精品解析：安徽安庆市白泽湖中学、舒州高级中学、潜山市源潭中学2026-2027学年度第一学期高三10月摸底检测数学试题

高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 3. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 5. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 8. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（且），下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，有恒成立 C. 当时，有两个零点 D. 存在唯一的使得仅有一个零点 11. 已知函数是定义域为R的偶函数，且满足，，，则（ ） A. 的周期为 B. 点是的一个对称中心 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 13. （1）若命题“，”是真命题，则的取值范围是______________； （2）命题“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是______________． 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，设的极大值是，求的最小值． 17. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. （1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； （2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 18. 已知，函数． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为，求的值； （3）若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 19. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）讨论与的关系； （3）设，记直线与、交于点，，直线与、交于点，.试比较与的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式和一元二次不等式，得到，，利用交集概念求出答案. 【详解】，即，解得，故， ， 所以. 故选：B 2. 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：A. 3. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合充分性和必要性的定义进行求解即可. 【详解】因为“且”能推出“”， 但是“”不能推出“且”，例如也能使， 所以“，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 5. 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式化简得， 两边取常用对数，得 因为， ， 所以， 因为是正整数，所以的最小值为. 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 8. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得，构造，利用判断是否单调，得出关于的关系式，最后利用基本不等式得出答案 【详解】令，对求导得. ，恒成立 在上单调递增 整理得， 由在上单调递增知，即 又 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 10. 已知函数（且），下列说法正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，有恒成立 C. 当时，有两个零点 D. 存在唯一的使得仅有一个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】讨论、研究与的图象交点情况，注意在时首先确定相切，即的情况，结合对数函数图象的变化性质再研究、图象，数形结合判断各项正误即可. 【详解】， ①当时，与的图象如下： 由图知，只有一个交点，即函数只有一个零点； ②时，与的图象如下： 若图象相切时且切点，则，解得，原函数有一个零点. 当时，两图象有两个交点，原函数有两个零点； 当时，两图象无交点，原函数无零点， 故D错误； A：当时，，故，错误. B：当时，，此时恒在上方，正确 C：当时，与恒有两个交点，正确 故选：BC 11. 已知函数是定义域为R的偶函数，且满足，，，则（ ） A. 的周期为 B. 点是的一个对称中心 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，推出，A正确；B选项，根据函数为偶函数，推出为的对称轴；C选项，计算出；D选项，计算出的值，由周期性求和，得到答案 【详解】A选项，，则，故， 所以的一个周期为4，A正确； B选项，函数是定义域为R的偶函数，故， 因为，所以，故为的对称轴，B错误； C选项，中，令得， 中，令得， 故，又因为，解得，故，C错误； D选项，中，令得， 又，所以， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不为0的实数，已知函数.若函数有7个零点，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果. 【详解】作出函数的大致图象，如图所示. 由，得或. 当时，有3个零点； 要使函数有7个零点， 则当，即时，曲线与直线有4个交点， 结合图象可得，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为有解，即或，作出函数的大致图象，数形结合求解. 13. （1）若命题“，”是真命题，则的取值范围是______________； （2）命题“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是______________． 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】（1），等价于，恒成立，再进行求解 （2）可从命题的否定为真命题进行求解，即“，都有”成立，再进行求解 【详解】（1），等价于，恒成立，，所以 （2）命题与命题的否定真假性相反，即“，都有”是真命题，等价于恒成立，解得 故答案为(1) ；(2) 【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数，对于原命题不好求解参数问题，可从命题的否定入手，来求解参数 14. 设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数的知识来求得正确答案. 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程化为，则或 若关于的函数恰好有五个零点， 则方程和，分别有2和3个根，结合图象可知，有两个根， 则此时 . 故答案为：． 【点睛】方法点睛： 对于复杂函数的零点问题，通过换元法将其转化为二次函数问题是一种常用方法.同时，结合函数图象来分析根的分布情况，能更直观地解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）分别按照和讨论求解； （2）由“”是“”的必要不充分条件，得到，分别按照和讨论求解. 【小问1详解】 ，， 若，则： 当时，，解得，满足题意. 当时，或，解得或， 所以综上得：的取值范围为或. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，， 满足题意， 当时，，解得， 综上得，的取值范围为或. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，设的极大值是，求的最小值． 【答案】（1） ，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性； （2）利用（1）中结论求出的极大值从而求出，对求导，利用导数讨论单调性求最小值． 【小问1详解】 ，定义域为， 求导得， ，令，解得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令，解得或，令，解得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，取得极大值，即， 则， ，， 令得，解得，即， 令得，解得或（舍去），即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 的最小值为． 17. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少. （1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值； （2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数） 参考值：，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出方程，结合对数的运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为， 所以，解得，即注射了药品，的值为. 【小问2详解】 设药物注射量为，则小时后残余量为， 设药物注射量为，则小时后残余量为， 又题可知，药物注射量为，药物注射量为， 设小时后残余量相同，则， 即，两边取对数可得，即， 即，即， 即，即， 解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等. 18. 已知，函数． （1）求函数的定义域； （2）若函数的最大值为，求的值； （3）若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于求解； （2）整理，设，利用二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，结合复合函数的单调性求解法则求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而求出的值； （3）整理，令，利用指数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质求出，利用二次函数的图象和性质结合对数函数的图象和性质求出，由存在，任意，都有成立，得到，通过计算得到的取值范围. 【小问1详解】 ， ，解得，故. 【小问2详解】 ， 设，对称轴为，开口向下， 因为的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得最大值，且最大值为， 解得. 【小问3详解】 ， 令， 因为，，所以，则， 则转为，， 因为对称轴为，且，函数的图象开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又因为，， 在上单调递减， 因为，所以， 因为存在，任意，都有成立，所以， 即， 解得，所以实数的取值范围为. 19. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）讨论与的关系； （3）设，记直线与、交于点，，直线与、交于点，.试比较与的大小关系. 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）利用的符号确定的单调性即可求的最小值. （2）利用切线与函数关系可得，，通过作差后构造函数，利用函数的性质来判断差的大小. （3）由题意得到坐标，再计算出与，作差化简后，构造函数，利用函数性质即可得到与的大小. 【小问1详解】 ，定义域为. . 令，则. 因为，所以，即在区间单调递增. 又因为， 所以当时，，即；当时，，即. 所以在区间单调递减，在区间上单调递增. 所以. 【小问2详解】 ， 将切点代入切线方程，得，则切线方程为. 令，则. . 由（1）得，所以. 所以在区间单调递增. 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，；当时，；当时，. 【小问3详解】 由已知得 所以. 因为，，所以. 所以. 令，. 所以 因为，所以，则. 所以. 所以在区间上单调递减. 又，所以对任意，，即. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $