周周练1 数列及等差数列的概念-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

周周练1　数列及等差数列的概念(范围：4.1～4.2.1) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知6是t和2的等差中项，则t的值为(　　) A．4 B．8 C．10 D．11 解析：选C.由于6是t和2的等差中项，故12＝t＋2，故t＝10. 2．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝a7＋8，则a5＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选D.在等差数列{an}中，由于a4＋a8＝a7＋8，故a5＋a7＝a7＋8，所以a5＝8. 3．如果数列1，5，12，22，…中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为(　　) A．70 B．92 C．105 D．118 解析：选B.方法一：从1，5，12，22中可以得到规律，后三项是各自前一项依次加4，7，10，则此数列的第8项应为22＋(13＋16＋19＋22)＝92. 方法二：从图形角度，第二个图形表示的数可以看成一个点加上一个正方形数，即1＋2×2； 第三个图形表示的数可以看成三角形数“∴”和正方形数“”的和，即(1＋2)＋(3×3). 同理得第四个图形表示的数为(1＋2＋3)＋(4×4)， 以此类推，可知第八个图形表示的数为(1＋2＋3＋…＋7)＋(8×8)＝92. 4．在实数m和n(m＜n)之间插入4个不同的数，这6个数恰好构成公差为3的等差数列，则m－n的值为(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：选D.6个数构成等差数列，项数为6，公差为3，首项为m，末项为n， 则n＝m＋(6－1)×3＝m＋15，故m－n＝m－(m＋15)＝－15. 5．已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围是(　　) A． B． C．(2，3) D．[2，3) 解析：选C.an＝(n∈N*)为递增数列，故 解得2＜b＜3. 6．已知数列{an}满足a2＝2，前n项和为Sn，Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋log2(n≥2，n∈N*)，则a8＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．4 解析：选C.由Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋log2(n≥2，n∈N*)， 得Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋log2(n≥2，n∈N*)， 所以an＋1－an＝log2(n＋1)－log2n(n≥2，n∈N*)， 所以a3－a2＝log23－log22，a4－a3＝log24－log23，…，a8－a7＝log28－log27， 各式两端相加得a8－a2＝log28－log22， 故a8＝log28－log22＋a2＝3－1＋2＝4. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知等差数列{an}，a1＝，a2＋a4＝4，则下列结论正确的是(　　) A．等差数列{an}的公差为 B．等差数列{an}的通项公式为an＝n＋ C．等差数列{an}是递增数列 D．若an＝35，则n＝52 解析：选AC.对于A，2a3＝a2＋a4＝4，则a3＝2，所以公差d＝＝，所以A正确； 对于B，a1＝，d＝，则通项公式为an＝＋(n－1)×＝n－，所以B错误； 对于C，由选项A知an＋1－an＝d＝＞0，所以C正确； 对于D，由选项B知an＝n－，则当an＝35时，解得n＝，而n∈N*，所以D错误． 8．设数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}为常数列(各项均为同一个常数的数列)的一个充分条件是(　　) A．Sn＝n B．Sn＋1＝Sn＋1 C．Sn＝nan D．Sn＋1＝2Sn－Sn－1(n≥2) 解析：选AC.对于A，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－n＋1＝1， 故{an}的通项公式为an＝1，为常数列，故A正确； 对于B，an＋1＝Sn＋1－Sn＝1，n≥1，不妨设a1＝0，则此时{an}不为常数列，故B错误； 对于C，Sn＋1＝(n＋1)an＋1，Sn＝nan， 两式相减得an＋1＝(n＋1)an＋1－nan， 故nan＋1＝nan，即an＋1＝an，故{an}为常数列，故C正确； 对于D，当n≥2时，Sn＋1＝2Sn－Sn－1，即Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1，即an＋1＝an， 若a1≠a2，{an}不为常数列，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．设数3n(n∈N*)的个位数为an，则a150＝______． 解析：因为3，32，33，34，35，36，37，38，…的个位数分别为3，9，7，1，3，9，7，1，…，所以数列{an}是周期为4的周期数列，所以a150＝a37×4＋2＝a2＝9. 答案：9 10．有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为________，春分时节的日影长为________尺． 解析：设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长构成等差数列{an}，公差为d，由题意得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5， 即春分时节的日影长为4.5尺． 答案：－1　4.5 11．若数列{an}满足a1＝12，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2an，则an＝__________． 解析：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2an，① 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＋(n＋1)an＋1＝(n＋1)2an＋1，② ②－①得，(n＋1)an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，得＝， 所以有an＝···…··a1＝×××…××a1＝，n≥2.当n＝1时，a1＝12也满足上式， 所以an＝. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)(2026·长春期中)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，若bn＝. (1)求证：{bn}是等差数列；(7分) (2)求数列{an}的通项公式．(6分) 解：(1)证明：由an＋1＝，则＝＝1＋， 则－＝1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得，bn＝＝1＋(n－1)×1＝n，则an＝. 13．(本小题满分15分)给定数列{an}，它的前n项和为Sn＝n2＋λn(λ∈R). (1)若λ＝10，求{an}的通项公式；(7分) (2)若数列为递增数列，求实数λ的取值范围．(8分) 解：(1)由λ＝10知Sn＝n2＋10n， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋10n－[(n－1)2＋10n－10]＝2n＋9， 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式， 所以an＝2n＋9. (2)因为{Sn}为递增数列，所以Sn－Sn－1＝n2＋λn－[(n－1)2＋λ(n－1)]＝2n＋λ－1＞0， 即λ＞1－2n(n≥2)恒成立， 解得λ＞－3. 14．(本小题满分15分)(2026·镇江期中)已知{an}与{bn}为公差相同的等差数列，且an＋bn＝4n，a1＝b2. (1)求{an}与{bn}的通项公式；(7分) (2)求数列的前n项和Sn.(8分) 解：(1)设a1＝x，则b1＝4－x，b2＝x，a2＝8－x， 由题意可得a2－a1＝8－2x＝b2－b1＝2x－4，解得x＝3. 则{an}的首项为3，公差为2，{bn}的首项为1，公差为2， 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得anbn＝(2n＋1)(2n－1)，n∈N*， 故＝＝，则Sn＝[＋＋…＋]＝(1－)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $