3.3幂函数导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦幂函数，引导学生通过课前预习教材实例填写解析式，从具体问题抽象出幂函数定义，搭建从现实情境到数学概念的学习支架，课堂探究围绕定义判断、图象绘制、性质归纳等展开，形成完整知识脉络。 资料特色在于分层设计适配不同学生，限时检测与易错提醒强化学习效果，通过实例抽象培养数学眼光，性质归纳与证明发展数学思维，规范表达提升数学语言能力，助力学生自主构建知识，高效掌握幂函数核心内容。

3.3　幂函数 学案 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第 89—91 页，完成填空） 1．把教材第 89 页五个实例的函数解析式写出来： 　（1）p＝＿＿＿；（2）S＝＿＿＿；（3）V＝＿＿＿；（4）c＝＿＿＿；（5）v＝＿＿＿。 2．这五个解析式的共同特征：都具有＿＿＿的形式；都以幂的＿＿＿为自变量；幂的指数都是＿＿＿。 3．一般地，函数＿＿＿＿＿叫做幂函数，其中 x 是＿＿＿＿，α 是＿＿＿＿。 4．幂函数的三个特征：（1）底数是＿＿＿本身；（2） 的系数是＿＿＿；（3）式子只有＿＿＿项。 5．教材声明只研究 α＝＿＿、＿＿、＿＿、＿＿、＿＿ 时的图象与性质。 6．研究一个新函数的路径：先求出函数的＿＿＿＿，画出函数的＿＿＿＿；再利用图象和解析式，讨论函数的＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿等问题。 二、课堂探究 探究一　幂函数的判断 下列函数中，属于幂函数的是（　　） 　A．y＝(2x)²　　B．y＝　　C．y＝－　　D．y＝2ˣ 逐项说明理由： 　A：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　B：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　C：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　D：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　画出五个幂函数的图象 在同一坐标系中画出 y＝x，y＝x²，y＝x³，y＝，y＝ 的图象。 （提醒：先写出各自的定义域再落笔。） 　y＝x 的定义域：＿＿＿＿＿　　y＝x² 的定义域：＿＿＿＿＿　　y＝x³ 的定义域：＿＿＿＿＿ 　y＝ 的定义域：＿＿＿＿＿　　y＝ 的定义域：＿＿＿＿＿ （在下面的空白处画图） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究三　填写性质表（教材表 3.3－1） 项目 y＝x y＝x² y＝x³ y＝ y＝ 定义域 值域 奇偶性 单调性 探究四　归纳共同特征 （1）这五个函数的图象有公共点吗？公共点是＿＿＿＿＿。 （2）其中是奇函数的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿，是偶函数的有＿＿＿＿＿。 （3）在区间 (0，＋∞) 上，单调递增的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿，单调递减的有＿＿＿＿＿。 （4）在第一象限内，y＝ 的图象向上与＿＿＿轴无限接近，向右与＿＿＿轴无限接近。 （5）辨一辨，下面两句话对吗？错在哪里？ 　①幂函数的图象都过 (0，0)。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　②幂函数的图象都不过第二、四象限。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　正确的说法是：幂函数的图象都不过第＿＿＿象限。 　③图象关于原点对称的幂函数一定是增函数。（　　）反例：＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究五　教材例题　证明幂函数 f(x)＝ 是增函数 定义域：＿＿＿＿＿＿ 任取 x₁，x₂＿＿＿＿＿，且 x₁＜x₂，则 　f(x₁)－f(x₂)＝－＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 因为＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿，所以＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （提示：带根号的差看不出符号，乘一个共轭式，把根号从分子搬到分母去。） 探究六　教材练习 练习1　已知幂函数 y＝f(x) 的图象过点 (2，)，求这个函数的解析式。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 练习2　比较大小：（1）(－1.5)³＿＿＿(－1.4)³；（2）＿＿＿。 　依据分别是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ★探究七　拔高（优生班课上完成，普通班选做） 已知幂函数 f(x)＝(a²－a－1) 是偶函数，解不等式 f(x＋1)＞f(2x－1)。 第一步　由 f(x) 是幂函数得＿＿＿＿＿＿＿＿＿，解得 a＝＿＿＿或 a＝＿＿＿。 第二步　由 f(x) 是偶函数筛选：a＝＿＿＿时 f(x)＝＿＿＿＿是＿＿函数，舍去； 　　　　a＝＿＿＿时 f(x)＝＿＿＿＿是＿＿函数，符合。 第三步　f(x)＝x² 是偶函数且在 [0，＋∞) 上递增，所以原不等式 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 　　　　两边平方整理得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，解集为＿＿＿＿＿＿。 三、当堂检测（限时 4 分钟） 1．下列函数中属于幂函数的是（　　） 　A．y＝(2x)²　　B．y＝　　C．y＝－　　D．y＝2ˣ 2．已知幂函数 y＝f(x) 的图象经过点 (4，)，则 f(2)＝（　　） 　A．　　B．2　　C．　　D． 3．函数 y＝ 的单调区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．判断正误：（1）幂函数的图象必过 (0，0) 和 (1，1)。（　　） 　　　　　　　（2）幂函数的图象都不过第二、四象限。（　　） 四、课堂小结（自我梳理） 1．幂函数的一般形式是＿＿＿＿＿，判断三看：＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿。 2．五个幂函数的图象都过点＿＿＿＿＿，都不过第＿＿＿象限。 3．在 (0，＋∞) 上，五个函数里只有＿＿＿＿＿是减函数。 4．研究新函数的路径：＿＿＿＿→＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5．作差变形的三招：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。 五、参考答案与解析 课前预习 1．（1）w；（2）a²；（3）b³；（4）（也可写成 ）；（5）（即 ）。 2．幂；底数；常数。 3．y＝；自变量；常数。 4．（1）x；（2）1；（3）一。 5．1、2、3、、－1。 6．定义域；图象；值域、单调性、奇偶性。 探究一 选 B。A：化简为 y＝4x²，系数不是 1；B：y＝＝，符合；C：系数是 －1；D：自变量在指数位置，是指数函数。 探究二 定义域依次为：R；R；R；[0，＋∞)；{x｜x0}。 画图要点：y＝ 只画 y 轴右边（含原点）；y＝ 在原点处断开，第一、三象限各一支；五条曲线都过 (1，1)。 探究三 y＝x：R，R，奇函数，在 R 上单调递增。 y＝x²：R，[0，＋∞)，偶函数，在 [0，＋∞) 上单调递增、在 (－∞，0] 上单调递减。 y＝x³：R，R，奇函数，在 R 上单调递增。 y＝：[0，＋∞)，[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，在 [0，＋∞) 上单调递增。 y＝：{x｜x0}，{y｜y0}，奇函数，在 (0，＋∞) 上单调递减、在 (－∞，0) 上单调递减（两段不能合并）。 探究四 （1）有，公共点是 (1，1)。 （2）奇函数：y＝x，y＝x³，y＝；偶函数：y＝x²。 （3）递增：y＝x，y＝x²，y＝x³，y＝；递减：y＝。 （4）y；x。 （5）①错。反例：y＝，x＝0 无意义，图象不过原点。 　　②错。反例：y＝x² 的图象在第二象限有一支。正确的说法是幂函数的图象都不过第四象限（x＞0 时函数值恒为正）。 　　③错。反例：y＝ 是奇函数，图象关于原点对称，但它在 (0，＋∞) 上单调递减。 探究五 定义域是 [0，＋∞)。任取 x₁，x₂[0，＋∞)，且 x₁＜x₂，则 　f(x₁)－f(x₂)＝－＝＝。 因为 x₁－x₂＜0，＋＞0，所以 f(x₁)－f(x₂)＜0，即 f(x₁)＜f(x₂)。 所以幂函数 f(x)＝ 是增函数。 探究六 练习1：设 f(x)＝，由 f(2)＝＝＝ 得 α＝，所以 f(x)＝。（幂函数的系数就是 1，不要设成 k。） 练习2：（1）＜。依据：y＝x³ 在 R 上单调递增，－1.5＜－1.4。 　　　　（2）＞。依据：y＝ 在 (－∞，0) 上单调递减，－1.5＜－1.4，两个自变量都在这一段上。 ★探究七 第一步：a²－a－1＝1，即 a²－a－2＝0，解得 a＝－1 或 a＝2。 第二步：a＝－1 时 f(x)＝，是奇函数，舍去；a＝2 时 f(x)＝x²，是偶函数，符合。 第三步：f(x＋1)＞f(2x－1) ｜x＋1｜＞｜2x－1｜， 　　两边平方得 x²＋2x＋1＞4x²－4x＋1，整理得 x²－2x＜0，解集为 (0，2)。 当堂检测 1．B。判断三看：底数是 x 本身、系数为 1、只有一项。 2．A。设 f(x)＝，由 ＝，即 ＝，得 α＝－1，所以 f(x)＝，f(2)＝。 3．(0，＋∞) 和 (－∞，0)，两段之间不能用并集连接。 4．（1）错误。y＝ 的图象不过 (0，0)，五个幂函数都过的是 (1，1)。 　（2）错误。y＝x² 的图象过第二象限；正确的说法是都不过第四象限。 课堂小结 1．y＝；底数是 x、系数为 1、只有一项。 2．(1，1)；四。 3．y＝。 4．定义域 → 图象 → 值域、单调性、奇偶性。 5．通分、提公因式、分子有理化。 易错提醒 1．y＝(2x)²、y＝2x⁵、y＝x⁶＋6 都不是幂函数——展开看系数、数一数项数。 2．幂函数的图象都过 (1，1)，不一定过 (0，0)。 3．幂函数的图象都不过第四象限；第二象限是可能过的。 4．y＝ 的两段减区间不能合并。 5．y＝ 既不是奇函数也不是偶函数（定义域不关于原点对称）。 6．用单调性比较大小前，先确认两个自变量落在同一个单调区间内。 学科网（北京）股份有限公司 $