，因，，又因，故时，的最小值为13，即C正确； 对于D，由上分析，，，故最大时，，故D错误. 【变式7-1】【答案】ACD 【解析】由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：ACD. 【变式7-2】【答案】ACD 【解析】因为，， 所以，则，故，故B错误； 又数列是递减数列，，所以，故A正确； 因为，所以时；时， 则当时最大，故C正确； 因为，所以，得，故D正确. 故选：ACD 【变式7-3】【答案】ACD 【解析】依题意，，于是得，而，，B错误； 显然有，而，解得，又，解得，因此得，A，C正确； 数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，前6项都为正，从第7项起的各项都为负， 而，，于是得时，，从而得时，n的最小值为13，D正确. 故选：ACD 题型08 恒成立问题 【典例8】【答案】 【解析】由题知：等差数列的前项和为， ，， ， ， ， ，当或时，取得最小值， ， . 故答案为：. 【变式8-1】【答案】15 【解析】解:由题知, 即对恒成立, 所以数列为等差数列, 因为前项和有最大值, 所以数列单调递减, 因为,所以异号,且, 所以可化简为:,即, 因为, , 所以使得的最大的的值为15. 故答案为:15 【变式8-2】【答案】 【解析】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得. 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 【变式8-3】【答案】 【解析】因为幂函数恒过点， 又关于的方程有唯一的解，则其根为， 即，所以， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 由可得， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增 又，， 因为且，所以当时取得最小值为， 所以，所以的最大值为． 故答案为：；． 题型09 等差数列证明 【典例9】【解析】（1）证明：因为，所以数列是等差数列 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 【变式9-1】【解析】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 【变式9-2】【解析】（1）已知，两边同时除以得：， ， 数列是首项是，公差是1的等差数列，且． （2）由（1）知，已知，则， 当时，对递推式累加：， 用错位相减法求和： ①， ②， 由①减②得， ， ， 代入得， ， 当时，，也符合关系， 数列的通项公式为． 【变式9-3】【解析】证明： 因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 题型10 绝对值问题 【典例10】【解析】（1）由 ，得 . 当 时： 又 ， 故 （2） 因为，所以 所以 当 当 【变式10-1】【解析】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 【变式10-2】【解析】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 【变式10-3】【解析】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列 （题型突破·举一反三） 题型一：等差数列概念与通项 题型二：实际应用 题型三：等差数列性质 题型四：等差数列前 n 项和 题型五：前n项和最值 题型六：奇偶项和问题 题型七：数列不等关系 题型八：恒成立问题 题型九：等差数列证明 题型十：绝对值问题 一、等差数列公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 二、性质 1、由等差数列生成新的等差数列 （1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2、若，则． （1）若，则； （2）若，则． （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： 3、若，则． 题型01 等差数列概念与通项 【典例1】（2026·高一·上海闵行·期中）已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，其中为常数 对于A： 则为常数，所以是等差数列； 对于B： 则为常数，所以是等差数列； 对于C： 则，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D：当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 【变式1-1】（2026·高二·湖南衡阳·期末）在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 【变式1-2】（2026·高二·广东肇庆·期末）已知等差数列满足，，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意得：，又，所以，又，所以， 所以，所以. 【变式1-3】已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法1：特征方程为，解得. 设通项为，代入，得，解得， 故. 法2：因为，所以， 因为，，所以数列是以为首项的常数列， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则. 题型02 实际应用 【典例2】（2026·高二·湖南张家界·期末）一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】C 【解析】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 【变式2-1】（2026·高二·辽宁大连·期中）某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】A 【解析】设第一年的还款金额为， 由于第一年要还本金元以及利息元，因此万元， 由于每年都会偿还万元的本金，因此每年的利息会比上一年减少元，即万元， 因此，这个等差数列的公差万元， 因此，这个等差数列的通项公式为， 则第三年的还款金额为万元，故A正确. 【变式2-2】（2026·高二·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 【变式2-3】孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】C 【解析】设从2019年开始，该市每年新建住房面积为万平方米． 由题意可知是等差数列，首项，公差， 所以， 令，解得，由于，则， ，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． 题型03 等差数列性质 【典例3】（2026·高三·湖南·阶段检测）已知等差数列满足，，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．2026 【答案】B 【解析】由等差数列可知，即. 【变式3-1】已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 【变式3-2】（2026·高二·江西上饶·期中）在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【解析】在等差数列中，若，则，解得： 【变式3-3】（2026·高二·宁夏吴忠·期中）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得，即， 故. 题型04 等差数列前 n 项和 【典例4】（2026·高二·北京·期末）设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【答案】C 【解析】因为数列是等差数列， 所以，即， 因为，，所以， 由等差中项可知， 所以. 【变式4-1】（2026·高三·重庆·阶段检测）记为等差数列的前项和，，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 【变式4-2】（2026·山东济南·模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即， 即，即. 【变式4-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．110 B．120 C．130 D．135 【答案】A 【解析】设公差为，则， 解得，所以. 题型05 前n项和最值 【典例5】（2026·高二·贵州铜仁·期末）已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可求得，， ，故时取的最小值为． 【变式5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 【变式5-2】（2026·高二·云南楚雄·期末）已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【解析】由题意得，，，解得，， 所以， 所以， 因为是正整数，所以当或时，同时取得最大值为. 【变式5-3】（2026·高二·辽宁朝阳·期中）等差数列的前项和为，，，则最大时为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等差数列，，， ，解得，； ； ； 当时，，分式，且随着的增大而增大，即单调递增； ，当时，取得最大值，即； 当时，，分式，且随着的增大而增大，即单调递增； ，时，. ，最大时为2. 题型06 奇偶项和问题 【典例6】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．39 B．9 C．19 D．29 【答案】C 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 故此数列的项数为. 【变式6-1】设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为． 【变式6-2】（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【解析】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 【变式6-3】（2026·高二·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（   ） A．11 B．19 C．9 D．21 【答案】B 【解析】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列． 偶数项和为， 奇数项和为， 因为， 所以，解得． 所以，即等差数列的项数为19． 题型07 数列不等关系 【典例7】（多选题）（2026·高二·甘肃张掖·阶段检测）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，．则（    ） A． B． C．时，的最小值为13 D．最大时， 【答案】ABC 【解析】对于A，由，，可得，故A正确； 对于B，因，解得， 又因，解得，即，故B正确； 对于C，因，，又因，故时，的最小值为13，即C正确； 对于D，由上分析，，，故最大时，，故D错误. 【变式7-1】（多选题）（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，n的最小值为13 【答案】ACD 【解析】由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：ACD. 【变式7-2】（多选题）（2026·高二·安徽六安·期末）设等差数列的公差为，前项和为，若，，下列选项正确的是（   ） A． B． C．当时最大 D． 【答案】ACD 【解析】因为，， 所以，则，故，故B错误； 又数列是递减数列，，所以，故A正确； 因为，所以时；时， 则当时最大，故C正确； 因为，所以，得，故D正确. 故选：ACD 【变式7-3】（多选题）（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）设等差数列的前n项和为，公差为d，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．时，n的最小值为13 【答案】ACD 【解析】依题意，，于是得，而，，B错误； 显然有，而，解得，又，解得，因此得，A，C正确； 数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，前6项都为正，从第7项起的各项都为负， 而，，于是得时，，从而得时，n的最小值为13，D正确. 故选：ACD 题型08 恒成立问题 【典例8】（2026·高三·天津·期中）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题知：等差数列的前项和为， ，， ， ， ， ，当或时，取得最小值， ， . 故答案为：. 【变式8-1】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是_________. 【答案】15 【解析】解:由题知, 即对恒成立, 所以数列为等差数列, 因为前项和有最大值, 所以数列单调递减, 因为,所以异号,且, 所以可化简为:,即, 因为, , 所以使得的最大的的值为15. 故答案为:15 【变式8-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为________． 【答案】 【解析】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得. 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 【变式8-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）设数列的前项和为，且，已知关于的方程有唯一的解，则__________；若不等式对任意的恒成立，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】因为幂函数恒过点， 又关于的方程有唯一的解，则其根为， 即，所以， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 由可得， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增 又，， 因为且，所以当时取得最小值为， 所以，所以的最大值为． 故答案为：；． 题型09 等差数列证明 【典例9】数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求． 【解析】（1）证明：因为，所以数列是等差数列 （2）由（1）知，数列是以为首项，2为公差的等差数列，故，解得． 【变式9-1】（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 【变式9-2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列满足．求数列的通项公式． 【解析】（1）已知，两边同时除以得：， ， 数列是首项是，公差是1的等差数列，且． （2）由（1）知，已知，则， 当时，对递推式累加：， 用错位相减法求和： ①， ②， 由①减②得， ， ， 代入得， ， 当时，，也符合关系， 数列的通项公式为． 【变式9-3】已知数列满足，，，若.求证：是等差数列； 【解析】证明： 因为，由和数学归纳法可知，对任意正整数，都有， 由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列. 题型10 绝对值问题 【典例10】（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【解析】（1）由 ，得 . 当 时： 又 ， 故 （2） 因为，所以 所以 当 当 【变式10-1】（2026·高二·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 【变式10-2】（2026·高二·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【解析】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 【变式10-3】（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $