3.3幂函数导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《幂函数》导学案 一、学习目标 C层（基础层）：识记幂函数的概念，识别常见幂函数解析式，能记住5个基础幂函数的图像与简单性质。 B层（提升层）：掌握幂函数定义域、奇偶性、单调性判断方法，会利用幂函数性质比较大小，提升读图与规范答题能力。 A层（拓展层）：能够结合幂函数图像与性质解决参数求解、综合比较大小问题，辨析幂函数易错点，完善函数知识体系，发展数学抽象与直观想象素养。 思政目标：通过探究幂函数图像的变化规律，感受数学形式的统一与变化，体会量变引起质变的辩证观点，养成数形结合、严谨求实的思维习惯。 二、本课重难点 重点：幂函数的概念；5个常见幂函数的图像与性质；利用幂函数单调性比较大小。 难点：幂函数指数变化对图像的影响；幂函数定义域与性质综合应用。 三、课前预习【学案・自学】 旧知回顾：（设置问题） 1. 简述函数奇偶性的判断步骤。 2. 简述增函数、减函数定义。 新知梳理（人教A版必修第一册P88‑P90，填空式） 1.幂函数定义：一般地，函数________叫做幂函数，其中底数是自变量，指数是常数。 2.幂函数解析式特征：系数必须为______；自变量在______位置；指数为常数。 3.五个常见幂函数：，，，，；所有幂函数在区间________上都有图像，都过定点________。 核心概念（填空式） 1.当时，幂函数在上单调________；当时，幂函数在上单调________。 2.幂函数的奇偶性由指数决定，奇偶性会影响________象限图像。 预习疑惑：（学生记录） 预习自测：（4个小题） 1.判断：是幂函数（） 2.幂函数的定义域为________。 3.幂函数过定点坐标________。 4.比较大小：____（填>、<、=）。 四、课堂探究【导学案・共学】 情境导入（文字情境） 我们已经学习，这类底数为自变量、指数为常数的函数就是幂函数。同一坐标系画出它们的图像，观察图像变化，探究幂函数的图像与性质。 核心探究 探究点1：幂函数的概念 问题：幂函数和指数函数有什么区别？幂函数解析式有什么严格要求？ 知识梳理：（根据预习，学生呈现，师生共同完善） 1.幂函数形式，系数必须为1； 2.自变量处在底数位置，指数为常数； 3.指数函数：，底数常数，在指数位置。 典型例题1：下列函数哪些是幂函数？ ①；②；③；④。 解题思路：紧扣定义，看系数是否为1，自变量是否在底数位置。 跟踪训练1：判断：，是否为幂函数。 方法总结：幂函数判定：形式，系数为1，是底数，指数为常数。 探究点2：幂函数图像与性质、比较大小 典型例题2：利用幂函数性质，比较大小：与。 解题思路：构造幂函数，，在单调递增，比较自变量，得到函数值大小。 跟踪训练2：比较大小：与。 易错警示： 1.幂函数系数必须是1，系数不为1一定不是幂函数； 2.定义域，图像只在第一象限； 3.幂函数在递减，但不能说在全体定义域递减。 规范要求：比较大小书写要写出对应幂函数、单调性，再给出大小关系。 合作研讨 问题：已知幂函数过点，求的值。 点拨：代入点坐标求解参数，幂函数解析式系数为1。 结论：________________________________________________ 五、当堂检测 基础必做：3个小题 1.下列是幂函数的是（） A. B. C. 2.幂函数，在区间单调性：________。 3.比较大小：________，写出简要依据。 提升选做：1个小题 3. 已知幂函数经过点，求的值。 拓展选做：1小题 4. 比较大小：与。 六、课堂小结（学生自主建构） 知识框架（呈现） 幂函数 方法模型（教师指导完成） 1.幂函数判定：看形式，系数为1； 2.比较大小：构造幂函数→判断单调性→比较自变量得到函数值； 3.求幂函数参数：代入已知点坐标求解。 七、错题归因（学生填写留空） 错因：（知识漏洞□ 审题失误□ 方法不足□ 书写不规范□） 整改：________________________________________________ 八、学后反思（学生填写留空） 掌握较好：____________________________________________ 存在问题：____________________________________________ 改进措施：____________________________________________ 九、课后分层作业 （分为A、B、C三层） 基础（10道必做：C/B/A层全部必做） 1.下列属于幂函数的是（） A. B. C. 2.所有幂函数均过定点________。 3.判断：是幂函数（） 4.幂函数值域________。 5.当，幂函数在上单调________。 6.判断是不是幂函数，并说明理由。 7.幂函数在单调________。 8.比较大小：____。 9. 写出幂函数定义。 10. 幂函数过点，求。 提升（2道A、B层必做，C层选做） 11. 比较大小：与。 12. 已知幂函数是偶函数，求一个符合条件的的值。 拓展（1道A层选做） 13. 已知幂函数，满足时，，比较与大小，并判断的符号。 幂函数详细答案 新知梳理填空答案 1.幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中底数是自变量，指数是常数。 2.幂函数解析式特征：系数必须为；自变量在底数位置；指数为常数。 3.五个常见幂函数；所有幂函数在区间上都有图像，都过定点。 核心概念填空答案 1.当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减。 2.幂函数的奇偶性由指数决定，奇偶性会影响一、二、三象限图像。 预习自测答案 1. ×；解析：系数为2，不是1，不是幂函数。 2. 3. 4. 典型例题1答案 ②、③是幂函数； ①系数为3不是1，不是幂函数；④是指数函数，不是幂函数。 跟踪训练1答案 系数为1，是幂函数；系数为，不是幂函数。 典型例题2答案 构造幂函数，，函数在单调递增。 ，。 跟踪训练2答案 构造，，在单调递减， ，。 合作研讨结论 幂函数过，代入得，解得。 当堂检测参考答案 1. B 2. 单调递减 3.；幂函数在单调递增，，故。 4. 将代入，，，，得。 5. 构造幂函数，，单调递减；，。 课后分层作业参考答案 基础 1.B 2. 3.√；，系数为1，是幂函数。 4. 5.递增 6.不是幂函数，解析式系数等于4，幂函数要求系数必须为1。 7.递减 8. 9.一般地，函数（为常数）叫做幂函数，是自变量，是常数。 10.代入，，得。 提升 11.设，，单调递减；，。 12.示例：，，定义域，为偶函数（答案不唯一，偶数即可）。 拓展 13.，，在单调递减，； ，。 学科网（北京）股份有限公司 $