微专题3 三角函数的变角与变式讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元2 三角恒等变形与解三角形 高中数学二轮复习专题讲义 03微专题3三角函数的变角与变式  三角恒等变换的题面千变万化，底层只有三条线索：角能不能凑、式能不能化、名称能不能统一。二轮不重背公式表，而是把“看角—看式—看名称”变成固定动作，让每一道给值求值题都有路可走。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 三角恒等变换在高考中既当“工具”又当“考点”：小题直接考给值求值，大题把它嵌进解三角形与函数性质。最近几年，条件不再停留在“单角单函数”，而是把角拆成和差、倍半，或把式子写成 、 的混合结构，考的是“先看角、再看式、最后统一名称”的转换能力。 表内取舍说明：2026 年全国Ⅱ卷第 7 题、2025 年全国Ⅱ卷第 8 题分别代表“式的变换”与“角的变换”两条主线，收作本讲例题；2024 年新课标Ⅰ卷第 4 题、Ⅱ卷第 13 题都以 的积或和为入口，归入“名称变换”；2023 年新课标Ⅰ卷第 8 题与 2022 年新高考Ⅱ卷第 6 题同属凑角与辅助角，本讲以变式 1-1 承载，训练 B1 再作迁移。三角形内的恒等变换（如 2025 年全国Ⅰ卷第 11 题）要结合内角和与正余弦定理，归微专题 4、5，本讲不重复。 表 1: 三角恒等变换考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅱ卷 7 二倍角方程求 ，再求分式的值（式变换） 2025 新课标Ⅱ卷 8 半角到倍角再到配角：由 求 2024 新课标Ⅰ卷 4 与 求 （切化弦） 2024 新课标Ⅱ卷 13 、 求 （正切和角、定象限） 2023 新课标Ⅰ卷 8 与 求 （凑角） 三条命题线索：其一，条件多以“方程”出现，先解出某个三角函数值，再代入目标，单纯套公式的题越来越少；其二，角的拆分从“明显的和差”升级为“需要自己配出特殊角”，如 、 到 的链条；其三，切化弦与“1 的代换”常与二倍角联合使用，算到最后往往是约分与定符号的较量。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不重铺公式，先把三类模型压成一张速查表，再用三只结论盒把最常用的变形固定下来。表里“一眼认出它的样子”一列，是拿到题后对号入座的依据。 表 2: 三角恒等变换三题型速查表 题型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 角的变换 条件角与目标角不同，但能写成和差、倍半关系（如 ，） 把目标角用条件角表示；缺的角用二倍角或诱导公式补；最后整体代入 例 1、变 1-1 二 · 式的变换 出现 、、、、，或目标为分式、齐次式 降幂、1 的代换、齐次化同除 ，先把式化成 或单角 例 2、变 2-1 三 · 名称变换 条件与目标同时出现 、、，或 与 成对出现 切化弦 ，通分或约分后回到和差角；先算 再定象限 例 3、变 3-1/3-2 结论一 · 角的三种拆法 （1）凑差角：目标角写成“条件角 特殊角”，如 、；特殊角的正余弦值必须记准。 （2）配角：未知角写成已知角的组合，如 ，；配完后整体代入，不拆单个角。 （3）倍半角： 用二倍角公式串联；每升一次角，都要用范围重新定符号。 结论二 · 式的三条通道 （1）降幂：，，。降幂的目的是把二次式变成一次式，便于合并同类项。 （2）1 的代换：；，，。看到“1”先想它能不能换成平方和。 （3）齐次化：分式上下同除 ，把式子整体化成 的有理式；前提是 ，除之前先声明。 结论三 · 切化弦与定符号 （1）切化弦：； 通分后出现 ， 直接换成 。 （2）定符号：由 求 、，先定 所在象限，再由 开方；只取正根是高频错误。 （3）约分前提：约去 、、 等因子前，先说明因子不为零；三角恒等变换和数列一样，约分要有“合法身份”。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配一道母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定变换 → 核心推演 → 回检定论。第二步“定变换”专管三件事——角怎么拆、式怎么化、名称怎么统一；第四步“回检定论”专管符号、范围与取舍。 （一）题型一：角的变换 题型识别。题面给出一个角的某个三角函数值，目标却是另一个角：如已知 求 ，或已知 求 。条件角与目标角之间一定存在和差、倍半关系，只是没有明说。 通法模型。第一步认模型：先把条件角和目标角写在草稿纸两端，画一条“角链”；第二步定变换：用凑差角、配角或倍半角把目标角接到条件角上；第三步核心推演：代入公式，优先整体代换；第四步回检定论：用范围定符号，最后检查答案是否落在合理区间。 例题 1（题型一·半角到配角的角链） 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 图 1: 半角到倍角： 与 的位置 第 1 步 · 认模型：条件角是 ，目标角是 ，中间隔着“半角到倍角”和“倍角到差角”两级。先把角链写成 ，再决定每一步用哪个公式。 第 2 步 · 定变换：第一级用二倍角：；第二级用差角：。因为 ，所以 ； 的符号由算出的值直接判断。 第 3 步 · 核心推演：，故 。于是 第 4 步 · 回检定论：，落在 [−1,1] 内； 是第二象限角， 接近 ，正弦应接近 1，与结果相符。故选 D。 方法点睛 · 先画角链再动公式 角变换题最怕“拿到就展开”。先在草稿纸两端写下条件角和目标角，中间用箭头标出“乘 2”“减 ”“取相反角”等动作，角链一清楚，公式自然就选出来了。每升一次角，都要用范围重新定符号。 变式 1-1（题型一·辅助角与凑角） 若 ，则（　　） A．　　B． C．　　D． 解析 第 1 步 · 认模型：左边是 与 同角相加，右边是 。左边先用辅助角收成一个正弦，右边保留 与 的差角结构。 第 2 步 · 定变换：。原式两边除以 ，得 第 3 步 · 核心推演：左边展开： 移项得 ，即 。 第 4 步 · 回检定论：故 （），即 ，所以 。选 C。这里没有做除法，避免了“余弦为零”的讨论。 方法点睛 · 能整体不拆开 看到 ，第一反应应是辅助角；看到 ，第一反应应是“ 与 的差角”。两边都朝同一个“整体角”靠，才能约掉。 （二）题型二：式的变换 题型识别。题面出现 、、、、 等结构，或目标是分式、齐次式。条件往往是一个“半成品”方程，直接代入会越算越繁。 通法模型。第一步认模型：先看“次数”和“角”——二次就降幂，一角就统一；第二步定变换：降幂、1 的代换、齐次化三选一；第三步核心推演：把式化成 的有理式或单角式，再约分；第四步回检定论：检查分母非零、符号与范围。 例题 2（题型二·二倍角方程与分式求值） 已知 为第二象限角，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 图 2: 第二象限角的参考三角形（） 第 1 步 · 认模型：条件里 、、、 混在一起，目标是关于 、 的一次分式。先把角统一到 ，再约去公因子。 第 2 步 · 定变换：用 ，。因为 是第二象限角，、，所以两边可以同除以 。 第 3 步 · 核心推演：原式化为 约去 ，得 ，即 。由 得 ，。 第 4 步 · 回检定论：代入目标： 选 C。检验：，且 在第二象限，符号无误。 方法点睛 · 先统一次数，再统一角 条件里既有二倍角又有一次角，先问“能不能都化成 的一次式”。化完后如果每一项都含 ，就约掉它，方程立刻从二次降到一次。约分前写一句“ 为第二象限角，”，既合法又提醒自己不要漏解。 变式 2-1（题型二·常数代换与齐次化） 已知 ，则 ______。 解析 第 1 步 · 认模型：条件是 与 的齐次线性关系，目标是含 、 的分式。先把条件化成 ，再用“1 的代换”或降幂把目标化成 的式子。 第 2 步 · 定变换：由 ，且 （否则 ，与条件矛盾），得 。目标中 第 3 步 · 核心推演：原式 第 4 步 · 回检定论：填 。检验： 时 ，分母 ，变形合法。 易错微警 · 同除之前先看分母 把 写成 、把 写成 ，是“1 的代换”的两条主通道。但同除 前必须确认 ；本题由 且 、 不能同时为零，恰好保证了这一点。 （三）题型三：名称变换 题型识别。条件与目标同时出现 、、，或 与 成对出现；目标常是 、。这类题的“名称”不统一，直接展开会越算越乱。 通法模型。第一步认模型：先看“ 的和、差、积”是否成对；第二步定变换：切化弦，把 写成 ，通分后出现 与 ；第三步核心推演：先算 ，再用 求 、；第四步回检定论：用象限或范围定符号。 例题 3（题型三·正切和角与定象限） 已知 为第一象限角， 为第三象限角，，，则 ______。 图 3: 角 、 与 的象限分布 第 1 步 · 认模型：条件是 与 成对出现，目标 是“和角”的三角函数值。先用正切和角公式算 ，再切化弦求 。 第 2 步 · 定变换： 由 在第一象限、 在第三象限，得 ；又 ，所以 。 第 3 步 · 核心推演：由 ，得 因为 在第四象限，，故 ，。 第 4 步 · 回检定论：填 。检验：，且 在第四象限，正弦为负，符号一致。 易错微警 · 先粗定范围，再拿符号筛 由 、 只能得到 ，这是“粗范围”。再用 把范围缩到 ，才能断定 、。少了这一步，开方就会多出一个正根。 变式 3-1（题型三·切化弦与整体代换） 已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 解析 第 1 步 · 认模型：条件一边是 ，一边是 ，名称不统一；目标是 。先切化弦，把 的积翻译成 、 的积。 第 2 步 · 定变换：由 ，且 、 有意义，知 ，于是 第 3 步 · 核心推演：由 ，代入上式得 于是 第 4 步 · 回检定论：选 A。检验： 存在，故 ，从而 ；结果 与 异号，符合“和角余弦与差角余弦异号”的结构。 方法点睛 · 把正切的积翻译成正弦余弦的积 不是“两个角的正切积”，而是“ 是 的 2 倍”。把它代进 的展开式，和角、差角会自然出现 的系数，答案一步就出来了。 变式 3-2（题型三·多选·切化弦与范围） 已知 为锐角，，，则（　　） A．　　B． C．　　D． 解析 第 1 步 · 认模型：给出两个角的正切值，选项全是和差角与 、 的值，是“名称变换 + 范围”的多选题。先把 的和差算出来，再切化弦。 第 2 步 · 定变换： 由 为锐角，得 ，。 第 3 步 · 核心推演：A： 且 ，故 ，A 正确。B：，B 错误。C：，C 正确。D：，且 ，故 ， D 正确。 第 4 步 · 回检定论：选 ACD。检验：四个选项逐一用范围定符号，没有把 误写成 ，也没有把 误判成 。 方法点睛 · 多选要“逐项定范围” 多选的和差角题，最容易在“符号”上丢分。每个选项都问三句：角在哪个象限？ 的符号是什么？、 该取正还是取负？三句答完再打勾，不要凭“看起来像”选。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“符号”与“约分”两件事上：前者靠范围定，后者靠非零声明。分两张表列出。 表 3: 高频错误及其纠正（公式与流程类） 错误表现 错因 正确做法 由 求 后，开方取正不求符号 忘记用 的范围定 的符号 先定 的范围，再画单位圆或参考三角形定符号 由 求 只取正根 平方关系开方有两解，未定和角象限 先粗定和角范围，再由 的符号缩到具体象限 降幂公式写成 混淆降幂与二倍角，漏了系数 先写 ，再反解 表 4: 高频错误及其纠正（符号与范围类） 错误表现 错因 正确做法 约去 不说明非零 把第二象限 当成默认 约分前写一句“ 为第二象限角，” 由 直接写 跳过正切定义域 先写 、 有意义，故 把 、 的象限直接相加，不再缩小 只做粗范围，没做符号筛选 先粗定 ，再由 缩到 动笔前的三句自查 条件角与目标角的角链画了吗？开方前定象限了吗？约分前说明因子非零了吗？——三句都答“是”，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（题型一 3 题、题型二 2 题、题型三 2 题），B 组练迁移与综合，其中 B4、B5、B7 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 已知 ，，则 ______， ______。 A2 已知 ，则 ______， ______。 A3 已知 ，则 ______。 A4 已知 ，则 ______。 A5 已知 ，，则 ______， ______。 A6 已知 ，，则 ______， ______。 A7 已知 ，，则 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 已知 ，，则 ______。 B2 已知 ，，则 ______。 B3 已知 ，，则 ______。 B4 已知 ，，则 ______， ______。 B5 已知函数 ，则 的最小正周期为 ______，值域为 ______。 B6 已知 为锐角，，，则 ______。 B7 已知 ，则 ______。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1　　【答案】； 【解析】因为 在第二象限，所以 。于是 ，。 【母题溯源】对应例 1：二倍角公式与前一步定符号，先定 再代。 A2　　【答案】； 【解析】；。 【母题溯源】对应例 2：降幂公式把二次式化为一次式，半角公式是降幂的另一面。 A3　　【答案】2 【解析】，分子分母同除 ，得 。 【母题溯源】对应例 3：切化弦后同除 ，把正余弦的齐次式化成 。 A4　　【答案】 【解析】两边平方：，即 ，故 。 【母题溯源】对应变式 2-1：把 1 写成 ，平方后出现 。 A5　　【答案】−1； 【解析】；。 【母题溯源】对应例 3：正切和差角公式，分子是 的和差，分母是 。 A6　　【答案】； 【解析】展开得 ，。两式相加得 ，故 ；两式相减得 ，故 。 【母题溯源】对应例 1：和差角展开后整体相加、相减，不求单个角。 A7　　【答案】 【解析】由 得 ，故 。于是 【母题溯源】对应例 1：把一个角写成“已知角减特殊角”，再用差角公式。 （二）B 组 B1　　【答案】3 【解析】展开两式：，。相加得 ，即 ；相减得 ，即 。故 。 【母题溯源】对应例 1 与变式 1-1：和差角展开后相加、相减，得到两个“乘积块”，再整体作比。 B2　　【答案】 【解析】两式平方相加： 左边展开为 ，故 ，解得 。 【母题溯源】对应例 2：平方相加是“1 的代换”的升级版，把两个方程合成一个和差角。 B3　　【答案】 【解析】注意到 ，于是 【母题溯源】对应例 1：配角，把目标角写成两个已知角的差，再用差角公式。 B4　　【答案】； 【解析】两式平方相加得 ，故 。又由和差化积， 两式相除（余弦因子不为零），得 。于是 【母题溯源】对应例 2：平方相加先求 ，再用和差化积与半角求 ；两步都用“整体”而非单个角。 B5　　【答案】；[−2,2] 【解析】降幂并合并： 故最小正周期 ，值域为 [−2,2]。 【母题溯源】对应例 2：先降幂，再用辅助角合并成一个正弦型；这是“式变换”通往“函数性质”的标准出口。 B6　　【答案】 【解析】。因为 为锐角，所以 ；在这个区间内 只对应 ，故 。 【母题溯源】对应变式 3-2：正切和角算出值后，必须用范围把角定死，不能只写 。 B7　　【答案】 【解析】展开并合并： 由已知得 ，故 。于是 【母题溯源】对应例 1：配角后整体求值，再用诱导公式“加 变号”。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $