微专题8 向量极化恒等式 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元3 平面向量及其应用 高中数学二轮复习专题讲义 08微专题8向量极化恒等式  平面向量的数量积有两个入口：夹角余弦与投影，以及“中线—半底”。前者适合算，后者适合估范围。极化恒等式做的，就是把“两定点夹一动点”的 一次性翻译成 到中点的距离，再把范围问题交还给圆、线段或直线的几何位置。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近几届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 极化恒等式在高考里很少以公式的面目出现，它更像一把“翻译刀”：题面一旦出现两个定点与一个动点，或出现中点、中线，它就把 换成 减去半底的平方，把数量积的最值降成距离的最值。2026 年全国Ⅰ卷把向量题放在第 2 题的位置，说明基础运算仍是基本盘；真正拉开差距的，是能否在小题里一眼认出“中点—距离”结构。 表前先说取舍：本表只收与“平方结构、中点结构”直接相关的题，题号与题干均已对照官方试卷核实。2026 年全国Ⅰ卷第 2 题考基向量的系数比对，归微专题 6；2022 年新高考Ⅱ卷第 4 题考夹角相等转数量积与模，归微专题 7；2025 年新课标Ⅰ卷第 6 题以帆船比赛中风速合成为背景，考向量的加减与实际应用，不属本讲模型；2024 年新课标Ⅱ卷第 3 题、2023 年新课标Ⅱ卷第 13 题用 的平方关系求模，正是极化恒等式的代数母体，作为本讲的引子。全国卷对这一模型的考查以小题为主，且常与模、垂直、轨迹混编，所以本讲母题采用同构改编，把力气花在“识别”与“回检”两步上。 表 1: 向量极化恒等式考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2024 新课标Ⅱ卷 3 与 求 （平方结构） 2023 新课标Ⅱ卷 13 ， 求 （平方结构） 2022 新高考Ⅱ卷 4 夹角相等转数量积与模，求 （归微专题 7） 三条线索。其一，平方结构是共同底色：2024 年Ⅱ卷第 3 题、2023 年Ⅱ卷第 13 题都在 与 之间做减法，这正是极化恒等式的代数形。其二，中点结构常藏在“定长线段加动点”的几何背景里：正方形、矩形、圆上的动点，只要目标是 ，取中点就能把双动向量变成一个距离。其三，逆用开始进入多选与开放题：定值翻译成圆，相等翻译成垂直，零翻译成直径圆，考的是“把数量积读成几何”。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺定义。极化恒等式只有一句：取 的中点 ，则 。难的不是公式，而是三件事——什么时候取中点、取完以后距离的范围怎么定、端点能不能取到。 表 2: 向量极化恒等式三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 定点—动点型 两个定点 ，一个动点 在圆、线段或区域内，求 或其范围 取 中点 ，化成 ，再求距离范围 例题 1、变式 1-1 二 · 圆上动点型 动点 在定圆（或圆弧）上， 为定点或弦的端点，常问最值 先取中点 ，算圆心到 的距离 ，再定 的范围 例题 2、变式 2-1 三 · 逆用—轨迹型 给出数量积为定值、两个数量积相等或为零，问轨迹、最值、参数 定值译成圆，零译成直径圆，相等译成垂直，回到距离问题 例题 3、变式 3-1 结论一 · 极化恒等式的三张面孔 几何形： 为 中点，则 。代数形：。平行四边形形：。题面给“中点”用第一式，给“模的和差”用第二式，给“对角线”用第三式。 结论二 · 距离范围的三种底盘 在圆上：， 为圆心到 的距离， 在圆内时最小值为 0。 在线段上：最小值为 到线段所在直线的距离（垂足须落在段内），最大值为到两端点距离的较大者。 在直线上：。先画图定“最近点、最远点”，再代数。 结论三 · 逆用的三个出口 等价于 ：右边为正时轨迹是圆，等于零时退化为点 ，为负时无轨迹。 时， 在以 为直径的圆上（）。 时，移项得 ，即 。 ▶ 三、高频题型突破 三个题型分别对应“定线段上的动点”“圆上的动点”“逆用定轨迹”，每题统一按四步展开：认结构 → 化距离 → 核心推演 → 回检取等。第二步“化距离”专管一件事——把数量积换成 到某定点（或某直线）的距离；第四步“回检取等”专管三件事——最近点是否在可行域内、端点是否取到、取等时图形是否真的存在。 （一）题型一：定点—动点型 题型识别。题面出现两个定点 与一个动点 ，动点在某圆、某线段或某区域内；所求为 、它的范围，或 。 通法模型。先取 中点 ，把目标写成 ；再看 的可行域，把“数量积的范围”换成“距离的范围”；最后画图定最近点与最远点。动点在边上时，直接坐标化距离最快。 例题 1（题型一·正方形内圆上动点） 正方形 的边长为 2，点 在以 为圆心、1 为半径的圆上运动，求 的取值范围。 图 1: 正方形内以 为圆心的动点 解析 第 1 步 · 认结构：定点是 ，动点是 ，目标为 。两个定点连线的中点正是正方形边 的中点，取它能把两个动向量收成一个。 第 2 步 · 化距离：设 为 的中点。由极化恒等式， 这一步的动机是“降维”： 与 都在变，换成 后只剩一个距离。 第 3 步 · 核心推演：以 为原点建系，则 ，，，故 。点 在以 为圆心、1 为半径的圆上，所以 于是 。 第 4 步 · 回检取等：最近点与最远点都在射线 上，到 的距离恰为 1，确实在圆上；故两端都能取到，答案取闭区间。代回检验： 在最近点时 ，数量积约为 0.53，与 一致。 方法点睛 · 先取中点，再算距离 看到“两定点夹一动点”，第一动作不是设坐标算夹角，而是取两定点的中点。取完中点，数量积只剩 与一个常数，问题立刻变成“点 到定点 有多远”。坐标只在算 时用一次。 变式 1-1（题型一·矩形边上的动点） 矩形 中，，，点 为边 上的动点，求 的取值范围。 图 2: 矩形边 上的动点 与中点 解析 第 1 步 · 认结构：定点 ，动点 被限制在边 上，目标仍是 ，属于模型一。 第 2 步 · 化距离：取 中点 ，则 第 3 步 · 核心推演：以 为原点、 为 轴建系，则 。设 ，，于是 故 。 第 4 步 · 回检取等： 时 为 中点，，取最小值 0； 或 时 与 或 重合，取最大值 1。两个端点都在边 上，闭区间成立。 方法点睛 · 动点在边上就坐标化距离 动点被限制在线段上时，取中点后直接用坐标写 ，把“距离的范围”变成二次函数在闭区间上的值域：先配方找顶点，再比较两端。顶点落在区间内，最小值在顶点；否则最小值在离顶点较近的端点。 （二）题型二：圆上动点型 题型识别。动点 在定圆或圆弧上， 为定点或圆的弦的端点；常问 的最值，或与圆心距结合。 通法模型。仍取 中点 ，先算圆心 到 的距离 ； 在圆上时 ，再平方、减半底。 在圆内时最小值是 0，不是 的负值。 例题 2（题型二·定弦与圆上动点） 已知圆 的半径为 2，弦 的长为 ， 为 的中点， 为圆 上任意一点，求 的最大值与最小值。 图 3: 圆上动点 与定弦 的中点 解析 第 1 步 · 认结构：定点 在圆上，动点 也在圆上，目标是 。 已经是弦中点，极化恒等式可以直接用。 第 2 步 · 化距离： 动机： 定长，数量积只随 变； 在圆上， 的范围由 到圆心的距离决定。 第 3 步 · 核心推演：由垂径定理， 在半径为 2 的圆上， 在圆内且 ，故 ，从而 第 4 步 · 回检取等： 为射线 与圆的近交点 (0,2) 时 ，取最小值 −2；为远交点 (0,−2) 时 ，取最大值 6。两点都在圆上，故两端都能取到。符号检验：近交点处 在弦 上方， 与 的夹角为钝角，数量积为负，与 −2 相符。 方法点睛 · 圆上动点先算圆心距 圆上动点的距离范围只有一条公式：，。所以先算 ，再判断 在圆内还是圆外。 在圆内时 ，最近点是 沿 方向与圆的交点； 在圆外时最近点在同侧。画一条过 的直线，两端就是最近与最远。 变式 2-1（题型二·两定点在圆外与圆内） 已知点 ，， 为圆 上任意一点，求 的取值范围。 图 4: 单位圆上的 与 轴上的定点 解析 第 1 步 · 认结构：定点 ，动点 在单位圆上，属于模型二。注意 恰好落在圆上。 第 2 步 · 化距离： 的中点为 ，，故 第 3 步 · 核心推演： 到 的距离为 1，圆的半径为 1，故 ，于是 第 4 步 · 回检取等： 时 ，取最小值 −4； 时 ，取最大值 0。两个取等点都在单位圆上。 易错微警 · 中点在圆内时最近距离是零 当 在圆内时，，而距离不能为负，最小值应为 0（ 与 重合时取到，且需 在圆上）。本题正是这种情形：，若照抄 会得到 −1，平方后仍错。先判断 在圆内还是圆外，再写区间。 （三）题型三：逆用—轨迹型 题型识别。给出 、 或等于零，问轨迹、最值、参数；或给出 的定值反求数量积。 通法模型。反译：定值译成圆（半径平方为 ），零译成以 为直径的圆，相等译成垂直。翻译完再回到模型一、二，求距离或最值。若题目给的是 ，用中线公式 。 例题 3（题型三·定值反译成圆） 已知 ，，动点 满足 。 (1) 求点 的轨迹方程； (2) 求 的值。 图 5: 满足 的点 的轨迹 解析 第 1 步 · 认结构：定点 与动点 ，但给的是数量积的定值，方向与前面相反——要把“数”读回“形”。 第 2 步 · 化距离：取 中点 ，则 ，，且 故 。这一步的动机：定值加上半底平方，正好凑成 的平方。 第 3 步 · 核心推演：(1) 设 ，则 即点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。 (2) 由中线公式， 第 4 步 · 回检取等：半径平方 ，轨迹是整圆而非一点； 只与 有关，而 在圆上恒为 ，所以第 (2) 问是定值，不存在最值讨论。代点检验：取 ，直接计算数量积亦为 1。 方法点睛 · 定值反译成圆 的轨迹问题，先算“半径平方” ，再下结论：正数是圆，零是点，负数是空集。很多同学直接写圆，忘了后两种退化情形。题目若再问 ，不要重设坐标，直接用中线公式把它换成 。 变式 3-1（题型三·相等数量积译成垂直） 已知 是不共线的三点，动点 满足 。 (1) 说明点 的轨迹； (2) 若 是边长为 2 的正三角形，求 的最小值。 图 6: 动点 在过 且垂直 的直线上 解析 第 1 步 · 认结构：两个数量积相等，且都以 为公共向量。这不是求某个数量积，而是要用等式反推 的位置。 第 2 步 · 化距离：移项并提取公因式： 这一步的动机：向量没有消去律，不能约去 ，只能移项后利用“差向量指向第三边”。 第 3 步 · 核心推演：(1) 由 得 （当 时 ，等式也成立）。故点 的轨迹是过 且垂直于 的直线。 (2) 正三角形边长为 2， 到 的距离为高 在上述直线上， 的最小值就是 到 的距离，即 。 第 4 步 · 回检取等：取等时 为 在 上的垂足，即 中点；此时 ，，数量积等式成立。故最小值 可取到。 易错微警 · 向量没有消去律 由 直接约去 ，会误得 ，进而误判 在 的垂直平分线上。正确做法是移项：。数量积是数，不是向量，等式两边同除一个向量在运算上没有定义。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分集中在“公式少减半底”与“范围端点不回检”两件事上，分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（公式与范围类） 错误表现 错因 正确做法 取中点后写成 ，漏掉半底平方 只记住“中线”，忘了减 先写 ，再代具体数值 圆上动点误取 未判断 在圆内还是圆外 用 ， 在圆内时最小值为 0 线段上动点把端点当最小 没有找垂足 先作 到线段所在直线的垂线，垂足在段内才取最小 逆用时直接写圆 忘记验证半径平方为正 先算 ：正为圆，零为点，负为空集 动笔前的三句自查 中点取了吗？半底减了吗？最近点与端点回检了吗？——三句都答“是”，再动笔。 表 4: 高频错误及其纠正（逆用与书写类） 错误表现 错因 正确做法 由 约去 把数量积当成可除的代数式 移项提公因式：，得 求 时硬设坐标 没认出中线公式 用 范围端点不说明能否取到 忽略动点的可行域 指出取等点是否在圆、线段或直线上 把 与 混用 数量积定义不清 数量积含 ，可为负；模的积恒非负 ▶ 五、课后分层训练 A 组 6 题练基本动作，B 组 6 题练迁移与综合，其中 B2、B6 为难题；先独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 在 中， 是 的中点，，，则 。 A2 已知 ，，，则 。 A3 正方形 的边长为 4， 为 的中点，则 。 A4 已知圆 的半径为 1，弦 ， 为圆 上任意一点，则 的最大值为 。 A5 （多选）已知 ，，动点 满足 ，则（　　） A．点 的轨迹是圆　　B．点 的轨迹半径为 2 C． 为定值 8　　D． 的最大值为 2 A6 在 中，，，， 为 的中点，则 。 （二）能力提升（B 组） B1 已知圆 ，，， 为圆 上任意一点，求 的取值范围。 B2 在 中，，，， 为边 上的动点，求 的最小值。 B3 已知 ，，动点 满足 ，求 的值。 B4 已知 为圆 上任意一点，，，求 的最大值。 B5 （多选）下列结论正确的是（　　） A．若 为 的中点，则 B．若 且 ，则 在以 为直径的圆上 C．若 ，且 不共线，则 在过 且垂直于 的直线上 D．若 （ 为常数），则 的轨迹一定是圆 B6 已知 ，，动点 满足 ，求 的取值范围。 ▶ 六、参考答案与解析 解析与题号一一对应，按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现。 （一）A 组 A1　　【答案】5 【解析】 为 中点，由极化恒等式， 【母题溯源】对应例题 1：取中点、减半底，一步到位。 A2　　【答案】 【解析】，故 ，解得 。【母题溯源】对应结论一的代数形：模的和差与数量积互化。 A3　　【答案】12 【解析】取 中点 ，以 为原点建系，则 ，，。故 【母题溯源】对应变式 1-1：动点在边上，坐标化距离。 A4　　【答案】 【解析】设 为 中点，则 ，故 。 在圆上，故 ，且最大值可取到。于是 【母题溯源】对应例题 2：先算圆心距，再取远点。 A5　　【答案】ABD 【解析】设 为 中点，则 ，。由 得 ，故轨迹是圆心为 、半径为 2 的圆，A、B 正确。又 故 C 错误。 为定值，最大值也是 2，D 正确。【母题溯源】对应例题 3：定值反译成圆，再用中线公式。 A6　　【答案】 【解析】由中线公式， 再由极化恒等式， 【母题溯源】对应例题 1：中线公式与极化恒等式的接力。 （二）B 组 B1　　【答案】[0,8] 【解析】 的中点为 ，圆心 ，半径 ，故 ，。于是 【母题溯源】对应例题 2：圆心距加减半径定距离范围。 B2　　【答案】−3 【解析】以 为原点、 为 轴建系，则 ，，。 的中点为 ，故 直线 的方程为 ，点 到它的距离 垂足为 的中点 ，落在边 上，故 ，最小值为 1−4=−3。【母题溯源】对应题型一：动点在线段上，最小值在垂足处。 B3　　【答案】−3 【解析】 的中点为 。由中线公式， 故 。再由极化恒等式， 【母题溯源】对应例题 3：平方和与数量积通过中点互化。 B4　　【答案】15 【解析】 的中点为 ，。 在半径为 2 的圆上，，故 。于是 当 时取等。【母题溯源】对应变式 2-1： 在圆上时最小距离为 0。 B5　　【答案】ABC 【解析】A 即极化恒等式，正确。B 中 化得 ，即以 为直径的圆（去掉 ），正确。C 移项得 ，即 ，正确。D 中当 时轨迹退化为点 ，当 时无轨迹，故“一定是圆”错误。【母题溯源】对应结论三：逆用的三个出口与两种退化。 B6　　【答案】 【解析】设 。由 得 整理得 即 在以 为圆心、 为半径的圆上。 的中点为 ，，故 于是 【母题溯源】对应例题 3 与变式 2-1：先由距离比找隐形圆，再用极化恒等式定范围。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $