微专题5 正弦、余弦定理在解三角形中的应用讲义-2027届高三数学二轮专题复习

第1章 · 三角与向量 · 大单元3 平面向量及其应用 高中数学二轮复习专题讲义 05微专题5正弦、余弦定理 在解三角形中的应用  边角互化是解三角形的通用入口，图形分解是近几年压轴小问的新增长点。二轮不重背定理，只练三件事：看到边角混合先定“化角还是化边”，看到范围先定“余弦加不等式还是正弦化角”，看到中线、角平分线、高与实际测量先拆图找公共边。 怎么用这本讲义：先读“考情与命题趋势”，明确最近三届考什么；再照“知识与方法必备”的速查表对号入座；然后按四步流程精读例题，并独立完成变式；最后限时完成课后分层训练，错题回对应例题重走流程。 ▶ 一、考情与命题趋势 解三角形在高考中“大题稳定、小题灵活”：大题第一问几乎必考边角互化，第二问常与面积、周长、中线或图形分解结合；小题则偏爱三边求角、两边一对角的两解判断。2026 年全国Ⅰ卷第 16 题把平行、垂直条件嵌入三角形，标志图形分解从“辅助线技巧”升级为“必练模型”。 表内只收直接用到正弦、余弦定理的题。2026 年全国Ⅰ卷第 16 题的第 (2) 问是本讲例题 3 的核心；2025 年全国Ⅱ卷第 5 题三边求角，收进训练 A1；2024 年新课标Ⅰ卷第 15 题与 2023 年新课标Ⅰ卷第 17 题分别示范“余弦定理定角”与“角关系消元”，作为例题 1 与变式 1-1；2023 年新课标Ⅱ卷第 17 题的中线与面积模型作例题 2。纯角度范围归微专题 4，三角函数的图象与性质归微专题 1；实际测量的情境题以变式 3-1 呈现（原创情境，非真题）。 表 1: 正弦、余弦定理考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国Ⅰ卷 16 余弦定理求 ；延长线、平行、垂直条件下的图形分解 2025 全国Ⅱ卷 5 已知三边用余弦定理求角（选择） 2024 新课标Ⅰ卷 15 正弦、余弦定理边角互化；面积条件求边 2023 新课标Ⅰ卷 17 角关系消元；正弦定理与 边上的高 2023 新课标Ⅱ卷 17 面积与中线； 条件下求边 三条命题线索。其一，边角互化的入口更隐蔽：2024 年Ⅰ卷第 15 题把 与 混写，第一步是用余弦定理把平方和结构翻成角，而不是直接套公式。其二，图形分解成为新增长点：2026 年Ⅰ卷第 16 题在 延长线上构造平行线与垂线，2023 年Ⅱ卷第 17 题用中线把三角形分成两个小三角形，破题点都是公共边。其三，范围问题从“求值”转向“求最值”：2023 年Ⅱ卷第 17 题给 求边，用余弦定理加基本不等式；2026 年Ⅰ卷第 16 题在图形分解中求线段长，用正弦定理定角。 ▶ 二、知识与方法必备 二轮不铺定义，先用一张表把三个模型的“题面长相”和“第一动作”对齐，再给三条结论清单。 表 2: 解三角形三模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 边角互化 条件里同时出现边与角，如 、 与 的混合式 齐次式化角或化边；含平方和用余弦定理 例题 1、变式 1-1 二 · 面积与周长的范围 给一角一边、面积或中线，问面积、周长、边的和的最大值或范围 余弦定理加基本不等式；或正弦定理化角加辅助角 例题 2、变式 2-1 三 · 图形分解与实际测量 出现中线、角平分线、高、平行或垂直、折线，或仰角、方位角 找公共边拆成两个三角形；测量题先地面三角形再直角三角形 例题 3、变式 3-1 结论一 · 定理选择的三个信号 看到 、三边或“两边夹一角”，先想余弦定理；看到 与 的比、外接圆半径或两角一边，先想正弦定理；看到面积，先写 。边角混合的等式，若每一项关于边（或角）次数相同，可整体化角或化边；若次数不同，先移项凑成余弦定理或面积公式。 结论二 · 面积与周长的整体代换 已知一边及其对角（如 与 ），余弦定理可写成 ，再用 求 的范围；面积 随 单调， 的范围就是面积的范围。已知两角一边，先用正弦定理把 都写成 、，再用辅助角公式合并。 结论三 · 图形分解的公共边 中线：；角平分线：；高：两个直角三角形共高，优先等面积。实际测量：仰角是视线与水平线的夹角，不是地面三角形的内角；先在地面基线三角形用正弦定理，再进直角三角形求高。 ▶ 三、高频题型突破 本节三个题型各配母题与变式，每题统一按四步展开：认模型 → 定工具 → 核心推演 → 回检收束。第四步“回检收束”专管三件事——三角形是否真的存在、角是否落在 、等号或取整条件是否成立。 （一）题型一：正余弦定理的边角互化 题型识别。条件里边与角同时出现：如 、、，或给出 这类角的关系式。 通法模型。三条路按“化完能否合并”选：① 齐次边角式化角——用 、、 代换，约去 ；② 含平方和与余弦结构化边——用余弦定理把角换成边，再因式分解；③ 角关系用内角和消元——把 写成 ，目标只留一个角。选路口诀：能合并同名同角就化角，能分解因式就化边。 例题 1（题型一·边角互化） 记 的内角 的对边分别为 。已知 ，。 (1) 求 ； (2) 若 的面积为 ，求 。 解析 第 1 步 · 认模型：两式都是边角混合式：第二式左边是“平方和减平方”，是余弦定理的招牌；第一式把 与 绑在一起。先由第二式定 ，再用第一式定 。 第 2 步 · 定工具：对第二式用余弦定理 ；对第一式用同角关系 ，把 变成数。 第 3 步 · 核心推演：由 得 因为 ，所以 ，。代入 ，得 ，故 。于是 第 4 步 · 回检收束：三个角都在 内且和为 ，三角形存在。第 (2) 问由正弦定理 所以 代入 ，，，得 由 得 ，故 。检验：，且 与 的取值相容。 方法点睛 · 先找“最像定理”的那一项 不要两式一起展开。 是余弦定理的招牌，先用它一步定角； 只负责传递角。二轮做边角互化，顺序比技巧重要：先定一个角，再把剩下的条件压到另一个角上。 变式 1-1（题型一·角关系消元） 在 中，，。 (1) 求 ； (2) 设 ，求 边上的高。 解析 第 1 步 · 认模型：条件全是角的关系，没有一条边。先用内角和把 定下来，再把 消掉，目标只留 。 第 2 步 · 定工具：由 与 得 ；再用 把 化成只含 的方程。 第 3 步 · 核心推演：由 得 ，于是 左边展开为 ，右边展开为 。两边同乘 ，得 即 ，所以 。由 为三角形内角，，故 第 4 步 · 回检收束：第 (2) 问中 。由 得 由正弦定理 设 边上的高为 ，则 。检验：，，，三角和为 ；高 与等面积公式 一致。 方法点睛 · 角关系式的两步走 角关系式的第一步永远是内角和消元，第二步是把目标角留下。求高不必先求整条边——，或等面积 ，两条路都通向同一个 6。二轮训练时两条都写一遍，考场上取计算量小的那条。 （二）题型二：面积与周长的范围 题型识别。给一角一边、面积或中线，问面积、周长、边的和的最大值或取值范围；或给 、 这类对称条件求边。 通法模型。两条主线：① 余弦定理加基本不等式——把 、 看成整体，用 与 建立不等式；② 正弦定理化角——把 写成 、，用内角和把两个角并成一个，再用辅助角公式。等号条件必须回代三角形检验。 例题 2（题型二·面积与中线） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ， 为 的中点，且 。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 。 图 1: 中线 把三角形分成两个小三角形 解析 第 1 步 · 认模型：中点、面积、中线同时出现，是图形分解模型。 把 分成 与 ，两个小三角形面积相等，且 与 互补。 第 2 步 · 定工具：第 (1) 问先用面积公式求 ，再用余弦定理求 与 ，最后在 中求 ；第 (2) 问用中线公式把 与 连起来。 第 3 步 · 核心推演：(1) 因为 是 的中点，。又 ，所以 代入 得 ，故 ，。在 中， 故 。在 中， 故 。于是 所以 。 (2) 由中线公式 即 。代入 得 ，故 。又由余弦定理 得 ，即 。由面积 得 。两式平方相加： 故 。与 联立，得 。 第 4 步 · 回检收束：第 (1) 问 ， 为锐角，与 、、 的三角形相符。第 (2) 问 ，，此时 ，面积 ，全部条件满足。 方法点睛 · 中线先写中线公式 中线问题的第一动作不是设 ，而是写 ，或把面积对半分。第 (1) 问两次余弦定理都用“已知两边夹角求第三边”；第 (2) 问把 与 当两个未知量，平方相加消去 ，比硬解 更快。 变式 2-1（题型二·边和与面积的最值） 在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值。 解析 第 1 步 · 认模型：一角一边，求边和与面积的最大值，是“余弦定理加基本不等式”的标准题。 第 2 步 · 定工具：余弦定理给出 的约束，基本不等式把 压到 上；面积公式把 直接翻译成面积。 第 3 步 · 核心推演：由余弦定理 又 ，所以 故 ，等号当且仅当 时成立。 面积 等号同样在 时成立。 第 4 步 · 回检收束：， 构成等边三角形， 满足；故 的最大值为 4，面积的最大值为 。 易错微警 · 两个最值共用等号条件 本题两个最大值都在 时取到，这是等边三角形的巧合，不是通用规律。若把 改成 ， 的最大值仍在 时取到，但面积要重新用 算。写完最值，必须回代三角形检验等号能否同时成立。 （三）题型三：图形分解与实际测量 题型识别。题面出现中线、角平分线、高、平行或垂直关系、折线，或实际测量中的仰角、方位角；单个三角形条件不够，必须拆图。 通法模型。① 找公共边或公共角，把图形拆成两个三角形；② 每个三角形只保留“已知三量”，能列正弦定理就列正弦，能列余弦定理就列余弦；③ 公共边通常先在含已知角最多的三角形中求出。实际测量：先画铅垂线，地面三角形用正弦定理，直角三角形再用仰角。 例题 3（题型三·图形分解） 在 中，，，。 (1) 求 ； (2) 满足 在 延长线上，，，，求 。 图 2: 延长线上的平行与垂直分解 解析 第 1 步 · 认模型：第 (1) 问是一个三角形的“三量求角”；第 (2) 问出现延长线、平行、垂直，单个三角形不够用，必须拆出 与 。 第 2 步 · 定工具：第 (1) 问用余弦定理求 ，再用余弦定理求 ；第 (2) 问目标 在 中，需要 ； 在 中，已知 与两个角，用正弦定理。 第 3 步 · 核心推演：(1) 在 中， 故 。于是 (2) 设 。因为 在 的延长线上， 与 反向；又 ，所以 因为 ， 与 互补，所以 在 中，由正弦定理 故 在 中，，所以 第 4 步 · 回检收束：，，， 内角和为 ； 与正弦定理一致，，结果合理。 方法点睛 · 平行线与延长线只做一件事 平行线与延长线的作用只有一个：把未知角翻译成已知角。 与 互补、 与 互余，两个角一确定， 就能用正弦定理；最后一步回到直角三角形，勾股定理收口。二轮遇到“图都画不出来”的题，先找这两个角。 变式 3-1（题型三·实际测量） 如图，为测量塔 的高度，在塔底 所在的水平面内选取 两点，测得 m，，，在 处测得塔顶 的仰角为 。求塔高 （结果保留根号）。 图 3: 塔高测量的基线三角形示意 解析 第 1 步 · 认模型：实际测量题，拆成地面三角形 与竖直直角三角形 。 第 2 步 · 定工具：地面三角形已知两角一边，用正弦定理求 ； 中已知仰角 ，用正切把 与 连起来。 第 3 步 · 核心推演：在 中， 由正弦定理 所以 在 中，，故 第 4 步 · 回检收束： m， m，与“仰角 时高等于水平距离”一致；塔高小于基线 m，结果合理。 方法点睛 · 测量题先分清三个平面 测量题先分清三个平面：地面基线三角形、竖直直角三角形、视线。仰角 意味着 ，这一步把空间问题降成平面距离；若仰角是 ，就多一步 。地面三角形永远先解，因为它是唯一能直接用正弦定理的三角形。 ▶ 四、易错警示 本专题的失分点集中在“互化不检验”和“拆图不找公共边”两处，合并列成一张表。 表 3: 高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 把 写成 ，或只在等式一边代换 忽略了 能约去的前提是等式两边关于边（或角）齐次 先检查每一项的边次数或角次数是否一致，齐次才可整体约去 已知两边和其中一边的对角，用正弦定理求出 后只取锐角 正弦值对应两个角，漏掉钝角解 写出 的两个可能值，逐一检验 与“大边对大角” 用基本不等式求 最大值后不检查等号条件 可能与已知角或边矛盾 回代等号成立时的三角形，确认角的条件与边长均为正 中线、角平分线问题硬套一个三角形 没有利用 在 上、公共边或同高等拆分条件 把图形拆成 与 ，优先用等面积或中线公式 动笔前的四句自查 边角互化前先看齐次；求角之后先验两解；范围题最后验等号；遇到中线、角平分线、高和测量，先拆图找公共边。四句都答“是”，再动笔。 ▶ 五、课后分层训练 本组训练与例题一一对应：A 组练基本动作（A1–A6），B 组练迁移与综合（B1–B6），其中 B4 为结构不良题，B6 为难题。先遮住答案独立完成，再对照解析找流程缺口。 （一）基础巩固（A 组） A1 在 中，，，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． A2 在 中，，，，则 ______。 A3 在 中，，， 的面积为 ，则 ______。 A4 在 中，，，，则 是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．无法判断 A5 （多选）在 中，下列等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． A6 在 中，，，，则 ______。 （二）能力提升（B 组） B1 在 中，，，，求 与 。 B2 在 中，，，，求 与 的面积。 B3 在锐角 中，，，求 的取值范围。 B4 在 中，，。从条件“① ”“② ”“③ 的面积为 ”中任选一个作为已知，求 的周长。 B5 在 中，，，， 于 ，求 的长。 B6 在 中，，，求 的最大值。 ▶ 六、参考答案与解析 以下解析与题目编号一一对应，每题按【答案】、【解析】、【母题溯源】三段呈现，便于快速批阅与检索；【母题溯源】注明该题对应的例题（变式）与突破口。 （一）A 组 A1【答案】A 【解析】由余弦定理， 故 ，选 A。 【母题溯源】对应例题 1：三边求角，余弦定理的直接应用。 A2【答案】 或 【解析】由正弦定理 ，得 所以 或 。检验： 时 ； 时 ，均满足三角形内角和，故两解都保留。 【母题溯源】对应变式 1-1：正弦定理求角必须检验两解。 A3【答案】 【解析】由面积公式 得 。再由余弦定理 故 。 【母题溯源】对应例题 1：面积公式与余弦定理联用。 A4【答案】C 【解析】最大边为 ，最大角为 。由余弦定理 故 为钝角， 是钝角三角形，选 C。 【母题溯源】对应例题 1：余弦定理判断最大角的钝锐。 A5【答案】ABC 【解析】A 项是正弦定理 的变形，恒成立；B 项是投影公式，由 恒成立；C 项是余弦定理的直接变形，恒成立；D 项应为 ，符号错误。故选 ABC。 【母题溯源】对应知识与方法必备结论一：定理的三种等价写法。 A6【答案】 【解析】由正弦定理 ，得 【母题溯源】对应例题 1：两角一边用正弦定理。 （二）B 组 B1【答案】， 【解析】由正弦定理 所以 或 。因为 ，所以 ，故 ，从而 【母题溯源】对应变式 1-1：用“大边对大角”舍去增解。 B2【答案】，面积为 【解析】由余弦定理 代入得 即 ，解得 （舍去 ）。面积 【母题溯源】对应例题 1：已知两边及夹角，余弦定理求第三边。 B3【答案】 【解析】由正弦定理 得 因为 是锐角三角形，，所以 由 得 ，故 ，从而 。于是 【母题溯源】对应变式 2-1：正弦定理化角，锐角条件决定角的范围。 B4【答案】 【解析】三个条件都能唯一确定 。选①：由余弦定理 ，即 ，得 ，故周长为 。选②同理得 ，周长相同。选③：由面积 得 ；又 ，得 ，于是 ，，周长仍为 。三个条件殊途同归。 【母题溯源】对应例题 2：结构不良题的实质仍是余弦定理方程。 B5【答案】 【解析】由余弦定理 ，故 。又 由 得 ，所以 【母题溯源】对应变式 1-1：等面积法求高。 B6【答案】 【解析】由正弦定理，，故 ，。展开得 其中 ，。当 时取等号，且 ，故最大值为 。 【母题溯源】对应变式 2-1：正弦定理化角后用辅助角公式求最值。 〈 第 1 页 〉 学科网（北京）股份有限公司 $