微专题12 用不动点法求数列的通项 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第2章 · 数列 · 大单元5 数列及其综合运用 高中数学二轮复习专题讲义 12微专题12用不动点法求数列的通项  递推式不是一堆要背的模板，而是一张找“不变”的地图。不动点就是迭代中“站住不动”的那个值：抓住它，分式型能降成等比，重根情形能降成等差，幂型能降成对数一次型；抓不住它，就只能逐项硬算、算到第 项还看不出规律。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，认清这一方法在卷面上以什么信号出现；再用“知识与方法必备”的速查表对号入座，把两张配方过一遍；然后按四步流程精读四个题型的母题，并独立完成变式；最后限时做课后分层训练，错题回到对应题型重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 不动点法在卷面上从不以方法名出现，它藏在三类信号里：递推式是分式或幂型（结构可以降维）；题面直接给出“不动点”“稳定值”“周期点”一类新定义（读定义就是读方法）；压轴问“使某不等式成立的最小项数”（用迭代与压缩做估计）。本专题要练的，就是把这三类信号一眼认出来。 表前先把取舍讲清。近五年国家卷没有再把“分式线性递推求通项”单独设为大题，更早的课标卷曾以压轴形式出现过，因此本讲的例题与训练题一律用同构改编题或原创题，不冒用任何真题题号。本表收的是与本专题动作相同的三类题：2026 年全国Ⅰ卷第 19 题与 2026 年北京卷第 21 题都是新定义压轴，考“读定义—用定义验证特例—再证一般结构”这套动作，与题型四的设问方式完全一致（两题的载体分别是函数与数表，本讲只借它的问法）；2026 年天津卷第 8 题把递推信息写成跨段和 ，需要先把和式翻译成逐项迭代——这正是“结构翻译”的基本功。其余相邻真题的归属为：2026 年全国Ⅰ卷第 14 题、2023 年新课标Ⅱ卷第 18 题与累加累乘、 与 互化一起归微专题 11；2026 年全国Ⅰ卷第 7 题、2024 年新课标Ⅰ卷第 19 题归微专题 10；2025 年新课标Ⅰ卷第 13、16 题、2024 年新课标Ⅱ卷第 12 题、2023 年新课标Ⅰ卷第 20 题、2022 年新高考Ⅰ卷第 17 题属基本量与判定，归微专题 9。 三条命题线索：其一，递推型题目的“式子长相”越来越不像课本模型，分式、幂型、跨段和都要靠结构识别而不是套模板；其二，新定义压轴已成稳定题型，定义里往往就写着方法的名字，能不能落地取决于会不会“先找不变量”；其三，估算类设问（最小 、误差范围）在增加，这类题的标准解法正是“不动点定基准、迭代做放缩”。 表 1: 不动点与迭代相关考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 19 新定义：由 的集合定义推函数单调性与取值约束 2026 北京卷 21 新定义数表“性质 P”：判断特例、求最值、证明结构 2026 天津卷 8 跨段和 翻译成项的关系后迭代求和 ▶ 二、知识与方法必备 本专题不重铺数列概念，只给一张速查表与三张结论卡。速查表按题面长相分类，不按解法分类——拿到题先对号，再取工具。 表 2: 不动点法四题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 双不动点 递推写成分式 ，不动点方程有两个不等实根 两个不动点各作一次差，相除后得到等比数列 例题 1、变式 1-1 二 · 重不动点 同上分式型，但不动点方程判别式为零 只对唯一不动点作差，再取倒数，得到等差数列 例题 2、变式 2-1 三 · 幂型迭代 递推里出现乘方或开方（，） 两边取对数把乘方降成倍加，回到一次型不动点 例题 3、变式 3-1 四 · 新定义与迭代 题面给“不动点”“压缩”“周期点”等新定义，围绕 的迭代设问 先解 定基准，再按定义做放缩或找周期 例题 4、变式 4-1 结论一 · 不动点到底在替谁“定基准” 递推 的不动点就是方程 的实根。它的作用不是“求出那个值”，而是提供一个不变的参照：数列与它的差 往往比 本身规矩得多。一次型 （）的不动点是 ，此时 是公比为 的等比数列——这是一轮就有的结论，本专题的四步流程全部是它的放大版。若 恰好等于不动点，则数列从此不动，是常数列：这是最容易白算一步的例外。 结论二 · 分式线性递推的两张配方 设 （，），不动点方程为 。 （1）两根 ：数列 是等比数列，公比 。 （2）重根 ：数列 是等差数列，公差 。 两张配方由“作差、相除”现场推出即可，考场上记不熟公式不要紧，但要会用 验算：把 与 代进去，算出的 （或 ）对得上才继续做。若方程无实根，则此路不通，改查周期或只作数值迭代估计。 结论三 · 乘方开方先取对数，估算先想压缩 （，）取对数得 （其中 ，底数 按题中选，常取 、 中最顺手的一个），随后照结论一处理。乘积型递推 取对数后变成加法递推，同理。求“最小 ”一类估算题，核心是 （）反复迭代成 的指数衰减，再取对数定 ；注意这种放缩只给充分条件，最小性要用精确通项回代确认。 ▶ 三、高频题型突破 四个题型共用一套四步流程：认模型 → 定基准 → 核心推演 → 收束检验。第二步“定基准”就是解 求不动点；第四步“收束检验”专管三件事—— 是否是不动点、变形过程中的分母是否为零、反解出的通项代 是否与递推吻合。 图 1: 不动点的几何意义：曲线与直线 相交或相切 （一）题型一：分式递推的两个不动点 题型识别。递推式是“一次比一次”的分式 ，并且 不是不动点。判据不在分式本身，而在不动点方程有没有两个不等实根——有，就走本题型。 通法模型。先解 得到 （动机：两个不动点提供两个参照，相除能把分式的“分母壳”彻底约掉）；再分别算 与 并相除，得到 ；第三步按等比写出 ，最后由 反解 ，并用 验算。 例题 1（题型一·双不动点降等比） 已知数列 满足 ，。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：递推是“一次比一次”的分式型，且 不满足 ，不是常数列。这类式子直接作差或作商都清不掉分母，需要先找参照点。 第 2 步 · 定基准：解 ，得 ，即 ，。选这两个值做参照的动机： 与 的分子都将含因子 或 ，相除时公用的分母 会被约净。 第 3 步 · 核心推演：分别对两个不动点作差并化简， 两式相除，公用分母 被约净： 记 ，则 是首项 、公比 的等比数列，故 。 第 4 步 · 收束检验：由 解出 。检验： 时 ； 时公式给 ，递推给 ，一致。分母 恒成立（），且 （），变形全程合法。故 。 方法点睛 · 相除是“约掉分母壳”的唯一动作 两个不动点的价值在于： 与 共用同一个分母，相除后分母彻底消失，递推退化成等比。写 时务必把“哪个根写在分子”记牢，反解时按同一顺序代回，否则会得到倒数形式的公比。养成习惯：算完 就用 验一次， 应等于 。 变式 1-1（题型一·公比为负的等比） 已知数列 满足 ，。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：仍是分式线性递推，先按流程找不动点再决定路线。 第 2 步 · 定基准： 去分母得 ，即 ，化简为 ，故 ，。 第 3 步 · 核心推演：先分别把两个不动点的差化简——分子依次是 与 ，通分后即 两式相除，公用分母 被约净： 记 ，，故 。反解 ，代入得 。 第 4 步 · 收束检验： 得 ； 公式得 ，递推得 ，一致。公比为负说明 摆动，数列在不动点 1 两侧交替逼近——这不是错误，而是本模型的正常形态。 易错微警 · 负公比别急着舍 看到 就怀疑自己算错，是本题型最常见的失分心理。负公比只意味着点列在两个不动点之间来回摆动， 仍在衰减，通项照样成立。真正要舍的是 （反解时分母为零）与 取到递推分母零点这两种非法情形。 （二）题型二：分式递推的重不动点 题型识别。仍是分式线性递推，但不动点方程 判别式为零，曲线 与 相切。此时“相除”失去第二个参照点，必须换成“取倒数”。 通法模型。对唯一不动点 作差得 ；动机是重根让 ，于是取倒数后分子能拆成“常数加含 的项”，正好约出等差结构。 例题 2（题型二·重根取倒数降等差） 已知数列 满足 ，。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型：分式线性递推。先算不动点方程的判别式再选路线，不要默认一定有两个根。 第 2 步 · 定基准： 化为 ，即 ，，重根 。判别式为零，题型一的相除法在此会得到 ，必须改路。 第 3 步 · 核心推演：。取倒数： 记 ，则 （对一切 成立）， 是首项 、公差 的等差数列，故 。 第 4 步 · 收束检验：反解 。检验： 得 3； 公式得 2，递推得 ，一致。合法性：，由 知 、，倒数与分母都不出问题。 方法点睛 · 重根只剩“取倒数”一条路 双根靠相除，重根靠取倒数，本质是同一个动作的两种收尾：相除消掉两个参照，取倒数把一个参照变成加法结构。判别式是唯一的开关—— 的 ，算完再动笔，能省一整页废纸。 变式 2-1（题型二·重根后的单调性） 已知数列 满足 ，。(1) 求 的通项公式；(2) 判断 的单调性并说明理由。 解析 第 1 步 · 认模型：分式线性递推，照流程先定基准。 第 2 步 · 定基准： 即 ，，重根 。 第 3 步 · 核心推演：，取倒数得 记 ，， 是公差 的等差数列，，故 。 第 4 步 · 收束检验： 得 5； 公式得 ，递推得 ，一致。(2) ，故 单调递减，且各项大于 2。这里“大于不动点”不是巧合： 意味着 ，而 递增意味着差值递减——重根情形总是单侧逼近。 （三）题型三：幂型递推与对数变换 题型识别。递推里 处在“被乘方、被开方、相乘”的位置：、、，且各项为正。 通法模型。乘方在取对数后变成倍加，乘积变成求和，于是“指数层的递推”被压回“一次层的递推”，再用一次型不动点收尾。动机：不动点法管的是一层结构，幂型有两层，必须先把上层拆掉。 例题 3（题型三·取对数后回到一次型） 已知正项数列 满足 ，。求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型： 被平方又被 2 倍，指数位置有递推、系数位置也有递推，两层结构。看到 与“正项”二字，第一动作是取对数。 第 2 步 · 定基准：以 2 为底取对数（选底动机：、系数 2 都是 2 的幂，取 后所有常数都是整数）。记 ，则 这是一次型递推，不动点满足 ，即 。 第 3 步 · 核心推演：，故 是首项 、公比 2 的等比数列，，。 第 4 步 · 收束检验：回代 。检验： 得 ； 得 ，递推得 ； 得 ，递推得 ，一致。正项前提由 与递推式归纳保证，取对数全程合法。 方法点睛 · 两层递推的“拆楼”顺序 幂型递推不要先去猜 的长相，先问“对数之后是什么”。拆完上层（对数化），若下层是一次型就找不动点，是等比就直接写，是 这类两项递推则改用特征根或只算前几项找规律。最后一定回代两三项验算——对数化最容易错的是底数与常数项的进位。 变式 3-1（题型三·纯乘方与对数求和） 已知正项数列 满足 ，。(1) 求 与前 项和 ；(2) 求 的通项公式。 解析 第 1 步 · 认模型： 是单层幂型，取对数后应是纯等比，比例题 3 少一次不动点。 第 2 步 · 定基准：两边取以 2 为底的对数（各项正由 归纳保证），，。 第 3 步 · 核心推演： 是首项 1、公比 3 的等比数列，；。 第 4 步 · 收束检验：。检验：，，递推 ；，递推 ，一致。顺带看增长量级： 是指数级，所以 是“指数的指数”，这类数列比较大小一律先取对数再比。 （四）题型四：新定义中的不动点与迭代 题型识别。题面先给一个定义（不动点、稳定值、压缩、周期点……），再围绕 设问。定义里通常已经把方法写好了，难点不在算，而在“把定义翻译成可执行的动作”。 通法模型。第一步照定义解 定基准；第二步把定义中的不等式翻译成 与 的递推关系，反复迭代出 的包络；第三步注意定义域的闭合性——迭代必须始终落在 内，否则题设不成立。 例题 4（题型四·压缩型新定义与误差估计） 设函数 的定义域为 。若 且 ，则称 为 的不动点；若对任意 都有 ，则称 在 上关于 是 -压缩的。已知 。 (1) 求 在 上的不动点，并证明 关于该不动点是 -压缩的，且 是满足条件的最小常数。 (2) 若 ，，证明 ，并求使 成立的最小正整数 。 图 2: 压缩估计给出的包络总在上，精确值更快落下 解析 第 1 步 · 认模型：定义型题，两个关键词已经给出动作：“”就是解方程定基准；“”就是把差做成比值。 第 2 步 · 定基准： 得 。在 上只有 （，先按定义域筛根，这是第（1）问的隐性考点）。 第 3 步 · 核心推演：(1) ，故当 时 因为 时 。再说明 不可再小：当 时比值 ，它随 趋于 ，所以任何小于 的正常数都不可能对全体 压住这个比值，最小的压缩常数就是 。 (2) 先补一句定义域闭合：，且 ，故 对一切 成立，迭代合法。反复用 (1)： 由题型一的精确通项 得 。 第 4 步 · 收束检验：用包络估计： 即 ，由 得 。用精确值检验最小性：，而 、，故最小的 为 10。两条路都落在 ，结论：。注意包络只给“充分”，精确式才给“必要”，答题时必须用精确值确认最小性。 易错微警 · 定义域闭合是被吞掉的分 新定义迭代题的失分点常在“没验证 一直落在 里”。 在 [1,+∞) 上是压缩的，不代表在 上是： 接近 −2 时 任意大。写完不等式链，先补一句归纳说明 ，再谈放缩。 变式 4-1（题型四·无不动点时找周期） 设 。若存在正整数 ，使得 且当 时 ，则称 为 的一个 -周期点，其中 ，依此类推。 (1) 求 的不动点，并说明 没有实不动点意味着迭代数列处于什么状态。 (2) 证明：对任意 ， 都是 的 3-周期点；并求数列 ， 中的 。 解析 第 1 步 · 认模型：分式型递推，但递推里 只在分母一次，先按流程解不动点；解不出就走“找周期”。 第 2 步 · 定基准： 化为 ，即 ，，无实不动点。几何上 与 不相交，迭代不可能“停在”某个实数上，只能跳圈。(1) 的答案就是这个判断：没有不动点，就没有单点收敛。 第 3 步 · 核心推演：。再迭代一次： 全程要求 、（即 ）、（该式无解，恒不为 1），故 时三次复合才有意义。又 无实根，故 不成立；若 ，由 得 ，也无实根，故 不成立。于是最小正整数恰为 3，即每个 都是 3-周期点。 (2) ，，，，周期为 3。，故 。 第 4 步 · 收束检验：检查迭代中不出现 1（数列取值为 ，均不为 1，分母恒不为零）。用周期解“下标很大的项”，一律把下标对 取余，余数为 0 时对应 ，这是唯一的“差一”风险点。 方法点睛 · 不动点找不到时退一档 “解 ”是本专题的第一动作，但它有三种结局：两根走相除、重根走倒数、无根走周期或只作数值估计。看到“无实根”不要慌，它等于在提示“这题不要求通项，而要求循环节”——把 、 代出来，往往两三步就回到原式。 图 3: 三次迭代回到原点：三项一循环 ▶ 四、易错警示 不动点法的错，九成不在计算而在“前提”：没验 、没管分母、把两个根的次序写反、对数化前不说正项。两张表按“结构前提”与“运算收尾”分列。 表 3: 高频错误及其纠正（结构与前提类） 错误表现 错因 正确做法 解出不动点后直接作差相除，中途发现 没先检查 是否就是不动点 动笔前两秒代入：？是则数列恒为常数，题目另有所考 把公比写成 ，与 的分子分母次序相反 只背公式没记“顺序一致性” 公式只用于验算；以现场作差相除为准，代 校一次 按双根配方处理重根情形，得到 没算判别式就选路线 先写 的 ，零则改走取倒数 对 直接取对数，未说明各项为正 把对数的定义域当成默认成立 由 与递推式归纳出 ，再取对数 表 4: 高频错误及其纠正（运算与收尾类） 错误表现 错因 正确做法 由 解出 时符号混乱 反解这一步靠记忆，不现场推 交叉相乘 ，合并 再除 通项求出后不代 ，一路写到底 把“变形合法”与“结果正确”混为一谈 至少代两项与递推值比对， 较大时代 与 最省 用压缩包络直接答“最小 ” 放缩只给充分条件，可能多算一项 包络给出候选值后，用精确通项回代确认最小性 周期迭代求 时余数对错位 忘记 起算、余数为 0 对应 写下 再算 2026 除以 的余数，余 即 （ 取 ） 动笔前的三句自查 不动点方程的判别式算了吗？ 是不是不动点、分母会不会为零说了吗？反解出的通项代两项验了吗？——三句都是“是”，再往下写。 ▶ 五、课后分层训练 A 组六道小题练识别与配方：无根判别、重根、双根公比、幂型、综合多选、周期迭代各占一道；B 组七道大题练迁移与综合，其中 B4、B5、B6 为难题，B7 是开放性填空。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 递推 的不动点情况是（　　） A．有两个不相等的实不动点　　B．有两个相等的实不动点 C．没有实不动点　　D．只有一个实不动点 0 A2 数列 满足 ，，则数列 是（　　） A．公差为 的等差数列　　B．公比为 的等比数列 C．公差为 4 的等差数列　　D．常数列 A3 已知 ，，设 ，则 的公比为 ______。 A4 已知正项数列 满足 ，，则 ______。 A5 （多选）已知 ，，则（　　） A． 对一切 成立 B．数列 单调递减 C． 随 的增大而增大 D． 是等比数列 A6 已知 ，，则 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 已知数列 满足 ，，求 。 B2 已知数列 满足 ，。(1) 求 的通项公式；(2) 求使 成立的最大正整数 。 B3 已知数列 满足 ，。求 的通项公式，并求乘积 。 B4 （难题）设常数 ，递推 。(1) 若该递推恰有一个实不动点，求 的值与该不动点；(2) 在（1) 的条件下且 ，求 的通项公式；(3) 求使 成立的最小正整数 。 B5 （难题）已知正项数列 满足 ，。(1) 求 ；(2) 证明： 且 单调递减。 B6 （新定义）对分式线性递推 ，设它有两个不等实不动点 ，记 。若 ，则称 为该递推的“吸引不动点”， 为“排斥不动点”。 (1) 写出递推 的两个不动点，并指出吸引不动点与排斥不动点； (2) 证明：当 时， 对一切 成立，且 随 增大而趋于 0； (3) 由此说明“无论 取何值（），数列都被吸向吸引不动点”。 B7 （开放填空）试写出一个形如 （ 为整数，）的递推式与一个初值 ，使得该递推恰有两个不动点 2 与 −1，且由此得到的数列单调递减并恒大于 2。你写出的一个答案是 ______。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】C 【解析】 化为 ，即 ，无实根，故选 C。几何上 与 不相交，迭代既不能相除降等比，也没有单点可停，只能考虑周期或数值估计（见变式 4-1）。 【母题溯源】例题 2 的第 2 步：先算不动点方程，再决定路线；判别式为负是本专题唯一的“此路不通”信号。 A2【答案】A 【解析】不动点方程 即 ，重根 3。作差 ，取倒数得 ，故首项为 、公差为 的等差数列，选 A。 【母题溯源】例题 2 第 3 步：重根只剩取倒数一条路；B 是把“等差”误当成“等比”的典型干扰项，代 一验即可排除。 A3【答案】2 【解析】不动点方程 即 ，两根 1 与 。由配方 。现场验算更稳：，，，，公比确为 2。 【母题溯源】结论二的公比配方：本题 ，说明 是排斥不动点，数列不会靠向它——这正是 B6 的新定义所在。 A4【答案】 【解析】各项为正（ 与递推式归纳保证），取以 3 为底的对数，记 ，则 ，。一次型递推的不动点满足 ，即 ，故 ，，，。验：，公式给 ；，公式给 ，一致。 【母题溯源】例题 3 的两层拆法：对数化之后仍有一次型递推，不动点这一步不能省，否则会漏掉常数项。 A5【答案】ABD 【解析】。A：，若 则 ，归纳成立。B：（因 ），故递减，正确。C：（例题 1 结论）随 增大而减小，错误。D：，是公比 的等比数列，正确。故选 ABD。 【母题溯源】例题 1 与例题 4 的组合：先有精确通项，单调性与误差都是它的推论。 A6【答案】 【解析】不动点方程 即 ，无实根，转去找周期：，，，，，故周期 。，余数 2，所以 。全程 ，分母不为零。 【母题溯源】变式 4-1 的“无根走周期”，并用易错表最后一行核对余数对位：以 起算，余 0 才取 。 （二）B 组 B1【答案】（常数列） 【解析】不动点方程 即 ，根为 1 与 −3。若直接设 ，则 ， 是首项为零的等比数列，恒为零，故 。更快的做法是先代 ：，即 恰是不动点，由递推的唯一性知 。 【母题溯源】结论一末句与易错表第 1 行：动笔前先看 是不是不动点，否则会算出一堆“0 的等比”。 B2【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) 不动点 1 与 −3，，。，，。验：，。(2) 。，，故最大的 为 3。 【母题溯源】例题 1 的完整流程加例题 4 第 4 步：先取对数解不等式，再代幂值定范围。 B3【答案】； 【解析】 即 ，重根 1。，取倒数 ，故 是首项 、公差 1 的等差数列，，。验：。乘积 （逐项对消，只剩首分母 1 与末分子 ）。 【母题溯源】变式 2-1 取倒数加微专题 10 的裂项思想：重根给出的 型通项，乘积天然相消。 B4【答案】(1) ，不动点为 0；(2) ；(3) 【解析】(1) 不动点方程 ，即 。要“恰有一个实不动点”，需 （此时 为重根）；若 则有两根 ， 则无实根，均不合。故 ，唯一不动点 0。注意此时递推里“两根合一”，只能取倒数。(2) ， 的倒数 。 首项 1、公差 ，，。验：，且 、 恒成立。(3) ，故最小正整数 。 【母题溯源】例题 2 的重根配方加结论二的“判别式开关”：含参时先用判别式锁定参数，再走唯一路线。 B5【答案】(1) ；(2) 证明见解析 【解析】(1) 各项为正由 与递推归纳保证。记 ，则 ，。一次型递推的不动点满足 ，，于是 ，，。验： 得 3， 得 2.5，而 ，一致。(2) ；，故 递减， 递增，故 递减。综合得 且单调递减。本题的“不动点 2”在指数层，对应 层的 4：数列单侧逼近 4，这正是对数化前后基准要换算的原因。 【母题溯源】例题 3 的拆楼顺序：对数化之后仍是一次型，不动点这一步不能省。 B6【答案】(1) 不动点 1 与 −3，1 是吸引不动点，−3 是排斥不动点；(2)(3) 证明见解析 【解析】(1) 或 。取 ，，，故按定义 1 为吸引不动点，−3 为排斥不动点。（若把 对调，则比值变成 5，正好说明定义中“谁在分子”决定吸引与排斥。）(2) 先证 ：关键观察是“ 的原像只有它自己”。若 ，则 ，整理得 。由 是不动点，，即 ，代得 ；又 （否则 代回可得 ，从而 ，与题设矛盾），故只能 。于是“某一项等于 ”必然推出“前一项也等于 ”，一路回推到 ，与条件 矛盾，所以 对一切 成立（同理递推分母 恒不为零）。再记 ，由题型一 且 ，得 随 增大趋于 0。(3) 且 （因 为实数），由 知 与 的差为 ，当 时该差趋于 0，即数列被吸向 ；反之若初值取在排斥不动点 上，数列为常数列 ，一旦偏离 就再也回不去。这正是“吸引”与“排斥”的差别。 【母题溯源】例题 4 的定义翻译训练加结论二的配方：新定义题的动作永远先回到“ 与 的公比”。 B7【答案】示例：，（答案不唯一） 【解析】两个不动点为 2 与 −1，则不动点方程应为 ，与标准式 比对，取 得 、。取 、、、，得 （此时 ，递推不退化成常值）。，，，，。检验：；代递推得 ，代公式得 ，一致。由 且递减， 且递减，故 且单调递减，符合全部要求。构答要点有三条：根与系数对应、、初值落在吸引不动点的同一侧。 【母题溯源】结论二的逆向使用：本题要求从“根”倒推“系数”，与例题 1、变式 2-1 的正向流程刚好相反，这是开放题的考点所在。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $